精品解析：广东省江门市鹤山市鹤华中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试 数学（高一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 3. 已知点A(1，－2)，B(－3，1)，则与向量同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出和，从而可求出与向量同方向的单位向量 【详解】因为A(1，－2)，B(－3，1)， 所以，则， 所以与向量同方向的单位向量为 故选：A 4. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5. 已知中，，，，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求的大小，结合其范围可求． 【详解】中，，， 故，而，故， 由正弦定理，可得，故， ∴． 故选：A． 6. 已知向量满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设向量的夹角为，由题意可得，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】设向量的夹角为， 所以在方向上的投影向量的模为， 在方向上的投影向量的模为， 所以，则，所以， 所以. 故选：A. 7. 已知，，，且在上无最小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先代点求出值，再代点求出，，最后求出的范围即可． 【详解】解：，，，， ， ，， ，，，， ，，， 在上无最小值且，，即， 故选：A． 8. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 72m C. 74m D. 76m 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解． 【详解】设直线交点为，则， 由题意，， 又， 所以，解得， 又，所以， 而， 所以， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，选对得部分分，选错没分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，则复数z的虚部等于 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A虚数无法比大小；B利用复数的除法运算得出复数；C利用纯虚数的定义列方程；D利用计算. 【详解】虚数无法比大小，但模可以比大小，故A错误； ，则复数z的虚部等于，故B错误； 复数z为纯虚数，则且，得，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 10. 下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是； ③把函数的图象向右平移个单位得到的图象； ④函数在上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于①，根据平方差公式及二倍角公式化简可得周期；对于②，转化为在上恰有3个实根，利用正弦函数图像可得的取值范围；对于③，根据函数平移可求解析式可确定；对于④，利用函数整体代换法确定单调性即可. 【详解】①， 故函数的最小正周期是，故①正确； ②，， 即在上恰有3个实根， 所以，解得，故②正确； ③把函数的图象向右平移个单位得到，故③正确； ④，则，由于在上单调递增， 所以函数在上是增函数，故④错误； 故选：ABC. 11. 在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，，，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，， 所以 所以，故B不正确； 对于C，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 13. 已知为锐角，，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合同角三角关系可得，再根据角的关系，结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为为锐角，且，可得， 又因为， 所以. 故答案为：3． 14. 在菱形中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得，得到，利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，连接， 根据菱形的几何性质有，对边互相平行，四条边均相等，所以，且，所以，所以， 根据向量加法的三角形法则有，， 所以； 又因为，，所以， 在，，， 由余弦定理有：， 所以.则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ． 16. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求的值； （2）若是以角为直角顶点的直角三角形，求的值以及此时三角形的面积. 【答案】（1）；（2）,. 【解析】 【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可； （2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积． 【详解】由已知得，， ， 三点共线, ∥ . . （2）是以角为直角顶点的直角三角形 , ， 即 ， ， ， . 【点睛】本题考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）设，为锐角，且，，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）化简得，再求解最小正周期即可； （2）由题知，进而得即可得答案； （3）根据同角三角函数关系和余弦的和角公式求解即可. 【小问1详解】 因为 所以的最小正周期为； 【小问2详解】 当时，， 所以，即， 所以， 所以，当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值； 【小问3详解】 因为为锐角，且，， 所以，， 所以， 所以. 18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角化边求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解. （3）由（1）令，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 而，解得，而，所以. 【小问2详解】 由及，得，解得，而，则， 由余弦定理得，所以. 【小问3详解】 由（1）知，令， 由为锐角三角形，得，则， 因此， 所以的取值范围是. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 （1）请求出函数的解析式； （2）先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中提供的数据，依次求得的值，从而求得，并补全表格数据. （2）根据三角函数图象变换、三角函数的对称性等知识求得的表达式，利用整体代入法求得函数的单调递增区间． 【小问1详解】 根据表中已知数据，得， 可得，当时，，解得， 所以．数据补全如下表： 0 0 2 0 0 【小问2详解】将图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得到的图象，所以 因为的图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以，此时， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试 数学（高一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 2. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A(1，－2)，B(－3，1)，则与向量同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，，，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 7. 已知，，，且在上无最小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 72m C. 74m D. 76m 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，选对得部分分，选错没分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，则复数z的虚部等于 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则 10. 下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是； ③把函数的图象向右平移个单位得到的图象； ④函数在上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，，，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 13. 已知为锐角，，则的值为__________． 14. 在菱形中，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 16. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求的值； （2）若是以角为直角顶点的直角三角形，求的值以及此时三角形的面积. 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）设，为锐角，且，，求的值. 18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 （1）请求出函数的解析式； （2）先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $