中考冲刺（综合题50道）-【刷好题】2024-2025学年数学热点题型专练　（人教版）

中考冲刺（综合题50道） 1．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．（1）解方程：；           （2）解不等式：. 【答案】（1）无解；（2） 【分析】(1)根据分式方程的解题步骤解出即可． (2)根据不等式方程的解题步骤解出即可． 【详解】(1) 左右同时乘以(x－2)，得 ， 去括号，得   ， 移项合并同类型，得    把代入原方程，分母为0，所以是增根． 所以原方程无解 (2) 由①得 由②得， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查分式方程的解法和不等式组的解法，关键在于熟练掌握解题步骤． 3．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表． 学历 经验 能力 态度 甲 8 6 8 7 乙 7 9 9 5 (1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？ (2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式： A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2． B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1． 你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者． 【答案】(1)乙，理由见解析 (2)若选择A赋分方式，甲将被录用；若选择B赋分方式，乙将被录用 【分析】（1）根据平均数的概念求解即可； （2）选择A赋分方式，然后利用加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）甲的平均数为， 乙的平均数为， ∵， ∴乙将被录用； （2）若选择A赋分方式， ， ， ∵， ∴甲将被录用； 若选择B赋分方式， ， ， ∵， ∴乙将被录用． 【点睛】此题考查了平均数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数和加权平均数的计算方法． 4．某商场上周购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共个，共花去元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如下表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 雪容融 (1)求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？ (2)上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获得利元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别是多少个？ 【答案】(1)购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个 (2)售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个 【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，根据数量关系列方程即可求解； （2）由（1）可知毛绒玩具的价格，设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，由此列方程即可求解． 【详解】（1）解：设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个， 依题意得：，解得：． ∴购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个． （2）解：设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个， 依题意得：， ∴． 又∵，均为正整数， ∴或． ∴售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与销售问题的综合，理解题意中的数量关系列方程是解题的关键． 5．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得解。 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组．正确的解出每一个不等式，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，是解题的关键． 6．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润． 【答案】(1)第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元 (2)两次的总利润为1700元 【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价，根据题意列方程求解即可； （2）根据总利润=销售额-成本计算即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元． （2）解：由题意可得（元）， 答：两次的总利润为1700元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出正确方程是解题关键． 7．解不等式：． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：去分母，两边同时乘以4得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 故不等式的解集为：． 【点睛】本题考查了一元一不等式的解法，属于基础题，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 8．解不等式组： 【答案】-2＜x≤3． 【详解】试题分析：由题意知将不等式组中的不等式的解集根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1分别解出来，然后再根据解不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等式组解． 试题解析：由不等式组： 解不等式①，得x＞-2 解不等式②，得5（x-1）≤2（2x-1） 即5x-5≤4x-2 ∴x≤3， ∴不等式组的解集为：-2＜x≤3． 考点：解一元一次不等式组． 9．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 【答案】每台电脑万元，每台电子白板万元 【分析】设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意可得： ，解得，， ∴每台电脑万元，每台电子白板万元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 10．（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】(1)6;(2)x= 【分析】（1）先计算乘方、去绝对值符号、计算二次根式的乘法及零指数幂，再计算加减可得； （2）去分母化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得． 【详解】解：（1）原式＝； （2）两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算与解分式方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则及解分式方程的步骤． 11．2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 【答案】（1）共有12种等可能结果，见解析；（2）见解析，他们恰好都选中政治的概率为． 【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果； （2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能结果； （2）画树状图如下 由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果， 所以他们恰好都选中政治的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 【答案】AC=4，sinA= 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴． ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键． 13．给出三个多项式：x2＋2x﹣1，x2＋4x＋1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 【答案】x（x+6）或（x+1）（x-1）或（x+1）2 【分析】题考查整式的加法运算，找出同类项，然后合并同类项运算，再运用因式分解的方法进行因式分解即可． 【详解】解：情况一：x2＋2x﹣1+x2＋4x＋1=x2+6x=x（x+6）． 情况二：x2＋2x﹣1+x2﹣2x=x2-1=（x+1）（x-1）． 情况三：x2＋4x＋1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．熟记公式结构是分解因式的关键． 14．（1）解不等式组  并把解集在数轴上表示出来； （2）先化简然后从，0中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1），数轴见解析（2），当时，值为3或当时，值为1 【分析】本题考查不等式组的解法、分式的化简求值，关键在于熟练掌握基础的运算方法． （1）根据不等式组的解法解出并表示在数轴上即可； （2）先将分式化简，在代入合适的值即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：； 不等式组解集在数轴上表示出来： （2） ， ， 当时，，或当时，． 15．为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）：    根据图表中提供的信息解答下列问题： 组别 成绩分组 频数 A 47.5～59.5 2 B 59.5～71.5 4 C 71.5～83.5 a D 83.5～95.5 10 E 95.5～107.5 b F 107.5～120 6 （1）频数分布表中的a＝　 　，b＝　 　；扇形统计图中的m＝　 　，n＝　 　； （2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　 　人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　 　人； （3）补充完整频数分布直方图． 【答案】（1）8、10、10、25；（2）1200人、6800人；（3）补图见详解. 【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率=，可求出总数，继而可分别得出a、b、m、n的值； （2）先计算全区总人数，再用总人数乘以优秀，及格所占百分比，即可解决问题； （3）根据（1）中a、b的值即可补全图形． 【详解】（1）∵被调查的总人数为2÷5%=40人， ∴a=40×20%=8， b=40﹣（2+4+8+10+6）=10， B组所占百分比为4÷40=10%，∴m=10， E组占百分比为10÷40=25%，∴n=25， 故答案为a=8，b=10，m=10，n=25； （2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人， ∴预计优秀的人数约为8000×15%=1200人，预计及格的人数约为8000×（20%+25%+25%+15%）=6800人， 故答案为1200人、6800人； （3）补全频数分布直方图如下：    【点睛】本题考查频数分布直方图， 频数分布表，扇形图等知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=，结合扇形图和频数分布表提供的公共信息进行计算． 16．钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量不去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某小区为了加强小区居民对防护知识的了解，通过微信宣传防护知识，并鼓励小区居民在线参与作答“新冠病毒防护知识”．小区管理员随机抽取部分人员的答卷成绩，并对他们的成绩进行统计，并绘制出不完整的频数分布表和扇形统计图． 分组 分数段（分） 频数 A 6 B m C 10 D n 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)小区管理员抽取 人的答卷成绩， ． (2)这部分人员成绩的中位数落在 组，扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数是 ． (3)若该小区共有800人参与答卷，请估计该小区居民答卷成绩不低于90分的人数． (4)为抗击新冠病毒，要在小区内选拔两名志愿者．经面试和健康体检，有三男一女入选，从中任意抽取两人作为志愿者，则两人恰好为“一男一女”的概率是多少？ 【答案】(1)40，12 (2)C， (3)240人 (4) 【分析】（1）根据C组的人数及其所占百分比可得总人数，继而求得m的值； （2）根据中位数的定义可得到中位数落在C组，利用乘A组的人数所占比例可求得A组所对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体求解即可； （4）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率． 【详解】（1）解：小区管理员抽取了（人）， ， 故答案为：40，12； （2）解：由表格中的数据可知，第20和第21个数据都在C组，故这部分人员成绩的中位数落在C组， 扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数是：， 故答案为：C，； （3）解：（人）， 即估计该小区居民答卷成绩不低于分的有人； （4）解：树状图如下所示： 由上可得，一共有12种可能性，其中两人恰好为“一男一女”的可能性有6种， 故两人恰好为“一男一女”的概率是， 答：两人恰好为“一男一女”的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件：解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．还考查频数分布表和扇形统计图综合． 17．年月日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某市举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞答活动，共有道必答选择题，每道选择题都有，，，四个选项，有且只有一个选项是正确的，小琳已答对前题，如果答对最后两道题就能顺利通关．假设最后这两道题小琳都不会，只能从所有选项中随机选择一个． (1)小琳答对第题的概率为_____________； (2)如果小琳在答第题时使用一次“求助”，排除了错误答案．请你用画树状图或列表的方法分析小琳竞答通关的概率有多大？ 【答案】(1)； (2)树状图见解析， 【分析】（1）根据四个选项中，正确的选项只有一个，结合概率公式可得答案； （2）假设表示第题正确的选项，表示第10题正确的选项，根据树状图，列出所有可能的结果，即可． 【详解】（1）∵每道选择题都有，，，四个选项，有且只有一个选项是正确的， ∴小琳答对第题的概率为：． 故答案为：． （2）假设表示第题正确的选项，表示第10题正确的选项， 画树状图如下： 共种等可能的结果，小琳竞答通关的只有种情况， ∴小琳竞答通关的概率为． 【点睛】本题考查概率公式，列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握概率公式的运用． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 19．计算：． 【答案】2020 【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可； 【详解】解： ， ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则． 20．吉林疫情严峻，预建方舟医院，雷兵建筑公司承担了某标段地土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车每次共运35吨，3辆大型渣土运输车和2辆小型渣土运输车每次共运40吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？ (2)该运输公司决定派出大小两种型号地渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量大于150吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车每次运输10吨，一辆小型渣土运输车每次运输5吨 (2)该运输公司最多派出9辆小型渣土运输车 【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题中的等量关系列二元一次方程组，即可求解； （2）设该运输公司派出a辆小型渣土运输车，根据每次运输土方总量不小于150吨，列不等式，由a的取值范围确定a的值． 【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车每次运输x吨，一辆小型渣土运输车每次运输y吨，根据题意， 可得， 解得， 即一辆大型渣土运输车每次运输10吨，一辆小型渣土运输车每次运输5吨； （2）解：设该运输公司派出a辆小型渣土运输车， 由题意可得，， 解得, ∵a是整数， ∴a最大为9， ∴该运输公司最多派出9辆小型渣土运输车． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，根据所给的数量关系列出对应的方程和不等式． 21．某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表． 组别 获取新闻的主要途径 人数 A 电脑上网 280 B 手机上网 m C 电视 140 D 报纸 n E 其他 80 请根据图表信息解答下列问题： (1)这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ． (3)若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数． 【答案】(1)1000；400；图见详解 (2) (3)电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数为68万人 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是理清题中所给数据； （1）根据扇形统计图及表格可进行求解； （2）由（1）可得“D”的人数，然后问题可求解； （3）根据“A”、“B”所占的百分比及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题可得：这次抽样调查的人数为（人）， ∴，， 补全条形统计图如下： 故答案为1000；400； （2）解：由（1）可得：图中“D”所对扇形的圆心角度数为； 故答案为； （3）解：由题意得： （人）； 答：电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数为68万人． 22．计算： 【答案】9 【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可求解． 【详解】 【点睛】本题考查实数的混合运算，关键是掌握． 23．计算：. 【答案】 【分析】根据实数的性质进行化简，即可求解. 【详解】原式. 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质. 24．田忌赛马的故事为我们熟知，小王与小方学习概率初步知识后设计了如下游戏：小王手中有方块 9、6、5 三张扑克牌，小方手中有方块 8、7、4 三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次取得牌不能放回． (1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小方本局获胜的概率； (2)若比赛采用三局两胜制，即胜 2 局或 3 局者为本次比赛获胜者．当小王的三张牌出牌顺序为 先出 5，再出 6，最后出 9 时，小方随机出牌应对，用列举的方法求出小方本次比赛获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意画树状图求概率即可； （2）根据题意用列举法求概率，将所有可能都列举出来，然后即可求得获胜的概率． 【详解】（1）画树状图得：    共有9种等可能结果，其中有4种结果小方的数字大， ∴小方获胜的概率为 （2）根据题意，小王出牌顺序为5，6，9，小方随机出牌的情况有6种：(8，7，4)、（8，4，7）、（7，8，4）、（7，4，8）、（4，8，7）、（4，7，8）． 小方获胜的情况只有2种，所以小方获胜的概率为． 【点睛】本题考查了画树状图、列举法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 25．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为12米，求树高．（精确到0.1米，，，，．）    【答案】大树的高约为10米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作垂直于的延长线于点，垂足为．由题意得，平行于水平地面，在中，求得，在中，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作垂直于的延长线于点，垂足为．由题意得，平行于水平地面，    ，． 在中，， ， 在中，， ， ， 即（米， 答：大树的高约为10米． 26．周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 27．已知． (1)化简A； (2)当，时，求A的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先算括号内的及进行因式分解，再化简，即可求解； （2）根据完全平方公式，即可求得，据此即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， 当时，， 当时，， 故A的值为或． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及完全平方公式，熟练掌握和运用分式的相关运算是解决本题的关键． 28．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格, 均在格点上． （1）在图①中，的值为______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点，使； ②如图③，在上找一点,使． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD． 【详解】解：（1）图1中， ∵AB∥CD， ∴， 故答案为． （2）在网格图中， ①如图2所示，连接CD，交AB于点P， ∵BC∥AD， ∴， 解得：AP=3 ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点A′， 连接A′C，交BD于点P， ∵AB∥CD， ∴△APB∽△CPD． ∴点P即为所要找的点， 【点睛】本题考查了作图-相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径得到∠AEB=90°，利用直角三角形的性质得到∠DAE=∠AED，关键切线的性质得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，得到∠DEO=90°，得出结论； （2）证明△AEC∽BAC，列比例式可以得到BC的长，最后利用勾股定理可以得到所求． 【详解】（1）证明：连接AE，OE， ∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠AED， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠DEA+∠OEA＝90°， 即∠DEO＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C， ∴△AEC∽△BAC， ∴， ∵CA＝6，CE＝3.6， ∴， ∴BC＝10， ∵∠CAB＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴AB＝＝8， ∴OA＝4， 即⊙O的半径OA的长是4． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，正确识别图形是解决问题关键． 30．某小型企业实行工资与业绩挂钩制度，工人工资分为A、B、C、D四个档次．小明对该企业三月份工人工资进行调查，并根据收集到的数据，绘制了如下尚不完整的统计表与扇形统计图． 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）求该企业共有多少人？ （2）请将统计表补充完整； （3）扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是 度. 【答案】（1）100人（2）见解析（3）144 【详解】解：（1）∵20÷=100（人）， ∴该企业共有100人． （2）填表如下： 档次 工资（元） 频数（人） 频率 A 3000 20 0.20 B 2800 30 0.30 C 2200 40 0.40 D 2000 10 0.10 （3）144． （1）根据档次是A的工人，在扇形统计图中对应的扇形的圆心角是72°，则A所占的比例是： ，而档次是A的有20人，据此即可求得总人数． （2）A的频率是：=0.20，利用B的频率0.30乘以总人数即可求得B的频数，同理求得D的频率，然后根据各档次的频率的和是1，即可求得C的频率，进而求得频数． （3）利用C的频率乘以360°，即可求解：360×0.4=144°． 31．为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城肥料少100吨，从A，B城往C，D两乡运肥料的平均费用如表： A城 B城 C乡 20元/吨 15元/吨 D乡 25元/吨 30元/吨 现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从B城运往D乡x吨肥料，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并说明如何安排运输才能使得总运费最小？ 【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）y=10x+9800，当x=60时，总运费最少，最少运费是10400元； 【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案； （2）设从B城运往D乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从A城运往C乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式； 【详解】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料； （2）设从B城运往D乡肥料x吨，则运往B城运往C乡（300-x）吨 从A城运往D乡肥料（260-x）吨，则运往C乡（x-60）吨 如总运费为y元，根据题意， 则：y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+30x=10x+9800， 由于函数是一次函数，k=10＞0， ∵ ， ∴60≤x≤260 所以当x=60时，总运费最少，最少运费是10400元； 【点睛】此题考查二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．理解最小值不少于10040元意义是解题关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（、为常数）的图象与轴交于点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在二次函数的图象上，且点的横坐标为，以点为中心，构造正方形，，且轴，二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线解析式化为顶点式，进而求出抛物线的对称轴，从而得到二次函数的最大值，再分别求出时，；当时，，即可求出对应的最小值； （3）分别求出当时，当时，当时，当时二次函数对应的最大值和最小值，再根据最大值和最小值的差为进行求解即可； （4）根据题意，因为点在轴左侧，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（、为常数）经过点，， ， ， 抛物线对应的二次函数解析式为； （2）解：抛物线解析式为， 当时，最大，最大为， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， 当时，； 当时，； 当时，二次函数的最大值为，最小值为； （3）解：当，即时， ， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， 解得：； 当，即时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， ， 解得，（都不符合题意，舍去）； 当，即时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， ， 解得（都不符合题意，舍去）； 当时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， 解得； 综上所述，的值为或； （4）解：如图所示，    ，点在轴左侧时，设正方形与抛物线的交点分别为，， 交点的纵坐标之差为， 时， ， 是正方形的中心，， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点： （1）由非负数性质即得； （2）根据三角形面积公式即得； （3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：当时， 则，， ∵的面积的面积的2倍， ∵的面积的面积的面积， 解得：， ∵， ∴， 当点P在点C的下方时，，即； 当点P在点C的上方时，，即； 综上所述，点P的坐标为或． 34．先化简，然后在的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值． 【答案】，当时，8． 【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出m的取值范围，选取合适的m的值代入进行计算即可． 试题解析：原式==， 解不等式得0.5＜m＜3.5，∴当m=1时，原式=8． 考点：分式的化简求值． 35．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件销售价x（元/件）之间有如下关系：． （1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数表达式； （2）当x为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝—3x²+150x—1800 （2）当售价为25元时，有最大利润75元 【详解】分析：（1）由每天的销售利润﹦销售件数×(售价－购进价)即可求出每天的销售利润y（元）与x之间的函数表达式；（2）根据二次函数的最大值的性质解决即可. 详解： （1）表达式为y＝(—3x+90)(x—20)， 化简为y＝—3x²+150x—1800 ； （2）把表达式化为顶点式y＝—3(x—25)² +75 ， 当x＝25时，y有最大值75 . 答：当售价为25元时，有最大利润75元 点睛：本题是二次函数应用——利润问题，常用公式有：（1）利润=售价-进价，（2）总利润=单个商品的利润×销售量，解决这类问题的基本思路为:先建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决 36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于，点，已知点的纵坐标为，当点的坐标为，时，的面积为    (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点的坐标为，时，的面积为，得出点的纵坐标，代入一次函数解析式，得出点的坐标，进而可得反比例函数解析式； （2）根据点的纵坐标代入反比例函数解析式，得出点的横坐标，进而结合函数图象，即可求解； （3）设直线交轴于点，则点的坐标为，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，点坐标为，， ， 把代人一次函数中， 解得， 点的坐标为，， ， 反比例函数的解析式为． （2）∵点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即点，又点的坐标为，， 根据函数图性可得，当时，或 （3）解：∵一次函数，当时，， 设直线交轴于点，则点的坐标为， ∴， ， ∴．    【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 37．画图并计算 (1)如图，有一块三边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形． ①在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． ②求出当剪下的等腰三角形面积最大时该等腰三角形的面积． (2)如图，在66的方格纸中，线段AB的两个端分别落在格点上，请按要求画图： ①在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直． ②在图2中画一个以AB为中位线的格点DEF． 【答案】(1)①见解析 ② (2)①见解析 ②见解析 【分析】（1）①作AB的垂直平分线交BC于P，交AB于Q，则在PQ任意取一点（Q除外）与A点、B点可组成满足条件的等腰三角形； ②当顶点为P时，等腰三角形面积最大，设PC=，AP=BP=，在Rt△ACP中，利用勾股定理解出PC，再利用大面积－小面积即可求出答案； （2）根据要求作出图像即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：①如图，△PAB即为所作； ②△PAB为满足条件的面积最大的等腰三角形， 设PC=，则AP=BP=， ∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴, ∴△ABC为直角三角形，∠C=， 在Rt△ACP中，，解得， ∴． 即该等腰三角形的面积为． （2）①如图，四边形APBQ即为所求（答案不唯一）； ②如图，△DEF即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解决此类问题的关键是要理清题意，结合几何图形的性质进行判定． 38．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识解决下列问题 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，5 【分析】（1）根据材料给出的立方差公式，分解因式即可； （2）根据材料给出的立方差公式，先对分式进行因式分解，化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1））原式 （2）原式 = ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了公式法分解因式、分式化简求值，掌握立方差公式的应用，读懂材料是解题关键． 39．如图，某数学社团测量坡角的斜坡上大树的高度，小东在离山脚底部点米的处，测得大树顶端的仰角为，树底部的仰角为，测得斜坡上树底点到山脚点的距离为米，求树的高度.（） 【答案】树高米. 【分析】首先在中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得AG的长，然后在中即可求得BG的长，从而求得树高． 【详解】由题意得：，，. 在中，， ， 在中， ， 在中，， ， 树高米 【点睛】考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数是解题的关键. 40．已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入，求出a的值，即可得出该二次函数表达式； （2）将该二次函数表达式化为顶点式，求出对称轴以及当时，该二次函数取最小值2，根据其开口方向和增减性得出该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大， 则当时的函数值大于当时的函数值，求出当时，，即可得出y的取值范围； （3）将点，点代入得出和，再根据，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴该二次函数对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴当时，该二次函数取最小值2，且该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时的函数值大于当时的函数值， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （3）解：将 代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，解得：， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求解函数表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及二次函数图象上点的坐标特征． 41．（1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 42．解不等式组：． 【答案】-2≤x≤． 【分析】分别解两个不等式，其公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 由①得：x≥-2， 由②得：x≤， 则不等式组的解集为-2≤x≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，准确计算是解题的关键． 43．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，ACBD，CF=DE．求证：ΔAEC≌ΔBFD． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质得到∠C=∠D，然后再利用等式的性质得到CE=DF，再利用AAS证明ΔAEC≌ΔBFD即可． 【详解】证明：∵AC∥BD， ∴∠C=∠D， ∵CF=DE， ∴CF+EF=DE+EF， 即CE=DF， 在△AEC和△BFD中， ∴ΔAEC≌ΔBFD（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键． 44．已知点P（m，n）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离可用公式d＝计算． 例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离． 解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7． 所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）直接写出点P（1，1）到直线y＝﹣2x+4的距离d＝　 　； （2）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣5平行，求这两条直线之间的距离． （3）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线的位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）相切，理由见解析 【分析】（1）根据点P到直线y＝kx+b的距离公式直接计算即可； （2）利用两平行线间的距离定义，在直线y＝﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝﹣2x﹣6的距离即可； （3）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y＝x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y＝x+9相切． 【详解】解：（1）因为直线y＝﹣2x+4，其中k＝﹣2，b＝4， 所以点P（1，1）到直线y＝﹣2x+4的距离为； 故答案为； （2）当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，即点（0，4）在直线y＝﹣2x+4上， 因为点（0，4）到直线y＝﹣2x﹣5的距离为：， 因为直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行， 所以这两条直线之间的距离为； （3）⊙Q与直线y＝x+9的位置关系为相切． 理由如下： 圆心Q（0，5）到直线y＝x+9的距离为：， 而⊙O的半径r为2，即d＝r， 所以⊙Q与直线y＝x+9相切； 【点睛】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力． 45．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天的销售利润为w（元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润． 【答案】（1）；（2）1950元 【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件可列出与之间的函数关系式； （2）用的代数式表示，由每天销售量不少于150件得出范围，在得出的范围内求的最大值即可． 【详解】解：（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件， 销售量件，销售单价元件之间的关系为：； （2）每天销售量不少于150件， ，即，解得， 商场每天的销售利润， 关于的抛物线对称轴为， 而，开口向下，当时，图象在对称轴左侧，随的增大而增大， 时，最大，且最大值为1950， 若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，读懂“销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件”并能用的代数式表示是解题的关键． 46．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为． (1)请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况； (2)求点A落在的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得，在函数图象上，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：列表如下： 乙甲 总共有9种等可能的结果； （2）解：，在函数上， ∴点落在的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列出所有可能结果是解题的关键． 47．随州文峰塔始建于唐宋年间，前身为“文笔塔”，民间亦称为“文丰塔”．某兴趣小组同学借助无人机航拍测量位于曾都区东城文峰塔广场的文峰塔高度．如图，无人机在距离地面米的A处，测得该塔底端点B的俯角为，然后向塔方向沿水平面飞行秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为．已知无人机的飞行速度为3米/秒．        (1)则无人机从A处到C处的水平飞行距离为______米； (2)求文峰塔的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可； （2）延长交的延长线于点M，则，先解求出米，进而求出米，再解求出米，则米． 【详解】（1）解：米， ∴无人机从A处到C处的水平飞行距离为米； （2）解：延长交的延长线于点M，则． 在中，，米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：文峰塔的高度约为米．      【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 48．如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点． (1)试求抛物线和直线的函数解析式； (2)若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积； ②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线和直线的函数解析式分别为， (2)①，② 【分析】（1）先得到，，再根据待定系数法求出解析式即可； （2）①令 ，过点作轴交于点，则 ，表示出，从而可表示出的面积；②要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点， ，， 代入得：， 解得：， ， 令，解得：，， 把、代入得：， 解得， ， 答：抛物线和直线的函数解析式分别为，； （2）解：①令 ， 过点作轴交于点， ， 则 ， 此时面积为， ② ， 要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值， 由①得， 当时，最大，此时， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，采用数形结合的思想，添加适当的辅助线是解题的关键． 49．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 50．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线：． (1)求二次函数解析式； (2)已知点的坐标为，将线段沿直线向下平移得到线段，使点始终在直线上，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点坐标，再用待定系数法求出直线解析式，设交抛物线于，点坐标为，则，根据以及应在直线上方，求出的取值范围． 【详解】（1）过点，， ， 解得， 二次函数解析式为； （2）， ， 设直线解析式为，将代入解析式得： ， 解得， 直线解析式为， 设交抛物线于，则点坐标为， ， ， ， ， 即， 解得或， 在直线的上方，应在直线上方， ， 综上所述，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考冲刺（综合题50道） 1．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 2．（1）解方程：；           （2）解不等式：. 3．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表． 学历 经验 能力 态度 甲 8 6 8 7 乙 7 9 9 5 (1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？ (2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式： A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2． B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1． 你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者． 4．某商场上周购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共个，共花去元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如下表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 雪容融 (1)求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？ (2)上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获得利元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别是多少个？ 5．解不等式组：． 6．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润． 7．解不等式：． 8．解不等式组： 9．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 10．（1）计算：； （2）解分式方程：． 11．2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 13．给出三个多项式：x2＋2x﹣1，x2＋4x＋1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 14．（1）解不等式组  并把解集在数轴上表示出来； （2）先化简然后从，0中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 15．为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）：    根据图表中提供的信息解答下列问题： 组别 成绩分组 频数 A 47.5～59.5 2 B 59.5～71.5 4 C 71.5～83.5 a D 83.5～95.5 10 E 95.5～107.5 b F 107.5～120 6 （1）频数分布表中的a＝　 　，b＝　 　；扇形统计图中的m＝　 　，n＝　 　； （2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　 　人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　 　人； （3）补充完整频数分布直方图． 16．钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量不去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某小区为了加强小区居民对防护知识的了解，通过微信宣传防护知识，并鼓励小区居民在线参与作答“新冠病毒防护知识”．小区管理员随机抽取部分人员的答卷成绩，并对他们的成绩进行统计，并绘制出不完整的频数分布表和扇形统计图． 分组 分数段（分） 频数 A 6 B m C 10 D n 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)小区管理员抽取 人的答卷成绩， ． (2)这部分人员成绩的中位数落在 组，扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数是 ． (3)若该小区共有800人参与答卷，请估计该小区居民答卷成绩不低于90分的人数． (4)为抗击新冠病毒，要在小区内选拔两名志愿者．经面试和健康体检，有三男一女入选，从中任意抽取两人作为志愿者，则两人恰好为“一男一女”的概率是多少？ 17．年月日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某市举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞答活动，共有道必答选择题，每道选择题都有，，，四个选项，有且只有一个选项是正确的，小琳已答对前题，如果答对最后两道题就能顺利通关．假设最后这两道题小琳都不会，只能从所有选项中随机选择一个． (1)小琳答对第题的概率为_____________； (2)如果小琳在答第题时使用一次“求助”，排除了错误答案．请你用画树状图或列表的方法分析小琳竞答通关的概率有多大？ 18．计算：． 19．计算：． 20．吉林疫情严峻，预建方舟医院，雷兵建筑公司承担了某标段地土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车每次共运35吨，3辆大型渣土运输车和2辆小型渣土运输车每次共运40吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？ (2)该运输公司决定派出大小两种型号地渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量大于150吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？ 21．某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表． 组别 获取新闻的主要途径 人数 A 电脑上网 280 B 手机上网 m C 电视 140 D 报纸 n E 其他 80 请根据图表信息解答下列问题： (1)这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ． (3)若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数． 22．计算： 23．计算：. 24．田忌赛马的故事为我们熟知，小王与小方学习概率初步知识后设计了如下游戏：小王手中有方块 9、6、5 三张扑克牌，小方手中有方块 8、7、4 三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次取得牌不能放回． (1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小方本局获胜的概率； (2)若比赛采用三局两胜制，即胜 2 局或 3 局者为本次比赛获胜者．当小王的三张牌出牌顺序为 先出 5，再出 6，最后出 9 时，小方随机出牌应对，用列举的方法求出小方本次比赛获胜的概率． 25．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为12米，求树高．（精确到0.1米，，，，．）    26．周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 27．已知． (1)化简A； (2)当，时，求A的值． 28．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格, 均在格点上． （1）在图①中，的值为______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点，使； ②如图③，在上找一点,使． 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长． 30．某小型企业实行工资与业绩挂钩制度，工人工资分为A、B、C、D四个档次．小明对该企业三月份工人工资进行调查，并根据收集到的数据，绘制了如下尚不完整的统计表与扇形统计图． 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）求该企业共有多少人？ （2）请将统计表补充完整； （3）扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是 度. 31．为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城肥料少100吨，从A，B城往C，D两乡运肥料的平均费用如表： A城 B城 C乡 20元/吨 15元/吨 D乡 25元/吨 30元/吨 现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从B城运往D乡x吨肥料，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并说明如何安排运输才能使得总运费最小？ 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（、为常数）的图象与轴交于点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在二次函数的图象上，且点的横坐标为，以点为中心，构造正方形，，且轴，二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 34．先化简，然后在的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值． 35．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件销售价x（元/件）之间有如下关系：． （1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数表达式； （2）当x为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ 36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于，点，已知点的纵坐标为，当点的坐标为，时，的面积为    (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 37．画图并计算 (1)如图，有一块三边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形． ①在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． ②求出当剪下的等腰三角形面积最大时该等腰三角形的面积． (2)如图，在66的方格纸中，线段AB的两个端分别落在格点上，请按要求画图： ①在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直． ②在图2中画一个以AB为中位线的格点DEF． 38．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识解决下列问题 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，其中． 39．如图，某数学社团测量坡角的斜坡上大树的高度，小东在离山脚底部点米的处，测得大树顶端的仰角为，树底部的仰角为，测得斜坡上树底点到山脚点的距离为米，求树的高度.（） 40．已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围． 41．（1）化简：； （2）解不等式组：． 42．解不等式组：． 43．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，ACBD，CF=DE．求证：ΔAEC≌ΔBFD． 44．已知点P（m，n）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离可用公式d＝计算． 例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离． 解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7． 所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）直接写出点P（1，1）到直线y＝﹣2x+4的距离d＝　 　； （2）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣5平行，求这两条直线之间的距离． （3）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线的位置关系并说明理由． 45．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天的销售利润为w（元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润． 46．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为． (1)请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况； (2)求点A落在的概率． 47．随州文峰塔始建于唐宋年间，前身为“文笔塔”，民间亦称为“文丰塔”．某兴趣小组同学借助无人机航拍测量位于曾都区东城文峰塔广场的文峰塔高度．如图，无人机在距离地面米的A处，测得该塔底端点B的俯角为，然后向塔方向沿水平面飞行秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为．已知无人机的飞行速度为3米/秒．        (1)则无人机从A处到C处的水平飞行距离为______米； (2)求文峰塔的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 48．如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点． (1)试求抛物线和直线的函数解析式； (2)若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积； ②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标． 49．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 50．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线：． (1)求二次函数解析式； (2)已知点的坐标为，将线段沿直线向下平移得到线段，使点始终在直线上，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$