精品解析：云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月教学质量监测(六)数学试题

2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（六） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 5. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） （ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 7. 已知函数且在上单调递增，且，则（ ） A 3 B. 4 C. 9 D. 16 8. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数不相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法. 13 已知函数，若，且，则__________. 14. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别是，已知. （1）求的大小； （2）若边上的高等于，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 18. 已知数列中，. （1）求； （2）证明：等差数列； （3）求前项和. 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（六） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据包含关系即可列出关于的不等式. 【详解】集合又，所以，即， 故选：D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法和共轭复数以及虚部定义可得. 【详解】由题意，，则，所以复数的虚部为. 故选：B 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，逐步计算出的值. 详解】由条件得，，， ，，，. 故选：D. 5. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的意义即可求解. 【详解】因为一个自然数从左往右，每一位上数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0，1，2，3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐降数”共有个， 故选：C. 6. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） （ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，结合分步乘法计数原理可得. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，共有种， 再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，有种， 按照分步乘法计数原理可知，不同的放置方式有种. 故选：C. 7. 已知函数且在上单调递增，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先由单调性得到，由对数的运算计算，舍去不合要求的解，可得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又因为，所以，即， 解得或（舍），所以. 故选：D. 8. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数不相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得A正确；计算二项式系数可得B正确；由通项可判断CD. 【详解】对于A，令，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为，故C错误； 对于D，由其通项公式知，当，2，4，6时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由辅助角公式化简再由周期公式得到表达式，依次代入验证可得各选项. 【详解】，由于最小正周期为，故，故， 对于A，，故的图象关于点对称，故A错误； 对于B，为函数的最大值，的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，，故在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故，故，故D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，应用导数研究函数的单调性、零点和最值判断B、C、D. 【详解】对于A，易知的定义域为R，且，所以为奇函数，错误； 对于B，当时，得恒成立， 所以在上单调递增，正确； 对于C，由AB分析知在R上单调递增，且，因此有且仅有1个零点，正确； 对于D，当时，可得，无最小值，错误， 故选：BC 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先给I地区涂色有6种， 再给Ⅱ地区涂色有5种， 给Ⅲ地区涂色有4种， 给Ⅳ地区涂色有4种， 所以由分步乘法计数原理得：种. 故答案为：. 13. 已知函数，若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，根据及绝对值的性质和对数的运算化简整理，即可得. 【详解】令，得，由题设有， 由，得，则， 故，所以. 故答案为： 14. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别是，已知. （1）求的大小； （2）若边上的高等于，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）根据题目条件求得，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 又，可知. 【小问2详解】 如图，在中，设边上的高为，则， 在中，， 所以 又因为，可得， 所以，， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）作于E，由面面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理证明可得； （2）在平面内作交BC于F，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式可得. 【小问1详解】 证明：作于E， ∵，∴CE与AD必相交， 又∵平面平面ABCD，平面平面 ∴平面， ∵平面，∴ 又平面平面，与相交， ∴平面. 【小问2详解】 在平面内作交BC于F， 则AF，AD，AP两两垂直， 以A为原点，以AF，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 则， ∴， ∵平面， ∴为平面的一个法向量， ∴， ∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. 【小问2详解】 设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 18. 已知数列中，. （1）求； （2）证明：为等差数列； （3）求的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由递推关系代入可得； （2）由已知递推代入仿写后，由等差数列的性质可得； （3）由错位相减法求和可得. 【小问1详解】 因为，. 所以，即， 所以即. 【小问2详解】 证明：因为， 所以， 又， 所以数列为首项为，公差为2的等差数列. 【小问3详解】 由（2）得 所以， 则， 所以， 所以 ， 所以. 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 因为，则对任意恒成立， 可知内单调递减，则， 所以当时，. 【小问2详解】 因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $