第04讲 圆（知识清单+8大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04讲 圆（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 点与圆上一点的最值问题 题型八 求圆弧的度数 知识清单 知识点1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 知识点4. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 知识点5圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点6.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 知识点7.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 题型方法 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，A是外一点，直线交于C、D两点，E是上的一点（不与C、D重合），连接交于点B，． (1)当点B在线段上，如图1所示，求与之间的关系； (2)当点E在线段上，如图2所示，若，求的度数． 【题型二】求圆中弦的条数 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 3．（九年级·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【题型三】求过圆内一点的最长弦 【例3】（九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是 3．（九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【题型四】圆的周长和面积问题 【例4】（江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【举一反三】 1．（九年级·全国·专题练习）如图，的半径为1，分别以的直径上的两个四等分点，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【题型五】判断点与圆的位置关系 【例5】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【题型六】利用点与圆的位置关系求半径 【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【题型七】点与圆上一点的最值问题 【例7】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点为坐标原点，的半径为1，点．动点在上，连结，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用]（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点的坐标． 【题型八】求圆弧的度数 【例8】（九年级上·江苏·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 3．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 好题必刷 一、单选题 1．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2．如图，小明沿着大半圆从地到地，小红沿着两个小半圆从地到地，设小明、小红走过的路程分别为a，b，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．下列说法正确的是（        ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对弦相等 D．直径为圆中最长的弦 4．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合 6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（　　） A． B． C． D．1 7．下列说法中，错误的是（　　） A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 8．过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．无数条 9．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 12．如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、(m＞0)，点P在以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是 ． 14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．    15．点到上一点的距离的最大值是，的最小值为，则的半径为 ． 16．已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，则点A'的坐标可能为 ． 17．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于 度． 18．如图，点、、、、在上，且弧为，则 ． 三、解答题 19．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 20．如图，CD是的直径，点A在DC的延长线上，AE交于点B，AB等于的半径，，求的度数． 21．小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：以内，以外．小明投了，小华投了，他们投的球分别落在哪个区域内？ 22．如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 23．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数． 24．如图是半径为2的圆， （1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度， （2）求第三个扇形AOC的面积． 25．如图，菱形的对角线相交于点O，四条边的中点分别为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？ 26．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合． （1）旋转中心是点________，旋转了________度． （2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？ （3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 圆（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 点与圆上一点的最值问题 题型八 求圆弧的度数 知识清单 知识点1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 知识点4. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 知识点5圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点6.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 知识点7.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 题型方法 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键．根据圆的相关概念逐项分析即可． 【详解】解：A．在同一个圆中，直径是最长的弦，正确；     B．能够重合的弧是等弧，故不正确； C．直径是弦，但弦不一定是直径，故不正确；     D．半圆是弧，弧不一定是半圆，故不正确； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据三角形外心的性质即可判断． 【详解】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； ②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意； ③三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意， ∴正确的有1个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角 【分析】本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质．先利用直角三角形两锐角互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可计算出． 【详解】∵在中，， 又 又 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，A是外一点，直线交于C、D两点，E是上的一点（不与C、D重合），连接交于点B，． (1)当点B在线段上，如图1所示，求与之间的关系； (2)当点E在线段上，如图2所示，若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理． （1）连接，则，根据等边对等角得出，，进而求得，得出； （2）连接，则，根据等边对等角得出，，进而根据三角形内角和定理求得即可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：； 如图，连接，则， ． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接，则， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型二】求圆中弦的条数 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 3．（九年级·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【知识点】求圆中弦的条数、圆的基本概念辨析 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 【题型三】求过圆内一点的最长弦 【例3】（九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、求过圆内一点的最长弦 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【知识点】求过圆内一点的最长弦、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，   点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是 【答案】 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，圆中最长的弦是直径，据此求出该圆的直径长，进而可得该圆的半径长． 【详解】解：∵一个圆最长的弦是， ∴这个圆的直径为， ∴这个圆的半径为， 故答案为：． 3．（九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【知识点】求过圆内一点的最长弦、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【题型四】圆的周长和面积问题 【例4】（江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级·全国·专题练习）如图，的半径为1，分别以的直径上的两个四等分点，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可. 【详解】解：, ∴图中阴影部分的面积为. 故选B. 【点睛】本题考查了圆的知识点，解题的关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。 【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆， 则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆， 所以圆M的周长为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【知识点】圆的周长和面积问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 【题型五】判断点与圆的位置关系 【例5】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径即可得到结论． 【详解】解：的半径为， ， 点在圆外． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答． 【详解】解：解方程得：（舍去） ∴圆O的半径是8， ∵点A到圆心O的距离为6，， ∴点A在圆O内． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 【题型六】利用点与圆的位置关系求半径 【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 【题型七】点与圆上一点的最值问题 【例7】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 设与交于点N，连接，如图，由题意可知ON＝OP，从而可知MN为△POQ的中位线，由三角形中位线的性质可知；当点M、O、N在一条直线上时，有最小值，接下来依据求解即可． 【详解】解：设与交于点N，连接，如图， ∵，， ∴N是的中点． ∵M是的中点，N是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上． ∵当点M在上时，最小， ∴线段的最小值为． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、点与圆上一点的最值问题 【分析】先证明，则，通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大．再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在以点A为圆心，半径为2的圆上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．连接，，通过证明可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ，， ． ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得， 此时，    故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点为坐标原点，的半径为1，点．动点在上，连结，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用]（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1），理由见解析；（2）3；（3）， 【知识点】点与圆上一点的最值问题、根据旋转的性质说明线段或角相等、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可； （2）根据，即说明当E、O、A三点共线时，最大，且此时； （3）将绕点P顺时针旋转，得到，连接，即得出为等腰直角三角形，根据旋转可知，，得出当点N在线段延长线上时，线段最大，即此时最大，即可求解．过点P作轴于点E，求出和的长，即可求出点P坐标． 【详解】解：（1），理由如下， 根据题意作图如下， ∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）∵的半径为1，，为等边三角形， ∴，． ∴点E在上． 在中，， ∴当E、O、A三点共线时，最大，且此时， ∴的最大值为3； （3）如图，将绕点P顺时针旋转，得到，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴当最大时，最大． ∵当点N在线段延长线上时，线段最大，如图， ∴的最大值即为此时的长． ∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴． ∵， ∴的最大值为． 如图，过点P作轴于点E， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质，圆上一点到圆外一点距离的最值等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线． 【题型八】求圆弧的度数 【例8】（九年级上·江苏·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、 求圆弧的度数 【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义分别判断即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； （2）等弧所对的圆周角相等，故正确； （3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）直径所对的圆周角是直角，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义，属于基础知识，要熟悉课本中的性质定理． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 求圆弧的度数、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【知识点】 求圆弧的度数、等边对等角、两直线平行内错角相等 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 3．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）；（2）13 【知识点】圆周角定理、 求圆弧的度数、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案； （2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径． 【详解】（1）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∴的半径长为13． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解． 好题必刷 一、单选题 1．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选C． 2．如图，小明沿着大半圆从地到地，小红沿着两个小半圆从地到地，设小明、小红走过的路程分别为a，b，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】略 3．下列说法正确的是（        ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对弦相等 D．直径为圆中最长的弦 【答案】D 【分析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D． 【详解】A. 如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误； B. 不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误； C. 如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误； D. 直径是圆中最长的弦，故本选项错误. 故选D. 【点睛】考查确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，属于基础题，难度不大. 4．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可． 【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大． 5．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点A在O外. 故选C. 【点睛】掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题关键. 6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】当时，取得最大值，在直角三角形中利用勾股定理求的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示：、是定值， 时，最大， 在直角三角形中，，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件． 7．下列说法中，错误的是（　　） A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 【答案】C 【分析】根据圆的有关概念进行判断． 【详解】解：A、半圆是弧，所以A选项的说法正确； B、半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确； C、过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误； D、直径是弦，所以D选项的说法正确． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 8．过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】A 【详解】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 9．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解. 【详解】如图， ∵A（-1，0），B（-3，0）， ∴AB=2， ∵∠APB=30°， ∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧； 易得圆心坐标为， ， . 故选 【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点． 二、填空题 11．已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在上 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的直径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：点P在上， 故答案为：点P在上． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离是解答此题的关键． 12．如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    【答案】5：14 【分析】设重叠阴影部分面积为1，根据重叠部分与小圆、大圆的关系占比，可计算小圆、大圆的面积． 【详解】设重叠阴影部分面积为1， 故小圆面积为，大圆面积为：， 那么小圆面积与大圆面积之比是 故答案为： 【点睛】本题考查重叠问题，是基础考点，掌握局部与总体的关系是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、(m＞0)，点P在以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先计算AB、AC的长，结合直角三角形斜边中线的性质，得到，再利用勾股定理解得AD的长，根据点与圆的位置关系得到AP最长与AP最短的值，继而解得m的值． 【详解】连接AP，作射线AD， 由题意得，AB=，AC= ，D(4，5) 当点P在线段AD的延长线上时，AP最长，即AP=5+1=6； 当点P在线段AD上时，AP最短，即AP=5-1=4， 的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，涉及直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．    【答案】60 【分析】如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】如图，连接OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=20°， ∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=60°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=60°， 故答案为60．    【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键． 15．点到上一点的距离的最大值是，的最小值为，则的半径为 ． 【答案】或13cm. 【分析】根据题意， 如图1，圆的半径为：（18-8）=5（cm） 如图2，圆的半径为：（18+8）=13（cm）． 故答案为5cm或13cm． 【详解】本题考查了圆外一点到圆的最大距离和最短距离，最大距离和最短距离都在过圆心的直线上，属于基础知识． 16．已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，则点A'的坐标可能为 ． 【答案】（，9）、（，9）或（，1） 【分析】将对称的动点问题看作是画圆的问题，即可将问题转化为直线与圆的交点问题，再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，点A关于OP的对称点为A′， 由对称性可知△AA′O为等腰三角形，且腰为OA＝10， 所以距离CB直线为4的点分布在直线BC的两侧， A′可以看作是以O为圆心，OA为半径的圆与直线y＝9，与直线y＝1的交点 由勾股定理可得，当A′在y轴左侧BC上方时，A′（−，9）， 当A′在y轴左侧BC下方时，A′（−3，1）， 当A′在y轴右侧BC上方时，A′（，9） 【点睛】本题考查了轴对称问题，对称过程中会生成等腰三角形，并根据实际条件，将点的问题转化为直线与圆的问题是本题解题的关键． 17．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于 度． 【答案】55 【分析】连接OA，OB，由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°，再根据垂径定理即可得解. 【详解】连接OA，OB， 由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°， ∵OC⊥AB， ∴， ∴∠AOC=∠AOB=55°. 故答案为55. 【点睛】本题主要考查圆心角定理与垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 18．如图，点、、、、在上，且弧为，则 ． 【答案】 【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得. 【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以 . 顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以： , ， . 【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系. 三、解答题 19．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 20．如图，CD是的直径，点A在DC的延长线上，AE交于点B，AB等于的半径，，求的度数． 【答案】26° 【分析】根据等腰三角形的性质，由AB=OB得到∠A=∠BOA，由OB=OE得到∠E=∠OBE，再根据三角形外角性质得到∠OBE=∠A+∠BOA=2∠A，则∠E=2∠A，然后利用∠DOE=∠A+∠E得到∠A=∠DOE=26°． 【详解】解：∵AB等于的半径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质和三角形外角性质．利用同圆中半径都相等得到等腰三角形是解题关键. 21．小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：以内，以外．小明投了，小华投了，他们投的球分别落在哪个区域内？ 【答案】小明投的球落在5~6m区域内，小华投的球落在6~7m区域内． 【分析】小明投球的距离，小华投球的距离分别与铅球场地区域进行比较即可得． 【详解】解：∵5m<5.2m<6m， ∴小明投的球落在5~6m区域内， ∵6m<6.7m<7m， ∴小华投的球落在6~7m区域内， 综上，小明投的球落在5~6m区域内，小华投的球落在6~7m区域内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握其知识点． 22．如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 【答案】点在内，点在外，点在上 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：连接，∵，， ∴， ∵的半径为4，， ∴点在内， ∵， ∴点在上 ， ∴点在外． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系和勾股定理，熟记概念是解题的关键． 23．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数． 【答案】①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°；②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°． 【分析】本题注意要分情况讨论：C点在劣弧AB上或点C点在优弧AB上．连接过切点的半径，根据四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC． ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°． 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°； ②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识． 24．如图是半径为2的圆， （1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度， （2）求第三个扇形AOC的面积． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】（1）根据扇形定义及题目要求画出即可； （2）根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2），， ， 故． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，解题的关键是根据题意求出对应圆心角度数是前提，掌握扇形的面积公式． 25．如图，菱形的对角线相交于点O，四条边的中点分别为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？ 【答案】共圆，圆心在点O处 【分析】根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质证出四边形EFGH是矩形，根据矩形性质可得E，F，G，H到矩形中心的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：点E，F，G，H四点共圆，圆心在点O处． 理由如下： 连接HE，EF，FG，GH，OH，OE，OF，OG． ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF平行且等于AC, HG平行且等于AC， ∴EF平行且等于GH ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∴∠AOB＝90° ∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴E，F，G，H到矩形中心的距离相等 ∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O． 【点睛】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键． 26．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合． （1）旋转中心是点________，旋转了________度． （2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？ （3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________． 【答案】（1）A，90；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）EF的一半，点C在⊙M上 【分析】（1）利用旋转的定义直接填写即可； （2）可证明△ADE≌△ABF，可得出AE＝AF，且可求得∠EAF＝90°； （3）由（2）可知M在EF的中点上，所以半径为EF的一半，利用圆周角定理可知点C在圆上． 【详解】（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°． 故答案为A；90； （2）△AEF是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°． ∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB＝∠EAF＝90°，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形； （3）∵△AEF为等腰直角三角形，∴M点在EF的中点，其外接圆如图，∵∠ECF＝90°，∴点C在⊙M上． 故答案为EF的一半；点C在⊙M上． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的图形全等是解题的关键．注意直角三角形的外心在斜边的中点上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$