1.2集合间的基本关系讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语高一数学必修一第一册人教A版（2019） 1.2集合间的基本关系同步练习 参考答案与题目解析 知识点梳理 一、集合间的基本关系子集定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 (subset)，记作 AB(或BA)， 读作“A包含于B”(“或B包含A”). 练习：思考集合{2}与集合{x|x²-5x+6=0|的关系是？ 【解答】:集合{2}与集合{x|x²-5x+6=0|的关系是：{2}≤{x²-5x+6=0}. 二、学习集合的辅助图——“图” 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图。这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用下图表示. 图用于展示不同的集合之间的关系,也常常被用来帮助推导关于下一节集合运算的一些规律.它最大的优点就是直观，体现了数形结合思想，可以作为同学们学习集合这一章的辅助手段. 三、集合间的基本关系——“相等” 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 A=B. 也就是说,若AB,且BA,则A=B. 四、集合间的基本关系——“真子集” 如果集合AB，但存在元素xB，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作 读作:“A真包含于B”(或“B真包含A”) 练习：判断下列两个集合之间的关系A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5} . 【解答】：我们发现AB，但4B，且4A，所以集合A是集合B的真子集. 五、集合间的基本关系——“空集” 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 (cmptyset)，记为∅，并规定:空集是任何集合的子集. 例如，方程x²+1=0没有实数根，所以方程x²+1=0的实数根组成的集合就是这样一个集合，它不包含任何元素. 结论:(1)AA(类比a≤a) (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. (3)若AB,BC,则AC(类比a≤b，b≤c则a≤c) (4)一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2个，其真子集数为2-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0. 练习：请判断: 0，{0}与∅三者之间有什么区别呢?它们之间又会有什么样的关系呢? 【解答】0{0}; 0∅;0{0}; 0{0}. 六、子集和真子集的区别与联系 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA; (2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. 求集合子集、真子集个数的3个步骤： ①判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况! ②分类 根据集合中元素的多少进行分类! ③列举 采用列举法逐一写出每种情况的子集! 同步练习 1.下列四个集合中，是空集的是( ) A.{x|x+3=3} B. {(x ,y)|y²= -x²,x ,yR} C.{x|x² ≤0} D.{x|x²-x+1=0,xR} 1.【解答】解:根据题意，由于空集中没有任何元素， 对于选项A,x=0: 对于选项B，(0.0)是集合中的元素; 对于选项C，由于x=0成立; 对于选项D，方程无解. 故选:D. 2. 已集合A={x|ax+3=0},B={x|x²=9}，若AB，则实数a的取值集合是( ) A. {1} B.{-1,1} C.{-1,0,1} D.{0.1} 2. 解析:因为B={-3,3}又AB，所以A=∅,{-3}，{3}，{-3,3}. 当 A=∅，则a=0; 当A={3},则3a+3=0,即a=-1; 当A={-3},则-3a+3=0,即a=1; 当 A={-3,3}不合题意. 所以a的取值集合为{-1,0,1}.答案选 C. 3.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|0<x<6,xN}，则满足ACB的集合C的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 3.【解答】解:集合A={x|x²-3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,xN}={1,2,3,4,5}. 满足ACB的集合C有: {1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2.3,5},{1,2.4.5},{1,2,3,4,5}，共7个. 故选:B. 4.若xA，则A,就称A是伙伴关系集合，集合M={-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 4.【解答】解:∵-1∈A,=-1,2∈A,则∈A, ∵∈A则2 ∈A, ∴A={-1}或A={2，}或A={-1,2,} 故选:B. 5.设集合P = {y|y = x² +1},M ={x|y =x² +1}，则集合M与集合P的关系是( ) A.M=P B. PM C.MP D.PM 5.【解答】解:因为y = x² +1≥1,即P ={y|y≥1},M ={x|y=x²+1}=R，所以PM，故选:D. 6.如果A={x|ax²-ax+1<0=∅},则实数a的取值范围为( ) A.0<a<4 B.0≤a<4 C.0<a≤4 D.0≤a≤4 6.【解答】解:因为A = {x|ax²-ax+1<0=∅}，所以不等式ax²-ax+1<0的解集是空集， 当a=0，不等式等价为1<0，无解,所以a=0成立. 当a≠0时，要使ax²-ax+1<0的解集是空集，则a>0,△=a²-4a≤0，解得0<a≤4. 综上实数a的取值范围0≤a≤4. 故选:D. 7.已知集合A ={x|x²-3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为( ) A.4 B.8 C.7 D.16 7.【解答】解:集合A={x|x²-3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5}， ∴满足A CB的集合C有: {1,2},{1,2,3},{1,2,4} ,{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共8个. 故选:B. 8.已知集合M={2,4,8},N={1,2},P={x|x=,aM,bN},则集合P的子集个数为( ) A.4 B.6 C.16 D.63 8.【解答】解: 集合M={2,4,8},N={1,2},P={x|x=,aM,bN}, ∴P={1,2,4,8}， ∴集合P的子集个数为:2=16. 故选:C. 9.对于任意两个数x ,y(x,y∈N*)。定义某种运算“”如下: ①当或时，； ②当时， 则集合A ={(x,y)|}的子集个数是( ) A. 个 B.个 C.个 D.个 9.【解答】解:①若x，y同为奇数或偶数时;∵ xy =x+y=10. ∴同时为偶数时:(2,8)，(4,6),(6,4),(8,2); 同时为奇数时:(1,9),(3,7),(5,5),(7,3) ,(9,1); ②当x为偶数，y为奇数时;∵xy = xy ，∴(2,5) ,(10,1) ∴综上所述:集合A中共含有11个元素， 故其子集个数为:个. 故选:C. 10.下列各式:①{a} {a},②∅{0},③0{0},④{1,3}{3.4},其中正确的有 ( ) A.② B.①② C.①②③ D.①③④ 10.【解答】解:任何集合是它本身的子集，∴①正确; 空集是任何非空集合的真子集，∴②正确; 0表示元素，应为0∈{0} ，∴③错误; 1∉{3，4}，∴{1,3}不是{3,4}的真子集，∴④错误; ∴正确的为①②. 故选:B. 11.(多选)已知集合A={x|x²-2x=0}，则( ) A.∅A B.-2A C.{0,2}A D.A{y|y<3} 11.【解答】：ACD 由题得集合A={0，2}，故A、C、D正确，B错误.故选ACD. 12.(多选题)集合M ={x|x=2k-1,kZ},P={y|y=3n+1.nZ},S={z|z=6m+1,mZ} 之间的关系表述正确的有( ) A.SP B.SM C.MS D.PS 12.【解答】解:M ={x|x =2k-1,kZ}表示被2整除余1的数的集合: P = {y|y= 3n+1,nZ}表示被3整除余1的数的集合: S ={z|z=6m+1,mZ} ={z|z=3× (2m)+1,mZ}={z|z= 2 × (3m) +1,mZ}，表 示被6整除余1的集合;故SP，SM. ∴SP,SM,正确, 即AB正确. 故选:AB. 13.设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边 形组成的集合，则A____B,B____C. 13.【答案】AB，BC 14.已知集合A ={x|(a-1)x² +3x-2=0},若A的子集个数为2个，则实数 a=_________. 14.【解答】解: ∵集合A = {x|(a -1)x²+3x-2=0},且A的子集个数为2个， ∴(a -1)x² +3x-2= 0只有一个实数解， 当a-1=0时,a=1,∴(a-1)x² +3x -2= 0即3x-2=0,解得x=, 当a-1≠0时,(a-1)x² +3x-2= 0只有一个实数根,△= 9+8(a-1)= 0，解得a =, ∴实数a的值为1或. 故答案为:1或. 15.已知集合 A={x|x<a}，集合 B={x|x<2}，若AB，则实数a的取值范围为 _________. 15.【答案】：{a|a≤2} 解析∵集合 A={x|x<a}，B={x|x<2}， AB, ∴利用数轴表示如图， ∴a≤2. 16.已知集合A={x|x =(2k + 1), kZ}, B={x|x=k±，kZ}则集合A，B 之间的关系为_________. 16.【答案】：A=B A={x|x =(2k + 1), kZ}={} B={x|x=k±，kZ}={} 故A=B. 17.若{5，a+4}={a，b}，则a+b=_________. 17.答案 14【解析】： 若 ，解得 ，则a+b=5+9=14; 若则此方程组无解. 综上，a+b=14. 18.用适当的符号填空: (1) 0________{x|x²=x}; (2) -1_______{x|x²=x}; (3) ∅_______{x|x²=x}; (4) {0}________{x|x²=x}; (5) {0，1}________{x|x²=x}. 18.【解答】: 因为{x|x²=x}={0，1} 所以0∈{x|x²=x}; -1∉{x|x²=x}; 所以∅{x|x²=x}; {0}{x|x²=x}; {0,1}{x|x²=x}; 故：∅{x|x²=x}; ∅{x|x²=x}; {0}{x|x²=x}; {0}{x|x²=x}; {0,1}{x|x²=x}; {0,1}={x|x²=x}; 19. 判断下列各组中两个集合之间的关系: (1) {1,2,3}与{x|x是6的正因素}; (2) {x|x=3n,nZ}与{x|x=6k,kZ}. (3) A={x|x=2k,kN}与B={y|y = 4m,mN}; (4) E={x|x-3<2,x} 与F ={1,2,3,4,5} 19.【解答】(1) {1,2,3}{x|x是6的正因素}; (2) {x|x=3n,nZ}与{x|x=6k,kZ}. (3)因为A={0,2,4,6,8...},B={0,4,8...}所以BA. (4) E={1,2,3,4}所以EF 20.写出下列集合的所有子集. (1) {0}; (2){x|(x-1)(x-2)(x-3)² =0}. 20.【解答】： (1) ∅,{0}; (2) ∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}. 21.设Y是由6的全体正约数组成的集合，写出Y的所有子集. 21.【解答】:因为Y={1,2,3,6}所以Y的所有子集有16个分别为:φ，{1}，{2}， {3}，{6},{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}，{1,2,3}，{1,2,6}， {1,3,6}，{2,3,6}，{1,2,3,6}. 22.举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示 22.【解答】：A={1,2}，B={1,2,3,}，C={x|x² -3x+2=0}; AB，A=C. (此题答案不唯一) 23. 已知集合A={x|a+1≤x≤2a-1}，集合B={x|-1<x<5}，若AB，求实数a的 取值范围. 23.解析:因为AB，所以当A=∅，则满足a+1>2a-1，即a<2: 当A≠∅，则满足a+1≤2a-1，a+1>-1 ，2a-1<5 即a≥2，a>-2，a<3，所以2≤a<3. 综上所述，实数a的取值范围为a<3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语高一数学必修一第一册人教A版（2019） 1.2集合间的基本关系同步练习 原卷 知识点梳理 一、集合间的基本关系子集定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 (subset)，记作 AB(或BA)， 读作“A包含于B”(“或B包含A”). 练习：思考集合{2}与集合{x|x²-5x+6=0|的关系是？ 二、学习集合的辅助图——“图” 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图。这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用下图表示. 图用于展示不同的集合之间的关系,也常常被用来帮助推导关于下一节集合运算的一些规律.它最大的优点就是直观，体现了数形结合思想，可以作为同学们学习集合这一章的辅助手段. 三、集合间的基本关系——“相等” 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 A=B. 也就是说,若AB,且BA,则A=B. 四、集合间的基本关系——“真子集” 如果集合AB，但存在元素xB，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作 读作:“A真包含于B”(或“B真包含A”) 练习：判断下列两个集合之间的关系A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5} . 五、集合间的基本关系——“空集” 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 (cmptyset)，记为∅，并规定:空集是任何集合的子集. 例如，方程x²+1=0没有实数根，所以方程x²+1=0的实数根组成的集合就是这样一个集合，它不包含任何元素. 结论:(1)AA(类比a≤a) (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. (3)若AB,BC,则AC(类比a≤b，b≤c则a≤c) (4)一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2个，其真子集数为2-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0. 练习：请判断: 0，{0}与∅三者之间有什么区别呢?它们之间又会有什么样的关系呢? 六、子集和真子集的区别与联系 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA; (2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. 求集合子集、真子集个数的3个步骤： ①判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况! ②分类 根据集合中元素的多少进行分类! ③列举 采用列举法逐一写出每种情况的子集! 同步练习 1.下列四个集合中，是空集的是( ) A.{x|x+3=3} B. {(x ,y)|y²= -x²,x ,yR} C.{x|x² ≤0} D.{x|x²-x+1=0,xR} 2. 已集合A={x|ax+3=0},B={x|x²=9}，若AB，则实数a的取值集合是( ) A. {1} B.{-1,1} C.{-1,0,1} D.{0.1} 3.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|0<x<6,xN}，则满足ACB的集合C的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 4.若xA，则A,就称A是伙伴关系集合，集合M={-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 5.设集合P = {y|y = x² +1},M ={x|y =x² +1}，则集合M与集合P的关系是( ) A.M=P B. PM C.MP D.PM 6.如果A={x|ax²-ax+1<0=∅},则实数a的取值范围为( ) A.0<a<4 B.0≤a<4 C.0<a≤4 D.0≤a≤4 7.已知集合A ={x|x²-3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为( ) A.4 B.8 C.7 D.16 8.已知集合M={2,4,8},N={1,2},P={x|x=,aM,bN},则集合P的子集个数为( ) A.4 B.6 C.16 D.63 9.对于任意两个数x ,y(x,y∈N*)。定义某种运算“”如下: ①当或时，； ②当时， 则集合A ={(x,y)|}的子集个数是( ) A. 个 B.个 C.个 D.个 10.下列各式:①{a} {a},②∅{0},③0{0},④{1,3}{3.4},其中正确的有 ( ) A.② B.①② C.①②③ D.①③④ 11.(多选题)已知集合A={x|x²-2x=0}，则( ) A.∅A B.-2A C.{0,2}A D.A{y|y<3} 12.(多选题)集合M ={x|x=2k-1,kZ},P={y|y=3n+1.nZ},S={z|z=6m+1,mZ} 之间的关系表述正确的有( ) A.SP B.SM C.MS D.PS 13.设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边 形组成的集合，则A____B,B____C. 14.已知集合A ={x|(a-1)x² +3x-2=0},若A的子集个数为2个，则实数 a=_________. 15.已知集合 A={x|x<a}，集合 B={x|x<2}，若AB，则实数a的取值范围为 _________. 16.已知集合A={x|x =(2k + 1), kZ}, B={x|x=k±，kZ}则集合A，B 之间的关系为_________. 17.若{5，a+4}={a，b}，则a+b=_________. 18.用适当的符号填空: (1) 0________{x|x²=x}; (2) -1_______{x|x²=x}; (3) ∅_______{x|x²=x}; (4) {0}________{x|x²=x}; (5) {0，1}________{x|x²=x}. 19. 判断下列各组中两个集合之间的关系: (1) {1,2,3}与{x|x是6的正因素}; (2) {x|x=3n,nZ}与{x|x=6k,kZ}. (3) A={x|x=2k,kN}与B={y|y = 4m,mN}; (4) E={x|x-3<2,x} 与F ={1,2,3,4,5} 20.写出下列集合的所有子集. (1) {0}; (2){x|(x-1)(x-2)(x-3)² =0}. 21.设Y是由6的全体正约数组成的集合，写出Y的所有子集. 22.举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示 23. 已知集合A={x|a+1≤x≤2a-1}，集合B={x|-1<x<5}，若AB，求实数a的 取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$