31 圆的轨迹方程重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 31 圆的轨迹方程专题 常考结论及公式 结论一：圆的四种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = . （2）圆的一般方程 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F+ + + + = + −  . （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r   = +  = + . （4）圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = （圆的直径的端点是 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ）. 结论二： 圆系方程 （1）过点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 的圆系方程是 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y x x x x y y y y− − + − − + − − + − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c− − + − − + + + = ，其中 0ax by c+ + = 是直线 AB的方程，是待定的系数. （2）过直线 : 0l Ax By C+ + = 与圆 2 2: 0C x y Dx Ey F+ + + + = 的交点的圆系方程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C+ + + + + + + = ，是待定的系数. （3）过圆 2 2 1 1 1 1: 0C x y D x E y F+ + + + = 与圆 2 2 2 2 2 2: 0C x y D x E y F+ + + + = 的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F+ + + + + + + + + = ，是待 定的系数. 结论三：动点轨迹的常见解法及步骤 （1）动点轨迹的解题步骤：建系、设点、列式、化简和验证。 （2）动点轨迹的常见解法： ①直接法：根据题目的已知条件，直接列出与动点有关的关系式； ②几何法：利用平面几何的相关性质得出等量关系式； ③定义法：利用圆等曲线的定义直接求出动点轨迹方程； ④相关点法（转代法）：先设所求点 ( ),M x y ，然后设与点M 相关的相关点 ( )0 0 0,M x y , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 一般来说相关点 0M 的横纵坐标之间的关系式已知或易求，只需找到相关点与所求点坐 标之间的关系式，然后用 ,x y分别表示 0 0,x y ，再转代如 0 0,x y 间的关系式即可. ⑤参数法：用一个参数表示动点的横坐标和纵坐标，然后消去参数即可. ⑥交轨法：一般指的是两条动曲线的交点轨迹问题，往往需要利用参数法和转代法的结 合来求此类轨迹问题. 题型一 直接法求动点轨迹方程 【例 1】在平面直角坐标系中，已知点 ( )1,0A − 、 ( )10B , ，动点 P满足PA PB⊥ ． (1)求动点 P的轨迹方程； (2)若过点 ( )1,2Q 的直线 l与点 P的轨迹有且只有一个交点，求直线 l的方程． 【答案】(1) ( )2 2 1 0x y y+ =  (2)3 4 5 0x y− + = 或 1 0x y− + = ． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）根据直线与圆相切或者直线经过A 与点 P轨迹相交时，只有一个交点，即可求解. （1）设 ( ),P x y ，因为PA PB⊥ ，所以由 0PA PB = ，得 ( ) ( ) 2 21, 1, 1 0x y x y x y+  − = − + = ， 所以动点 P轨迹方程为 ( )2 2 1 0x y y+ =  ． （2）因为直线 l与点 P的轨迹有且只有一个交点（如图）， ①当直线 l与圆相切时，若斜率存在，设 ( ): 1 2l y k x= − + ，即 2 0kx y k− + − = ，由此 2 2 1 1 k k − = + ，得 3 4 k = ，此时直线 l方程为3 4 5 0x y− + = ； 若斜率不存在，此时方程：x＝1，与圆 2 2 1x y+ = 切于点 B，不符合． ②当直线 l与圆相交时，直线 QA与轨迹仅有一个交点，此时方程： 1y x= + ，符合． 综上所述：所求直线 l的方程为3 4 5 0x y− + = 或 1 0x y− + = ． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】已知点 ( )2,0M − ， ( )2,0N ，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是（ ） A． 2 2 4x y+ = B． 2 2 4x y− = C． ( )2 2 4 2xx y+ =   D． ( )2 2 4 2x y x− =   【答案】C 【分析】设 ( ),P x y ，根据 1MP NPk k = − 即得. 【详解】设 ( ),P x y ，由条件知 PM PN⊥ ，且 PM，PN的斜率肯定存在，故 1MP NPk k = − ， 即 1 2 2x x y y  = − + − ，所以 2 2 4x y+ = ， 因为 P为直角三角形的直角顶点， 所以 2x   ，故所求轨迹方程为 ( )2 2 4 2xx y+ =   ． 故选：C. 题型二 定义法求动点轨迹方程 【例 2】长为 2a的线段 AB的两个端点分别在 x轴、y轴上滑动，则 AB的中点 P的轨迹 方程为______． 【答案】 2 2 2x y a+ = 【分析】根据垂直关系，得OP a= ，可得点 P的轨迹方程. 【详解】由题意，可知OA OB⊥ ， P为 AB的中点， 得OP为定值a，则点 P的轨迹方程为 2 2 2x y a+ = ， 故答案为： 2 2 2x y a+ = . 【跟踪训练 2】（多选）已知aR ，过定点A 的直线为 1 : 0l ax y+ = 与过定点 B的直线 2 : 1 0l x ay a− − + = ，两条动直线的交点为 P，则（ ） A．定点 ( )0,1A B．定点 ( )1, 1B − − C．点 P的轨迹方程为 2 2 0x y x y+ + + = D． 2PA PB+ 的最大值为8 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【答案】BC 【分析】求出两直线所过定点的坐标，可判断 AB 选项；分析可知PA PB⊥ ，求出点 P 的轨迹方程，可判断 C 选项；利用向量模的三角不等式可求得 2PA PB+ 的最大值，可 判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项，直线 1 : 0l ax y+ = 过定点 ( )0,0A ，A 错； 对于 B 选项，直线 2l 的方程可化为 ( ) ( )1 1 0x a y+ − + = ， 由 1 0 1 0 x y + =  + = 可得 1 1 x y = −  = − ，故定点 ( )1, 1B − − ，B 对； 对于 C 选项， ( )1 1 0a a +  − = ，所以， 1 2l l⊥ ，所以，PA PB⊥ ， 线段 AB的中点为 1 1 , 2 2 E   − −    ，且 2AB = ，所以， 1 2 2 2 PE AB= = ， 所以，点 P的轨迹是以点E为圆心，半径为 2 2 的圆， 所以，点 P的轨迹方程为 2 2 1 1 1 2 2 2 x y     + + + =        ，即 2 2 0x y x y+ + + = ，C 对； 对于 D 选项，设点 ( ),P x y ， ( ),PA x y= − − ， ( )1 , 1PB x y= − − − − ， 所以， ( )2 3 2, 3 2PA PB x y+ = − − − − ， 所以， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 PA PB x y x y     + = + + + = + + +        ， 记点 2 2 , 3 3 F   − −    ，则 2 3PA PB PF+ = ， 因为PF PE EF= + 且 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 6 EF     = − + + − + =        ， 所以， 2 2 2 2 2 6 3 PF PE EF PE EF= +  + = + = ， 所以， 2 3 2 2PA PB PF+ =  ，当且仅当E、P、F三点共线且点E在线段FP上时， 等号成立，故 2PA PB+ 的最大值为2 2 ，D 错. 故选：BC. 题型三 几何法求动点轨迹方程 【例 3】已知圆 2 2: 1O x y+ = ，直线 : 2 0+ − =l x y ，过 l上的点 P作圆O的两条切线， 切点分别为 ,A B，则弦 AB中点M 的轨迹方程为_________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【答案】 ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         【分析】由题意得弦 AB中点M 为直线OP和 AB的交点，设 ( ),2 , 0,2P p p p−  ，则可表 示出直线OP的方程，由已知可得 , , ,O A B P四点共圆，得OP为直径的圆的方程，两圆 方程相减可得直线 AB的方程，然后直线 AB的方程与直线OP联立，消去 p，可得弦 AB 中点M 的轨迹方程. 【详解】由题意得弦 AB中点M 为直线OP和 AB的交点， 设 ( ),2 , 0,2P p p p−  ，则直线OP的方程为 2 p y x p − = ， 又 ,PA PB均与圆 2 2: 1O x y+ = 相切，故 ,OA PA OB PB⊥ ⊥ ， 故 , , ,O A B P四点共圆，且 AB为以OP为直径的圆与圆O的公共弦. 又以OP为直径的圆的方程为 ( )( ) ( )( )0 0 2 0x x p y y p− − + − − + = ，即 ( )2 2 2 0x px y p y− + − − = ， 故 AB的方程为 ( )2 2 2 0x px y p y− + − − = 与 2 2 1x y+ = 相减，即 ( )1 2 0px p y− − − = . 又 2 p y x p − = ，所以 2x p x y = + ， 代入 ( )1 2 0px p y− − − = 有 22 2 1 2 0 x x y x y x y   − − − =  + +  ， 化简得 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     − + − =        . 当 ( )0,2P 时， 1 0 2 M       ， ；当 ( )2,0P 时， 1 0 2 M       ， 均满足方程. 又当 ( )0 0M ， 时，PA PB∥ 不满足题意. 综上点M 的轨迹方程为 ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         ， 故答案为： ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         【跟踪训练 3】已知圆 C： 2 2 24 28 36 0+ − − − =x y x y 内有一点 Q（4，2），A、B为圆上 两动点，且满足∠AQB＝90°．求弦 AB中点M所在的圆的方程． 【答案】 2 2 16 16 8 0x y x y+ − − − = 【分析】解法一：由几何性质推导出 2 2 2QM CM r+ = ，设 ( ),M x y ，代入后即可； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 解法二：设 ( ),M x y ， ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ，得到 5 个等量关系，消元后得到弦 AB中 点M所在的圆的方程. 【详解】解法一：连接 QM，CM，BC． 2 2 24 28 36 0+ − − − =x y x y 的圆心为 ( )12,14C ，半径 2 94r = ， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得： 1 2 QM AB= ， 垂径定理得： 22 1 2 r CM AB− = 因为 22 1 , 2 1 , 2 QM AB r CM AB  =   − =  所以 2 2 2QM CM r+ = ， 设 ( ),M x y ，则代入坐标即得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 12 14 376x y x y− + − + − + − = ， 整理得： 2 2 16 16 8 0x y x y+ − − − = ． 解法二：设 ( ),M x y ， ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ， 根据条件得 ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , 2 , 2 24 28 36 0, 24 28 36 0, 4 4 2 2 0, x x x y y y x y x y x y x y x x y y + =  + =   + − − − =  + − − − =  − − + − − = ① ② ③ ④ ⑤ ③＋④＋⑤×2 并代入①②即得： 2 2 16 16 8 0x y x y+ − − − = ． 题型四 相关点法求轨迹问题 【例 4】已知定点 (1,0)M ， (2,0)N ，动点 P满足 | | 2 | |PN PM= . (1)求动点 P的轨迹 C的方程； (2)已知点 B（6，0），点 A在轨迹 C运动，求线段 AB上靠近点 B的三等分点 Q的轨迹 方程. 【答案】(1) 2 2 2x y+ = (2) 2 2 2( 4) 9 x y− + = 【分析】（1）设动点 P的坐标为 ( , )x y ，根据已知建立方程，化简求解. （2）利用相关点法进行求解. （1）设动点 P的坐标为 ( , )x y ， 因为 (1,0)M ， (2,0)N ，且 | | 2 | |PN PM= ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 所以 2 2 2 2( 2) 2 ( 1)x y x y− + =  − + ， 整理得 2 2 2x y+ = ， 所以动点 P的轨迹 C的方程为 2 2 2x y+ = ； （2）设点Q的坐标为 ( , )x y ，点 A坐标为 ( , )A Ax y ， 因为 Q是线段 AB上靠近点 B的三等分点， 所以 2AQ QB= ，即 ( , ) 2(6 , )A Ax x y y x y− − = − − ， 解得 3 12 3 A A x x y y = − =    ，又点 A在轨迹 C运动， 由（1）有： 2 2(3 12) (3 ) 2x y− + = ， 化简得： 2 2 2( 4) 9 y x+ − = ， 即 Q的轨迹方程： 2 2 2( 4) 9 y x+ − = . 【跟踪训练 4】已知线段 AB的端点 B的坐标为 (1,3)，端点 A在圆 C：( ) 2 21 4x y+ + = 上 运动. (1)求线段 AB的中点M的轨迹； (2)过 B点的直线 L与圆 C有两个交点 A，D.当CA CD⊥ 时，求 L的斜率. 【答案】(1)点 M的轨迹是以 3 0, 2       为圆心，1 为半径的圆. (2) 22 3 2  【分析】(1) 设出 A和 M的坐标，利用中点坐标公式把 A的坐标用M的坐标表示，代 入圆的方程后可求线段 AB的中点M的轨迹; (2) 由题意可知 L的斜率存在，设出其斜率, 结合 CA CD⊥ ，由弦心距和半径的关系得 到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线 L的斜率. （1）设 ( )1 1,A x y ， ( ),M x y ， 由中点公式得 1 1 1 2 3 2 x x y y + =  + =  1 1 2 1 2 3 x x y y = −   = − ， 因为 A在圆 C上，所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4x y+ − = ，即 2 2 3 1 2 x y   + − =    ， 点M的轨迹是以 3 0, 2       为圆心，1 为半径的圆； （2）设 L的斜率为 k，则 L的方程为 ( )3 1y k x− = − ，即 3 0kx y k− − + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 因为CA CD⊥ ， CAD为等腰直角三角形， 有题意知，圆心 ( 1,0)C − 到 L的距离为 1 2 2 2 2 CD = = . 由点到直线的距离公式得 2 3 2 1 k k k − − + = + ， ∴ 2 24 12 9 2 2k k k− + = + . ∴ 22 12 7 0k k− + = ，解得 22 3 2 k =  . 题型五 参数法求动点轨迹方程 【例 5】（多选）已知动圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1C x y − + − = ，  )0,2π ，则（ ） A．圆 C与圆 2 2 4x y+ = 相切 B．圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 相切 C．圆 C上一点M满足 (0,1)CM = ，则 M的轨迹的长度为4π D．当圆 C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为 1 【答案】AD 【分析】A 选项，得到圆 C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内 切； B 选项，求出圆心到直线距离d 不一定等于 1，故 B 错误； C 选项，设出 ( ),M x y ，得到M的轨迹为以点 ( )0,1 为圆心，1 为半径的圆，其周长为2π； D 选项，求出圆 C与坐标轴交点坐标，得到 sin 2S = ，从而得到面积的最大值. 【详解】圆 C的圆心为 ( )cos ,sinA   ，半径为 1，圆 2 2 4x y+ = 的圆心为 ( )0,0O ，半径 为 2，因为 2 2cos sin 1 2 1OA  = + = = − ，所以两圆内切，A 正确； 圆心 ( )cos ,sinA   到直线 sin cos 1 0x y + − = 的距离为   2 2 sin cos sin cos 1 sin 2 1 0,2 sin cos d        + − = = −  + ， d 不一定等于 1，故圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 不一定相切，B 错误； 设 ( ),M x y ，则 ( )( cos , sin ) 0,1CM x y = − − = ， 所以 cos 1 sin x y   =  − = ，所以 ( ) 22 1 1x y+ − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 所以点M的轨迹为以点 ( )0,1 为圆心，1 为半径的圆，其周长为2π，C 错误； D 选项，令 0x = 得： 2 2(0 cos ) ( sin ) 1y − + − = ，解得： 0y = 或 2siny = ， 令 0y = 得： 2 2( cos ) (0 sin ) 1x  − + − = ，解得： 0x = 或 2cosx = ， 所以圆 C与坐标轴交于不同的三点，分别记为 ( ) ( ) ( )0,0 , 2cos ,0 , 0,2sinO A B  ， 则这三点构成的三角形面积 1 1 4sin cos sin 2 2 2 S OA OB   =  = = ， 当 π 4  = 或 5π 4  = 时，三角形面积取得最大值，最大值为 1，D 正确 故选：AD 【跟踪训练 5】设直线系 : ( 1)cos ( 2)sin 1(0 2 )M x y   − + − =   ，对于下列四个命 题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点 P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数 ( 3)n n  ，存在正 n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【分析】令 1 cos 2 sin x y   − =  − = ，消去 ，即可得到直线系M 表示圆 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x y− + − = 的切 线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④； 【详解】解：由直线系 : ( 1)cos ( 2)sin 1(0 2 )M x y   − + − =   ， 可令 1 cos 2 sin x y   − =  − = ，消去 可得 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x y− + − = ， 故直线系M 表示圆 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x y− + − = 的切线的集合，故①不正确； 因为对任意 ，存在定点 ( )1,2 不在直线系M 中的任意一条上，故②正确； 由于圆 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x y− + − = 的外切正n边形，所有的边都在直线系M 中，故③正确； M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图 中等边三角形 ABC和 ADE面积不相等，故④不正确． 综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 题型六 圆的方程有关的其他交叉结合问题 【例 6】已知平面向量 , ,a b c满足 21 1,cos , , 4 3 0 2 a a c b a b= = −  + = ，则 b c− 的最小值 是（ ） A． 3 1 2 − B． 3 2 C． 3 D． 3 1− 【答案】D 【分析】先设 ( )1,0 ,a OA b OB c OC= = = =, ，由 , 3 a c  = 设C在直线 ( )3 0y x x=  上， 由 2 4 3 0b a b−  + = 得 ( ) 2 2 1b a− = ，进而得出 B在以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆上，将 b c− 的最小值转化为圆上点到直线上点距离的最小值即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系 xOy，设 , ,a OA b OB c OC= = = ，由 1 1,cos , 2 a a c= = ，不妨设 ( )1,0a OA= = ， 又 , 3 a c  = ，不妨设C在直线 ( )3 0y x x=  上，又 2 4 3 0b a b−  + = 可得 2 4 4 1b a b−  + = ，即 2 2 4 4 1b a b a−  + = ， 则 ( ) 2 2 1b a− = ，设 ( )2,0D ，则 2 2OD OA a= = ，则 ( ) 2 1OB OD− = ，即 2 1DB = ，则 B在 以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆上； 又 Ob Cc OB CB− = − = ，则 b c− 的最小值等价于 CB 的最小值，即以 ( )2,0D 为圆心， 1 为半径的圆上一点 到直线 ( )3 0y x x=  上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即 2 3 1 3 1 1 3 − = − + ，则 b c− 的最小值是 3 1− . 故选：D. 【点睛】本题关键点在于建立坐标系后设 ( )1,0 ,a OA b OB c OC= = = =, ，由 , 3 a c  = 得 出C在直线 ( )3 0y x x=  上，再由 ( ) 2 2 1b a− = 得 B在以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆 上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可. 【跟踪训练 6】在平面直角坐标系中，当 ( , )P x y 不是原点时，定义 P的“伴随点”为 2 2 2 2 ( , ) y x P x y x y − + +  ；当 P是原点时，定义 P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有 点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ①若点A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点A ； ②若曲线C关于 x轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于 y轴对称； ③单位圆的“伴随曲线”是它自身； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】【解析】对于①，若令 ( )1,1P ，则其“伴随点”为 1 1 , 2 2 P   −     ，而 1 1 , 2 2 P   −     的“伴 随点”为 ( )1, 1− − ，而不是 P，故①错误；对于②，设曲线 ( ), 0f x y = 关于 x轴对称，则 ( ), 0f x y− = 与方程 ( ), 0f x y = 表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为 2 2 2 2 , 0 y x f x y x y  − =  + +  与 2 2 2 2, 0 y x f x y x y  − − =  + +  也表示同一曲线，又曲线 2 2 2 2 , 0 y x f x y x y  − =  + +  与曲线 2 2 2 2, 0 y x f x y x y  − − =  + +  的图象关于 y轴对称，所以②正 确；③设单位圆上任一点的坐标为 ( )cos ,sinP x x ，其“伴随点”为 ( )sin , cosP x x − 仍在单位 圆上，故③正确；对于④,直线 y kx b= + 上任一点 ( ),P x y 的“伴随点”为 2 2 2 2 , y x P x y x y  −   + +   ， P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选 B. 课后突破训练 1．已知圆 2 2: 1O x y+ = ，直线 : 2 0+ − =l x y ，过 l上的点 P作圆O的两条切线，切点分 别为 ,A B，则弦 AB中点M 的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     − + − =        B． ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         C． 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     + + + =        D． ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     + + + = +         武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【答案】B 【分析】根据弦 AB中点M 为直线OP和 AB的交点，可设 ( ),2P p p− ，求得直线OP的 方程，再利用以OP为直径的圆与圆 2 2: 1O x y+ = 的方程作差，求得直线 AB的方程，再 消去 p即可求得M 的轨迹方程 【详解】易得弦 AB中点M 为直线OP和 AB的交点，设 ( ),2 , 0,2P p p p−  ，则直线OP的 方程为 2 p y x p − = ，又 ,PA PB均与圆 2 2: 1O x y+ = 相切，故 ,OA PA OB PB⊥ ⊥ ，故 , , ,O A B P四点共圆，且 AB为以OP为直径的圆与圆O的公共弦.又以OP为直径的圆的 方程为 ( )( ) ( )( )0 0 2 0x x p y y p− − + − − + = ，即 ( )2 2 2 0x px y p y− + − − = ，故 AB的方程 为 ( )2 2 2 2 2 0 1 x px y p y x y  − + − − =  + = 相减，即 ( )1 2 0px p y− − − = .又 2 p y x p − = ，所以 2x p x y = + ， 代入 ( )1 2 0px p y− − − = 有 22 2 1 2 0 x x y x y x y   − − − =  + +  ，化简得 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     − + − =        . 当 ( )0,2P 时， 1 0 2 M       ， ；当 ( )2,0P 时， 1 0 2 M       ， 均满足方程. 又当 ( )0 0M ， 时，PA PB∥ 不满足题意. 综上有点M 的轨迹方程为 ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         故选：B 2．若圆 2 2 1 : 1C x y+ = 与圆 ( ) ( ) 2 2 2 : 1C x a y b− + − = 的公共弦 AB的长为 1，则下列结论 正确的有（ ） A． 2 2 1a b+ = B． 2 2 14a b+ = C． AB中点的轨迹方程为 2 2 3 4 x y+ = D． AB中点的轨迹方程为 2 2 9 16 x y+ = 【答案】C 【分析】两圆方程相减求出直线 AB的方程，进而根据弦长求得 2 2 3a b+ = ，即可判断 A、 B 选项；由圆的性质可知直线 1 2CC 垂直平分线段 AB，进而可得 1C ( )0,0 到直线 2 22 2 0ax by a b+ − − = 的距离，从而可求出 AB中点的轨迹方程，因此可判断 C、D 选项； 【详解】两圆方程相减可得直线 AB的方程为 2 2 2 2 0a b ax by+ − − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 即 2 22 2 0ax by a b+ − − = ， 因为圆 1C 的圆心为 1C ( )0,0 ，半径为 1， 且公共弦 AB的长为 1，则 1C ( )0,0 到直线 2 22 2 0ax by a b+ − − = 的距离为 3 2 ， 所以 ( ) 2 2 2 2 3 24 a b a b + = + ，解得 2 2 3a b+ = ， 故 A、B 错误； 由圆的性质可知直线 1 2CC 垂直平分线段 AB， 所以 1C ( )0,0 到直线 2 22 2 0ax by a b+ − − = 的距离 即为 AB中点与点 1C 的距离，设 AB中点坐标为 ( ),x y ， 因此 ( ) ( ) 2 2 3 0 0 2 x y− + − = ， 即 2 2 3 4 x y+ = ，故 C 正确，D 错误； 故选：C 3．Rt ABC 中， 090ABC = ， 2 3AB = ， 4BC = ， ABD 中， 0120ADB = ，则CD的 取值范围是（ ） A．[2 7 2, 2 7 2]− + B． (4, 2 3 2]+ C．[2 7 2, 2 3 2]− + D．[2 3 2,2 3 2]− + 【答案】C 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点 D 的坐标 ( , )D x y ，然后分析点 D 的位置， 利用直线的夹角公式，求得点 D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求 出最大最小值即可. 【详解】由题，以点 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立直 角坐标系； (0,0); (2 3,0); (0, 4)B A C 设点 ( , )D x y ，因为 0120ADB = ，所以由题易知点 D 可能在直线 AB 的上方，也可能在 AB 的下方； 当点 D 可能在直线 AB 的上方； 直线 BD 的斜率 1 y k x = ；直线 AD 的斜率 2 2 3 y k x = − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 由两直线的夹角公式可得： 2 1 2 1 2 3 tan120 3 1 1 2 3 y y k k xx y yk k xx − − − =  − = +  +  − 化简整理的 2 2( 3) ( 1) 4x y− + + = 可得点 D 的轨迹是以点 ( 3, 1)M − 为圆心，半径 2r = 的圆，且点 D 在 AB 的上方，所 以是圆在 AB 上方的劣弧部分； 此时 CD 的最短距离为： 2 2( 3) (4 1) 2 2 7 2CM r− = + + − = − 当当点 D 可能在直线 AB 的下方； 同理可得点 D 的轨迹方程： 2 2( 3) ( 1) 4x y− + − = 此时点 D 的轨迹是以点 ( 3,1)N 为圆心，半径 2r = 的圆，且点 D 在 AB 的下方，所以 是圆在 AB 下方的劣弧部分； 此时 CD 的最大距离为： 2 2( 3) (4 1) 2 2 3 2CN r+ = + − + = + 所以 CD 的取值范围为 2 7 2,2 3 2 − +  【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键， 属于难题. 4．（多选）已知点 ( )1,0A − ， ( )10B , ，若圆 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x a y a− + + − − = 上存在点M满足 8MA MB = ，则实数 a的值可以为（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．3 【答案】ABC 【分析】设 ( ),M x y ，则由 8MA MB = 可得 2 2 9x y+ = ，则由题意可知此圆与已知圆相 交或相切，从而可求出a的取值范围，进而可得答案. 【详解】设 ( ),M x y ，则 ( )1 ,MA x y= − − − ， ( )1 ,MB x y= − − ， ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 1 8MA MB x x y x y = − − − + − = − + = ，即 2 2 9x y+ = ， ∴点 M在圆 2 2 9x y+ = 上， 由题意知此圆与已知圆有公共点， ∴ ( ) ( ) 2 2 3 1 1 2 3 1a a−  − + +  + ，解得 1 23 1 23 2 2 a + − + −   ， 四个选项中 A，B，C 满足． 故选：ABC． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 5．已知圆 2 2: 2, ,O x y A B+ = 为圆O上两个动点，且 | | 2,AB M= 为弦 AB的中点， ( )5, 1C a − ， ( )5, 3D a + ，当 A，B在圆O上运动时，始终有 CMD 为锐角，则实数 a的取值范围是_______. 【答案】 ( , 3) (1, )− − + 【分析】由题知M 的轨迹是以O为圆心，1 为半径的圆，且C D， 是以N 为圆心的直径 的两个端点，若始终有 CMD 为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和 的不等关系，求解即可. 【详解】 如图，连接OM，则 | | 2 1 1OM = − = ， 所以点M在以 O为圆心，1 为半径的圆上， 设CD的中点为N ，则 ( 5, 1)N a + ，且 | | 4CD = ， 因为当 A，B在圆O上运动时，始终有 CMD 为锐角， 所以以O为圆心，1 为半径的圆与以N 为圆心，2 为半径的 圆相离， 故 25 ( 1) 1 2a+ +  + ，解得 3a  − 或 1a  ，即 ( , 3) (1, )a − − + 故答案为： ( , 3) (1, )− − + 6．已知 ( )cos cos cos   + = + ，则cos的最大值为_______． 【答案】 3 1− 【分析】首先根据题意得到 ( )cos cos 1 sin sin cos 0    − − − = ，设 ( )cos ,cos P ， ( ): cos 1 sin cos 0  − − − =l x y ，得到 P的轨迹方程为： 2 2 1x y+ = ，且点 P在 l上，从 而得到 ( ) 2 2 cos 1 cos 1 sin    − =  − + d ，再解不等式即可. 【详解】 ( )cos cos cos cos cos sin sin cos cos 0         + = +  − − − = 变形得 ( )cos cos 1 sin sin cos 0    − − − = ， 设 ( )cos ,cos P ， ( ): cos 1 sin cos 0  − − − =l x y ， 因为点 P的轨迹方程为： 2 2 1x y+ = ，且点 P在 l上， 所以 ( ) 2 2 cos 1 cos 1 sin    − =  − + d ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 整理得： ( ) 22 2cos cos 1 sin   − + ，即 2cos 2cos 2 0 + −  ， 解得 1 cos 1 3−   − + . 所以cos的最大值为 3 1− . 故答案为： 3 1− 7．动圆与 x轴相切，且被直线 y x= 所截得的弦长为 2，则动圆圆心的轨迹方程是______． 【答案】 2 2 2 2 0x y xy− − + = 【分析】设动圆圆心的坐标，根据条件列出等量关系，化简即可得答案. 【详解】设动圆圆心为 ( , )a b ，由动圆与 x轴相切可知，动圆半径为 | |r b= ， 又动圆被直线 y x= 所截得的弦长为 2，则 2 2 2| |( ) 1 2 a b r − = + ， 即 2 2 2| |( ) 1 2 a b b − = + ，化简可得 2 2 2 2 0b aba − − + = ， 将方程中的 a,b换为 x,y, 则动圆圆心的轨迹方程是 2 2 2 2 0x y xy− − + = ， 故答案为： 2 2 2 2 0x y xy− − + = 8．平面直角坐标系 xOy中， 2 2: ( 1) ( 1) 4M x y− + − = ，过点 (2, 2)P 作两条直线，被圆 M 截得弦 AB，CD，满足 AB CD⊥ .设线段 AC的中点为 N，则 | |ON 的最小值为___________. 【答案】 3 2 6 2 − 【分析】设MP的中点为Q，根据题意，确定 2 2PN MN+ 为定值，再根据向量的基本运 算，结合 ( ) ( ) 2 2 NQ QM NQ QP+ + + 为定值可确定N 的轨迹方程，求得 | |ON 的最小值即 可 【详解】设MP的中点为 3 3 , 2 2 Q       ，因为 AB CD⊥ ， 故 1 2 BN AC AN= = ，由垂径定理， 2 2 2 4AN MN AM+ = = ，故 2 2 2 4PN MN AM+ = = . 即 ( ) ( ) 2 2 4NQ QM NQ QP+ + + = ，所以 ( ) 2 2 2 2 2 4NQ NQ QM NQ QP QM QP+  +  + + = ，因 为QP QM= − ，且 2 2 QP QM= = ，故 ( ) 2 2 2 2 2 4NQ NQ QM QP QM+  + + = ，即 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 2 2 2NQ QM+ = ，故 2 3 2 NQ = ，故N 的轨迹方程为 2 2 3 3 3 2 2 2 x y     − + − =        ，所以 | |ON 的 最小值为 3 3 2 6 3 2 6 2 2 2 2 OQ − − = − = . 故答案为： 3 2 6 2 − 9．已知两个定点 ( )0,4A 、 ( )0,1B ，动点 P满足 2PA PB= ，设动点 P的轨迹为曲线E， 直线 : 4l y kx= − ． (1)求曲线E的方程； (2)若 1k = ，Q是直线 l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM 、QN，切点为M 、N ， 探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) 2 2 4x y+ = (2)直线MN过定点 ( )1, 1− 【分析】（1）设点 P的坐标为 ( ),x y ，由 2PA PB= 结合平面内两点间的距离公式化简 可得出点 P的轨迹方程； （2）设 ( )0 0,G x y 为圆 2 2 4x y+ = 上任意一点，先证明出圆 2 2 4x y+ = 在点G处的切线 方程为 0 0 4x x y y+ = ，设点 ( ), 4Q t t − 、 ( )1 1,M x y 、 ( )2 2,N x y ，可写出直线QM 、QN的 方程，将点Q的坐标代入直线QM 、QN的方程，可求得直线MN的方程，化简直线MN 的方程，可求得直线MN所过定点的坐标. （1）设点 P的坐标为 ( ),x y ， 由 2PA PB= 可得， ( ) ( ) 2 22 24 2 1x y x y+ − = + − ，整理可得 2 2 4x y+ = ， 所以曲线E的方程为 2 2 4x y+ = ． （2）设 ( )0 0,G x y 为圆 2 2 4x y+ = 上任意一点，则 2 2 0 0 4x y+ = ， 当 0 0 0x y  时， 0 0 OG y k x = （O为坐标原点）， 此时，圆 2 2 4x y+ = 在点G处的切线方程为 ( )00 0 0 x y y x x y − = − − ，即 0 0 4x x y y+ = ； 当 0 0x = 时，圆 2 2 4x y+ = 在点G处的切线方程为 2y = 或 2y = − ，切线方程满足 0 0 4x x y y+ = ； 当 0 0y = 时，圆 2 2 4x y+ = 在点G处的切线方程为 2x = 或 2x = − ，切线方程满足 0 0 4x x y y+ = . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 因此，圆 2 2 4x y+ = 在点G处的切线方程为 0 0 4x x y y+ = . 当 1k = 时，直线 l的方程为 4y x= − ，设点 ( ), 4Q t t − 、 ( )1 1,M x y 、 ( )2 2,N x y ， 则直线QM 的方程为 1 1 4x x y y+ = ，直线QN的方程为 2 2 4x x y y+ = ， 所以， ( ) ( ) 1 1 2 2 4 4 4 4 tx t y tx t y  + − =  + − = ， 所以，点M 、 N 的坐标满足方程 ( )4 4tx t y+ − = ， 故直线MN的方程为 ( )4 4tx t y+ − = ，即 ( ) ( )4 1 0t x y y+ − + = ， 由 0 1 0 x y y + =  + = ，解得 1 1 x y =  = − ， 因此，直线MN过定点 ( )1, 1− . 10．已知圆 2 2 4x y+ = 上一定点 ( )2,0A ，点 ( )1,1B 为圆内一点， ,P Q为圆上的动点 （ , ,A P Q三点均不重合）． (1)求线段 AP的中点的轨迹方程； (2)若 90PBQ = ，求线段 PQ的中点的轨迹方程． 【答案】(1) ( ) ( ) 2 21 1 2x y x− + =  (2) 2 2 1 0x y x y+ − − − = 【分析】（1）设线段 AP中点为 ( ),x y ， ( )( )0 0 0, 2P x y x  ，利用 ,x y表示出 0 0,x y ，代入 圆的方程即可得到所求轨迹方程； （2）设线段 PQ的中点为 ( ),N x y ，由直角三角形性质可得 BN PN= ，根据ON PQ⊥ ， 利用勾股定理可得 2 2 2 OP ON BN= + ，由此可得 ,x y满足的方程，从而得到轨迹方程. （1）设线段 AP中点为 ( ),x y ， ( )( )0 0 0, 2P x y x  ， 0 0 2 2 2 x x y y + =   =  ，则 0 0 2 2 2 x x y y = −  = ； P在圆 2 2 4x y+ = 上， ( ) ( ) 2 22 2 4 4 2x y x − + =  ，整理得： ( ) ( ) 2 21 1 2x y x− + =  ， 即线段 AP的中点的轨迹方程为： ( ) ( ) 2 21 1 2x y x− + =  . （2）设线段 PQ的中点为 ( ),N x y ， 90PBQ = ， 1 2 BN PQ PN = = ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 OP OQ= ， ON PQ ⊥ ， 2 2 2 2 2 OP ON PN ON BN = + = + ， 即 ( ) ( ) 2 22 2 1 1 4x y x y+ + − + − = ，整理可得： 2 2 1 0x y x y+ − − − = ， 即线段 PQ的中点的轨迹方程为： 2 2 1 0x y x y+ − − − = . 11．正方形 ABCD与点 P在同一平面内，已知该正方形的边长为 1，且 2 2 2| | | | | |PA PB PC+ = ， 求 | |PD 的取值范围． 【答案】[2 2,2 2]− + 【分析】以点A 为坐标原点， AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，设点 ( , )P x y ， 求出点 P的轨迹是以点 (0, 1)M − 为圆心， 2 为半径的圆，再利用数形结合分析得解. 【详解】解：以点A 为坐标原点，AB所在直线为 x轴建立 平面直角坐标系，如图所示， 则 (0,0)A ， (1,0)B ， (1,1)C ， (0,1)D ， 设点 ( , )P x y ，则由 2 2 2| | | | | |PA PB PC+ = ， 得 2 2 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)x y x y x y+ + − + = − + − ， 整理得 2 2( 1) 2x y+ + = ， 即点 P的轨迹是以点 (0, 1)M − 为圆心， 2 为半径的圆， 圆心M 到点D的距离为 | | 2MD = ， 所以 | | 2 2minPD = − ， | | 2 2maxPD = + ， 所以 | |PD 的取值范围是[2 2,2 2]− + . 12．已知直线 : 1l x my= − ，圆 2 2: 4 0C x y x+ + = . (1)证明：直线 l与圆 C相交； (2)设 l与 C的两个交点分别为 A、B，弦 AB的中点为 M，求点M的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆 C在点 A处的切线为 1l ，在点 B处的切线为 2l ， 1l 与 2l 的交点 为 Q.试探究：当 m变化时，点 Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方 程；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) 2 2 3 2 0x y x+ + + = ； (3)点 Q恒在直线 2x = 上，理由见解析. 【分析】（1）求出直线 : 1l x my= − 过定点 ( )1,0− ，得到 ( )1,0− 在圆内部，故证明直线 l 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 与圆 C相交；（2）设出点 ( ),M x y ，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3） 利用 Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立 2 2: 4 0C x y x+ + = ，求出相交弦的 方程，即直线 l的方程，根据直线 l过的定点，得到 0 2x = ，从而得到点 Q恒在直线 2x = 上. (1)证明：直线 : 1l x my= − 过定点 ( )1,0− ，代入 2 2: 4 0C x y x+ + = 得：1 0 4 0+ −  ，故 ( )1,0− 在圆内，故直线 l与圆 C相交； (2)圆 2 2: 4 0C x y x+ + = 的圆心为 ( )2,0C − ，设点 ( ),M x y ，由垂径定理得： 1CM lk k = − ， 即 0 0 1 1 2 y y x x − −  = − + + ，化简得： 2 2 3 2 0x y x+ + + = ，点M的轨迹方程为： 2 2 3 2 0x y x+ + + = (3)设点 ( )0 0,Q x y ，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为： ( )( ) ( )0 02 0x x x y y y− + + − = ，即 ( ) 2 2 0 0 02 2 0x y x x y y x+ + − − − = ，与圆 C的方程 2 2: 4 0C x y x+ + = 联立，消去二次项得： ( )0 0 02 2 0x x y y x+ + + = ，即为直线 l的方程， 因为直线 : 1l x my= − 过定点 ( )1,0− ，所以 0 02 2x x= + ，解得： 0 2x = ，所以当 m变化 时，点 Q恒在直线 2x = 上. 【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求 出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 31 圆的轨迹方程专题 常考结论及公式 结论一：圆的四种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = . （2）圆的一般方程 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F+ + + + = + −  . （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r   = +  = + . （4）圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = （圆的直径的端点是 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ）. 结论二： 圆系方程 （1）过点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 的圆系方程是 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y x x x x y y y y− − + − − + − − + − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c− − + − − + + + = ，其中 0ax by c+ + = 是直线 AB的方程，是待定的系数. （2）过直线 : 0l Ax By C+ + = 与圆 2 2: 0C x y Dx Ey F+ + + + = 的交点的圆系方程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C+ + + + + + + = ，是待定的系数. （3）过圆 2 2 1 1 1 1: 0C x y D x E y F+ + + + = 与圆 2 2 2 2 2 2: 0C x y D x E y F+ + + + = 的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F+ + + + + + + + + = ，是待 定的系数. 结论三：动点轨迹的常见解法及步骤 （1）动点轨迹的解题步骤：建系、设点、列式、化简和验证。 （2）动点轨迹的常见解法： ①直接法：根据题目的已知条件，直接列出与动点有关的关系式； ②几何法：利用平面几何的相关性质得出等量关系式； ③定义法：利用圆等曲线的定义直接求出动点轨迹方程； ④相关点法（转代法）：先设所求点 ( ),M x y ，然后设与点M 相关的相关点 ( )0 0 0,M x y , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 一般来说相关点 0M 的横纵坐标之间的关系式已知或易求，只需找到相关点与所求点坐 标之间的关系式，然后用 ,x y分别表示 0 0,x y ，再转代如 0 0,x y 间的关系式即可. ⑤参数法：用一个参数表示动点的横坐标和纵坐标，然后消去参数即可. ⑥交轨法：一般指的是两条动曲线的交点轨迹问题，往往需要利用参数法和转代法的结 合来求此类轨迹问题. 题型一 直接法求动点轨迹方程 【例 1】在平面直角坐标系中，已知点 ( )1,0A − 、 ( )10B , ，动点 P满足PA PB⊥ ． (1)求动点 P的轨迹方程； (2)若过点 ( )1,2Q 的直线 l与点 P的轨迹有且只有一个交点，求直线 l的方程． 【跟踪训练 1】已知点 ( )2,0M − ， ( )2,0N ，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是（ ） A． 2 2 4x y+ = B． 2 2 4x y− = C． ( )2 2 4 2xx y+ =   D． ( )2 2 4 2x y x− =   题型二 定义法求动点轨迹方程 【例 2】长为 2a的线段 AB的两个端点分别在 x轴、y轴上滑动，则 AB的中点 P的轨迹 方程为______． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 2】（多选）已知aR ，过定点A 的直线为 1 : 0l ax y+ = 与过定点 B的直线 2 : 1 0l x ay a− − + = ，两条动直线的交点为 P，则（ ） A．定点 ( )0,1A B．定点 ( )1, 1B − − C．点 P的轨迹方程为 2 2 0x y x y+ + + = D． 2PA PB+ 的最大值为8 题型三 几何法求动点轨迹方程 【例 3】已知圆 2 2: 1O x y+ = ，直线 : 2 0+ − =l x y ，过 l上的点 P作圆O的两条切线， 切点分别为 ,A B，则弦 AB中点M 的轨迹方程为_________. 【跟踪训练 3】已知圆 C： 2 2 24 28 36 0+ − − − =x y x y 内有一点 Q（4，2），A、B为圆上 两动点，且满足∠AQB＝90°．求弦 AB中点M所在的圆的方程． 题型四 相关点法求轨迹问题 【例 4】已知定点 (1,0)M ， (2,0)N ，动点 P满足 | | 2 | |PN PM= . (1)求动点 P的轨迹 C的方程； (2)已知点 B（6，0），点 A在轨迹 C运动，求线段 AB上靠近点 B的三等分点 Q的轨迹 方程. 【跟踪训练 4】已知线段 AB的端点 B的坐标为 (1,3)，端点 A在圆 C：( ) 2 21 4x y+ + = 上 运动. (1)求线段 AB的中点M的轨迹； (2)过 B点的直线 L与圆 C有两个交点 A，D.当CA CD⊥ 时，求 L的斜率. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 参数法求动点轨迹方程 【例 5】（多选）已知动圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1C x y − + − = ，  )0,2π ，则（ ） A．圆 C与圆 2 2 4x y+ = 相切 B．圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 相切 C．圆 C上一点M满足 (0,1)CM = ，则 M的轨迹的长度为4π D．当圆 C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为 1 【跟踪训练 5】设直线系 : ( 1)cos ( 2)sin 1(0 2 )M x y   − + − =   ，对于下列四个命 题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点 P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数 ( 3)n n  ，存在正 n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 题型六 圆的方程有关的其他交叉结合问题 【例 6】已知平面向量 , ,a b c满足 21 1,cos , , 4 3 0 2 a a c b a b= = −  + = ，则 b c− 的最小值 是（ ） A． 3 1 2 − B． 3 2 C． 3 D． 3 1− 【跟踪训练 6】在平面直角坐标系中，当 ( , )P x y 不是原点时，定义 P的“伴随点”为 2 2 2 2 ( , ) y x P x y x y − + +  ；当 P是原点时，定义 P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点 的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点A ； ②若曲线C关于 x轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于 y轴对称； ③单位圆的“伴随曲线”是它自身； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 课后突破训练 1．已知圆 2 2: 1O x y+ = ，直线 : 2 0+ − =l x y ，过 l上的点 P作圆O的两条切线，切点分 别为 ,A B，则弦 AB中点M 的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     − + − =        B． ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     − + − = +         C． 2 2 1 1 1 4 4 8 x y     + + + =        D． ( ) 2 2 2 21 1 1 0 4 4 8 x y x y     + + + = +         2．若圆 2 2 1 : 1C x y+ = 与圆 ( ) ( ) 2 2 2 : 1C x a y b− + − = 的公共弦 AB的长为 1，则下列结论 正确的有（ ） A． 2 2 1a b+ = B． 2 2 14a b+ = C． AB中点的轨迹方程为 2 2 3 4 x y+ = D． AB中点的轨迹方程为 2 2 9 16 x y+ = 3．Rt ABC 中， 090ABC = ， 2 3AB = ， 4BC = ， ABD 中， 0120ADB = ，则CD的 取值范围是（ ） A．[2 7 2, 2 7 2]− + B． (4, 2 3 2]+ C．[2 7 2, 2 3 2]− + D．[2 3 2,2 3 2]− + 4．（多选）已知点 ( )1,0A − ， ( )10B , ，若圆 ( ) ( ) 2 2 1 2 1x a y a− + + − − = 上存在点M满足 8MA MB = ，则实数 a的值可以为（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．3 5．已知圆 2 2: 2, ,O x y A B+ = 为圆O上两个动点，且 | | 2,AB M= 为弦 AB的中点， ( )5, 1C a − ， ( )5, 3D a + ，当 A，B在圆O上运动时，始终有 CMD 为锐角，则实数a 的取值范围是_______. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 6．已知 ( )cos cos cos   + = + ，则cos的最大值为_______． 7．动圆与 x轴相切，且被直线 y x= 所截得的弦长为 2，则动圆圆心的轨迹方程是______． 8．平面直角坐标系 xOy中， 2 2: ( 1) ( 1) 4M x y− + − = ，过点 (2, 2)P 作两条直线，被圆 M 截得弦 AB，CD，满足 AB CD⊥ .设线段 AC的中点为 N，则 | |ON 的最小值为___________. 9．已知两个定点 ( )0,4A 、 ( )0,1B ，动点 P满足 2PA PB= ，设动点 P的轨迹为曲线E， 直线 : 4l y kx= − ． (1)求曲线E的方程； (2)若 1k = ，Q是直线 l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM 、QN，切点为M 、N ， 探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 10．已知圆 2 2 4x y+ = 上一定点 ( )2,0A ，点 ( )1,1B 为圆内一点， ,P Q为圆上的动点 （ , ,A P Q三点均不重合）． (1)求线段 AP的中点的轨迹方程； (2)若 90PBQ = ，求线段 PQ的中点的轨迹方程． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 11．正方形 ABCD与点 P在同一平面内，已知该正方形的边长为 1，且 2 2 2| | | | | |PA PB PC+ = ， 求 | |PD 的取值范围． 12．已知直线 : 1l x my= − ，圆 2 2: 4 0C x y x+ + = . (1)证明：直线 l与圆 C相交； (2)设 l与 C的两个交点分别为 A、B，弦 AB的中点为 M，求点M的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆 C在点 A处的切线为 1l ，在点 B处的切线为 2l ， 1l 与 2l 的交点 为 Q.试探究：当 m变化时，点 Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方 程；若不是，说明理由.