2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习常见模型证明（8字模型+A字模型+拐角模型）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 常见模型证明 （8字模型+A字模型+拐角模型） 【模型一】8字模型 【例2】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A.∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【变式1】如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为_______． 【变式2】如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数． 【变式3】如图，已知，，点E，F分别在，上，交于点G，交的延长线于点D，，，求证：． 【变式4】如图，，，求证：． 根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴______（ ）， ∴______（ ）， 又∵______，______， ∴（等量代换）． 【变式5】已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【变式6】已知中，平分，点P在射线上． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）如图③，若，直线与的一条边垂直，则的度数． 【模型二】A字模型 【例2】如图的大小是（ ） A. B. C. D. 【变式1】如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到 一个四边形，那么的度数为（ ） A. 120O B. 180O. C. 240O D. 3000 【变式2】在中，数据如图所示，若比小，则比（    ）    A． 大 B．小 C．大 D．小 【变式3】 如图，，，则______度． 【变式4】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【变式5】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【变式6】（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值． （3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由． 【模型三】拐角模型模型 【例3】如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____． 【变式1】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A. y＝x+z B. x+y﹣z＝90° C. x+y+z＝180° D. y+z﹣x＝90° 【变式2】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则_______． 【变式3】如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____． 【变式4】如图，已知是直线间的一点，于点交于点． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【变式5】某学习小组发现一个结论：已知直线a//b，若直线c//a，则c//b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB//CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH//AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130º时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80º时，直接写出∠PFQ的度数． 【变式6】发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为　　；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝　　°（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 答案解析 【模型一】8字模型 【例2】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A． ∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【变式1】如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为_______． 【答案】 【变式2】如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数． 【答案】∵，∴， ∴， 由三角形的内角和定理得， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知，，点E，F分别在，上，交于点G，交的延长线于点D，，，求证：． 【答案】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴∠AFE=∠ACB， ∴． 【变式4】如图，，，求证：． 根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴______（ ）， ∴______（ ）， 又∵______，______， ∴（等量代换）． 【答案】∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵，， ∴（等量代换）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式5】已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】（1）解：∵， ∴ ∴ 故答案： （2）解：∵， ∴ 又∵ ∴ 故答案为： （3）解：真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【变式6】. 已知中，平分，点P在射线上． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）如图③，若，直线与的一条边垂直，则的度数． 【答案】（1）、∵平分，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴ ∵中，， 中，， ，， ∴ 即； 【小问3详解】 解：当， 当， 当， ， 【模型二】A字模型 【例2】如图的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式1】如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到 一个四边形，那么的度数为（ ） A. 120O B. 180O. C. 240O D. 3000 【答案】C 【变式2】在中，数据如图所示，若比小，则比（    ）    B． 大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【变式3】 如图，，，则______度． 【答案】 【变式4】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】和是的外角，． 又，． 【变式5】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴，故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵，∴，∴，∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，，由折叠可得，，∴， 又∵，，∴，∴． 【变式6】（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值． （3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由． 【答案】（1）∵为直角三角形，， ∴，∴． （2）∵中，，∴，∴． （3）；理由如下：∵中，， ∴． （4），理由如下：如图：是由折叠得到的， ∴，，∴，， ∴，又∵，． 【模型三】拐角模型模型 【例3】如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____． 【变式1】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A. y＝x+z B. x+y﹣z＝90° C. x+y+z＝180° D. y+z﹣x＝90° 【答案】B 【变式2】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则_______． 【答案】80° 【变式3】如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____． 【答案】36°或37°． 【变式4】如图，已知是直线间的一点，于点交于点． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【答案】（1） （2）①的度数为或；②或 【变式5】某学习小组发现一个结论：已知直线a//b，若直线c//a，则c//b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB//CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH//AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130º时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80º时，直接写出∠PFQ的度数． 【答案】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE， 如图1，由EH∥AB，则EH∥AB∥CD， ∵AB∥EH， ∴∠APE=∠PEH， 又∵CD∥EH， ∴∠CQE=∠HEQ， ∵∠PEQ=∠PEH+∠HEQ， ∴∠PEQ=∠APE+∠CQE； （2）如图2，由（1）得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130°； ∵∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°， ∴∠BPE+∠DQE=360°-130°=230°， 又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠1+∠3=（∠BPE+∠DQE）=×230°=115°， 在四边形PEQF中， ∠PFQ=360°-（∠1+∠2+∠PEQ）=360°-（115°+130°）=115°； （3）140°，如图3，延长PF交CD与点M， ∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵AB∥CD， ∴∠BPE=∠DNE，∠2=∠PMC=∠1， 又∵∠DQE=∠DNE+∠E，即2∠4=2∠1+80°， ∴∠4-∠1=40°， ∴∠PFQ=∠FQD+∠PMC=180°-∠4+∠1=180°-（∠4-∠1）=180°-40°=140°． 【变式6】发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为　　；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝　　°（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 【答案】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图①， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 探究二：如图②， ∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP． 如图③，延长EA交BC于L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145． ∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴∠PME＝∠PMB，∠CNF＝∠PNF， 如图④， 由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF， ∵∠CNF＝∠PNF， ∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF， ∴∠PMF＝∠AMF＝∠AMP， ∴∠PMF+∠PME＝（∠AMP+∠PMB）， ∴∠FME＝∠AMB＝×180°＝90°． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$