精品解析：广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

广州市第65中学2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学 命题人：唐慧 校对人：黄文晋 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；第Ⅰ卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答；考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简复数，再求复数的虚部. 【详解】由条件可知，，所以的虚部为1. 故选：C 2. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，且，所以， 即. 故选：D 3. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：C． 4. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误． 【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误； 对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直， 也可能相交不垂直，故B错误； 对于C：由，，则，又，则，故C正确； 对于D：，或，故D错误. 故选：C. 6. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 7. 已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是直角三角形 D. “”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题. 解决此类题的方法主要有： （1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； （2）内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边； （3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； （4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 8. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若P为的重心，则 B. 若P为的外心，则 C. 若P为的垂心，则 D. 若P为的内心，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确； 对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 C. 是纯虚数 D. 若，则的最大值是6 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，先求出共轭复数，由三角函数性质得到，确定所在象限；C选项，利用复数除法法则化简，得到C正确；D选项，由复数模长的几何意义确定其轨迹，从而确定的最大值. 【详解】A选项，设，则，故，A错误； B选项，，因为，所以，则在复平面内对应的点位于第三象限，B错误； C选项，，为纯虚数，C正确： D选项，若，则的几何意义为到点的距离为1的圆上的点， 此圆上的点到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加上半径1， 故的最大值为，D正确. 故选：AB 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对A：若，则，解得，A正确； 对B：若，则，所以， 所以，B错误； 对C：因为，，而， 当且仅当、反向时等号成立，此时，解得， 即当时，取最大值，C对； 对D：若，即，故， 所以，D正确． 故选：ACD. 11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C错误； 对于D，结合B选项的解析可知， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 此时三棱锥的表面积为：， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，故D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的周长为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据直观图画出原图形，结合勾股定理求出各边长，得到周长 【详解】画出原图形如下：四边形为平行四边形， 其中，故， ，由勾股定理得， 故该平面图形周长为. 故答案为：16 13. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）. 当时，则，解得. 当当反向共线时，，解得. 综上所得，求实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，且与的夹角为，求： （1）求； （2）求； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义计算； （2）利用向量求模公式即可； （3）利用向量共线定理计算. 【小问1详解】 由题意可得. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因与不共线，则， 由向量与平行可知，存在实数使得， 即， 则，得. 16. 某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. （1）求建造中的建筑物已经到达的高度； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解； （2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解. 【小问1详解】 如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直； （2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角； （3）利用等体积转化，，求点到平面的距离. 【小问1详解】 ∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. 【小问3详解】 如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第65中学2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学 命题人：唐慧 校对人：黄文晋 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；第Ⅰ卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答；考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 6. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是直角三角形 D. “”是“是等边三角形”的充分不必要条件 8. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若P为的重心，则 B. 若P为的外心，则 C. 若P为的垂心，则 D. 若P为的内心，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 C. 是纯虚数 D. 若，则的最大值是6 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的周长为__________. 13. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，且与的夹角为，求： （1）求； （2）求； （3）若向量与平行，求实数的值. 16. 某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. （1）求建造中的建筑物已经到达的高度； （2）求的值. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $