2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习常见模型证明（铅笔模型+风筝模型+燕尾模型）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 常见模型证明 （铅笔模型+风筝模型+燕尾模型） 【模型一】铅笔模型 【例1】如图，，=（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4的度数为（　　） A. 55° B. 50° C. 40° D. 30° 【变式2】一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则的度数是_____°． 【变式3】观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律， 度． 【变式4】如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°． （1）求证：AF∥DE （2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数． 【变式5】如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．    (1)若点在图（）位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点在图（）位置时，请直接写出、、之间的关系； (3)若点在图（）位置时，写出、、之间的关系并给予证明； (4)若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系． 【变式6】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，点是直线，之间的一点，直线． （1）试说明：； （2）如图2，作，与的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图3，若，点是上任意一点，平分，，平分，求的度数． 【模型二】风筝模型 【例1】如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A. B． C． D． 【变式1】如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2】如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【变式3】阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【变式4】如图，锐角，点，分别在，上． (1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ； (2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数． 【变式5】如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； （2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； （3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【变式6】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？ 我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：△ABC（如图①）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ； （2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ； （2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为 ； （3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN． 【模型三】燕尾模型 【例3】如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A． ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠1＝∠2，则∠APB＝____°． 【变式2】如图，点在上，点在上，、相交于点，，，．则__________． 【变式3】如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 【变式4】（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【变式5】（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【变式6】凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1）用图①证明：； （2）在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 答案解析 【例1】如图，，=（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【变式1】如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4的度数为（　　） A. 55° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】B 【变式2】一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则的度数是_____°． 【答案】15 【变式3】观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律， 度． 【答案】（n+1）×180 【变式4】如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°． （1）求证：AF∥DE （2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数． 【答案】（1）（1）证明：∵BC∥GE， ∴∠E＝∠1＝50°， ∵∠AFG＝∠1＝50°， ∴∠E＝∠AFG＝50°， ∴AF∥DE； （2）解：∵∠1＝50°，∠Q＝15°， ∴∠AHD＝∠1＋∠Q＝65°， ∵AF∥DE， ∴∠FAQ＝∠AHD ＝65°， ∵AQ平分∠FAC， ∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°， ∴∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q＝100°． 【变式5】如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．    (1)若点在图（）位置时，求证：； (2)若点在图（）位置时，请直接写出、、之间的关系； (3)若点在图（）位置时，写出、、之间的关系并给予证明； (4)若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系． 【答案】（1）证明：如图，    过作，   ∵， ∴ ， ∴，， ∵， ∴； （2）， 理由： 如图，    过作，   ∵， ∴ ， ∴，， ∵， ∴； （3）， 如图，    过作， ∵， ∴ ， 同（）可证得：， ∵，， ∴， 即； （4）当在上方时，不妨将点设为，如图，    过作，   ∵， ∴ ， 同（）可证：， ∵，， ∴， 即； 当在下方时，不妨将点设为，如图， 过作， ∵， ∴ ， 解法同上，， 综上可知：当在点上方时，，当在点下方时，． 【变式6】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，点是直线，之间的一点，直线． （1）试说明：； （2）如图2，作，与的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图3，若，点是上任意一点，平分，，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作， 设，， ，与的平分线交于点， ，，，， ，，， ， ，，，， ，， ， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：平分，， ， 平分， ， 由（1）可知， ， ． 【模型二】风筝模型 【例1】如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【变式1】如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【变式2】如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【变式3】阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴，， ∴，即． 【变式4】如图，锐角，点，分别在，上． (1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ； (2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数． 【答案】（1）解：， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， ． （2）点在上方时，如图， ， ， ，分别平分，， ， ，， ； 点在下方时，如图， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【变式5】如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； （2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； （3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】（1）61 （2） （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 【变式6】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？ 我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：△ABC（如图①）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ； （2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ； （2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为 ； （3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN． 【答案】 详解】[定理证明] 证明：过点A作直线MN∥BC，如图所示， ∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°； [定理推论] ∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACD=∠A+∠ABC， 故答案为∠A+∠ABC； [初步运用] （1）∵∠DBC=∠A+∠ACB， ∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°， 故答案为70°； （2）∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°， ∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°， 故答案为260°； [拓展延伸] （1）如图④，连接AP， ∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC， ∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC=80°，∠P=150°， ∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°， 故答案为230°； （2）∠P=∠A+100°. 理由是：如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y， 由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P， 2∠A+2∠O=∠A+∠P， ∵∠O=50°， ∴∠P=∠A+100°， 故答案为∠P=∠A+100°； （3）证明：延长BP交CN于点Q， ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP， ∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP， ∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC， ∠A=∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC， ∴∠BPC=∠MBP+∠NCP， ∵∠BPC=∠PQC+∠NCP， ∴∠MBP=∠PQC， ∴BM∥CN. 【模型三】燕尾模型 【例3】如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） B． ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠1＝∠2，则∠APB＝____°． 【答案】120 【变式2】如图，点在上，点在上，、相交于点，，，．则__________． 【答案】10 【变式3】如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 【答案】 【变式4】（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）=++，理由如下：连接CD并延长到点E， ∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B， ∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++． （2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°， ∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°， ∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B， ∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 【变式5】（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴，即． （2）不发生变化，理由如下：∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴，即． （3）∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴， 即． 【变式6】凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1）用图①证明：； （2）在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． 【小问2详解】 ，理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； 【小问3详解】 ，理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$