第04讲 二次函数的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 二次函数的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 其他问题(实际问题与二次函数) 题型八 线段周长问题(二次函数综合) 题型九 面积问题(二次函数综合) 题型十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 2．（九年级上·安徽马鞍山·期中）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线在轴上方的部分,记作,它与轴交于点,将绕点旋转得,与轴交于另一点,请继续操作并探究：将绕点旋转转得,与轴交于另一点；将绕点旋转得,与x轴交于另一点,这样依次得到轴上的点,,,，…，及抛物线,,,,…,…，则的顶点坐标为 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（    ） A．6米 B．5米 C．米 D．4米 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 举一反三】 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升为时，此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是． （1）小球运动时的高度 小球运动时的高度．（填“>”“<”或“=”） （2）小球运动中的最大高度是 m． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是某次足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … (1)求h与t之间的函数表达式； (2)该运动员踢出的足球在第多少秒落地？ 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（九年级上·安徽亳州·阶段练习）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【题型七】其他问题(实际问题与二次函数) 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行的距离与滑行时间成二次函数关系，请你能根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行10秒时，滑行的距离是（   ） 滑行时间t 0 1 2 3 … 滑行距离s 0 4.5 14 28.5 … A．240m B．270m C．300m D．288.5m 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）一辆汽车刹车后行驶的距离与行驶时间之间的函数关系为，当 时，汽车停下来了． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【题型八】线段周长问题(二次函数综合) 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点（点在轴正半轴上），且． （1）的值为 ； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【题型九】面积问题(二次函数综合) 【例9】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 【题型十】其他问题(二次函数综合) 【例10】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式（用含a的式子表示）； (2)若，且该抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围； (3)若，点，在该抛物线上，且当时，都有，求a的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．某种新型礼炮的升空高度h（m）飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）． A．3S B．4S C．5S D．6S 2．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x 3．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 4．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 5．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（    ） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 6．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 7．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（   ） A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 9．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 10．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数实际问题学了 和 12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元． 13．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是 ． 15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米． 16．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为 ． 17．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是 ． 18．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小. 三、解答题 19．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 20．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ （2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系： 销售单价x/元 20 25 30 35 月销售量y/件 3300 2800 2300 1800 （1）求y关于x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 23．一辆汽车的行驶距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多少时间？ 24．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 25．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值． 26．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 其他问题(实际问题与二次函数) 题型八 线段周长问题(二次函数综合) 题型九 面积问题(二次函数综合) 题型十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出的长，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示， 设米，则， 又小院子的总面积为， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 【答案】200 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为平方米，宽为米，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为平方米，宽为米，则长为米， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为200． 即围成养殖园的最大面积平方米． 故答案为：200． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 【答案】(1) (2)长方形花圃的最大面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程． （1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得； （2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示， 设花圃的宽为，则， ， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：∵，且， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，长方形花圃的面积最大， 最大面积为． 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 【举一反三】 1．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等三角形综合问题、图形运动问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【详解】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 2．（九年级上·安徽马鞍山·期中）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线在轴上方的部分,记作,它与轴交于点,将绕点旋转得,与轴交于另一点,请继续操作并探究：将绕点旋转转得,与轴交于另一点；将绕点旋转得,与x轴交于另一点,这样依次得到轴上的点,,,，…，及抛物线,,,,…,…，则的顶点坐标为 【答案】 【分析】分析: 根据图形连续旋转, 旋转奇数次时,图象在x轴下方, 每两个图象全等且相隔三个单位; 旋转偶数次时, 图象在x轴上方,每两个图象全等且相隔三个单位. 【详解】解: 这样依次得到x轴上的点,,,...,,..,及抛物线,,...,,.... 则的顶点坐标为 , 故答案为: . 【点睛】点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是找到旋转后的规律，如交点间的距离, 顶点间的横向距离、纵向距离等. 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（    ） A．6米 B．5米 C．米 D．4米 【答案】D 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，设拱桥两端分别为，顶端为，以所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，点、的横坐标为， 设抛物线的解析式为，求出解析式为，当时，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设拱桥两端分别为，顶端为，以所在直线为轴，线段中点为原点建立直角坐标系如图所示， ， 由题意得：，，，点、的横坐标为， 设抛物线的解析式为， 将，，代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为：， 当时，， （米）， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得 ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得 ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是根据已知条件建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题． （1）先根据抛物线的顶点坐标和与轴交点坐标设出抛物线表达式，代入点坐标求出表达式； （2）根据货车通行情况确定的值，代入表达式求出对应的值，与货车高度比较判断能否通行． 【详解】（1）因为抛物线顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为． 又因为抛物线过点，把代入得： ，即，解得． 所以这条抛物线的函数表达式为． （2）因为正中间有1m宽的绿化带，货车宽2m，那么货车在一侧车道行驶时，离对称轴的距离最远为， 所以当或时，代入得： 因为，所以一辆宽度为，高度为的货车能通行． 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【详解】解：根据题意得出： ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 【答案】(1)，当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元 (2)112元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程实际应用等． （1）根据题意列二次函数解析式，再整理成顶点式，继而得到本题答案； （2）令，解出，，再根据实际问题含义舍值，继而得到答案． 【详解】（1）解∶由题意得：， ， ∴元时，最大为9000元， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元； （2）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于游客， ∴不合题意，舍去， ∴售价应为（元）， 答：售价应为112元． 举一反三】 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升为时，此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，解方程即可． 【详解】解：令，则， 解得， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（米） ∵抛物线的表达式为 ∴将代入得，． ∴篮圈中心到地面的距离为3.05米． 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是． （1）小球运动时的高度 小球运动时的高度．（填“>”“<”或“=”） （2）小球运动中的最大高度是 m． 【答案】 45 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式： （1）分别把和代入解析式求出h的值，再比较即可； （2）把解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ， 小球运动时的高度＞小球运动时的高度； 故答案为：； （2）， 所以当时，h有最大值，最大值为45， 故答案为：45． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是某次足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … (1)求h与t之间的函数表达式； (2)该运动员踢出的足球在第多少秒落地？ 【答案】(1) (2) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：或， ∴该运动员踢出的足球在第落地． 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（九年级上·安徽亳州·阶段练习）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵a＜0，故函数有最大值， ∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴y轴左侧喷泉最高点坐标为 ∵两个喷泉关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， 即右侧喷泉的解析式为； ∴两个喷泉最高点之间的距离是． 故答案为:； ． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【题型七】其他问题(实际问题与二次函数) 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 采取紧急制动措施的最小安全距离为16米， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行的距离与滑行时间成二次函数关系，请你能根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行10秒时，滑行的距离是（   ） 滑行时间t 0 1 2 3 … 滑行距离s 0 4.5 14 28.5 … A．240m B．270m C．300m D．288.5m 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解表格信息反应的函数关系是解本题的关键．依据题意，设关于的函数关系式为：，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再把代入计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：与的关系可近似看成二次函数， 该函数图象经过点， 设关于的函数关系式为：， 该函数图象经过点和， 根据题意，得：， ． 关于的函数关系式可以近似地表示为． 经检验：点在该二次函数的图象上， 时，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）一辆汽车刹车后行驶的距离与行驶时间之间的函数关系为，当 时，汽车停下来了． 【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，将二次函数解析式配方成顶点式，求出S取最大值时t的值即可． 【详解】解： ∵， ∴有最大值， 即当时，有最大值，为18， ∴当时，汽车停下来了． 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用， （1）利用待定系数法法求解即可； （2）先求出、的坐标，进而即可得解； （3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ; （2）解：当时，， 解得， ， ∴; （3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 故线的解析式为， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ， ． 【题型八】线段周长问题(二次函数综合) 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点（点在轴正半轴上），且． （1）的值为 ； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质； （1）先求出，，再根据列方程求解即可； （2）设，则，表示出，根据当时，的长度随的增大而增大，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）令，则，解得或， ∵点B在x轴正半轴上， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵抛物线的函数表达式为，点为抛物线上一动点， ∴， ∵轴，交一次函数的图象于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长度随m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； （3）证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【答案】(1) (2)①的最小值为；②t的值为或7 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设点，点，则，即可求解； ②进行分类讨论且分别逐个情况作图，结合平行四边形的性质以及二次函数的图象性质，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：分别把点和点代入抛物线中， 得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵点B的坐标为，且点C的横坐标比点B的横坐标小2， ∴点C的坐标为． ∵轴交抛物线于点D，轴交抛物线于点E， ∴点D的坐标为，点E的坐标为． 即，， ∴． ∵，即开口向上 ∴当时，的值最小，最小值为． ②ⅰ）如图1，当时，点D和点E均在x轴的下方， 图1 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， 解得：，． ⅱ）当时，点B和点D重合，不能构成四边形，故舍去； ⅲ）如图2，当时，点D在x轴的上方，点E在x轴的下方， 图2 ∴，，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 解得：． ⅳ）当时，点C和点E重合，不能构成四边形，故舍去； ⅴ）如图3，当时，点D和点E均在x轴的上方， 图3 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， ∴ 则 解得：（舍去），（舍去）． 综上所述：t的值为或7． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的图象性质，平行四边形的性质，解一元二次方程．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型九】面积问题(二次函数综合) 【例9】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质以及正确求得直线的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设交轴于点，根据题意可得点的坐标为或，求得的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为：． （2）如图，设交轴于点， ∵直线把四边形的面积分为两部分， 且 ， ∴或， ∵， ∴或， 即点的坐标为或， 设直线的解析式为：， 将点代入解析式可得或， 故直线的解析式为或， 联立方程组或 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点的坐标为或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)有；面积最大值为 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，进而求解的面积，由此即可求解； 【详解】（1）解：将代入， 解得， 由，则符合题意， ， ； （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ， ， ， ， ， 二次函数的顶点在第三象限； （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点； 当时，， ， 将代入， 解得：； 在轴的负半轴上， ， ； 过点作，垂足为， ， ， 在中， ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为； 此时当时，； ，， 根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下； ， 设， 则； 当时，达到最大值为； 【题型十】其他问题(二次函数综合) 【例10】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得：， 当抛物线经过点时， 解得：； ∴当抛物线与线段有两个公共点时，． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数与x的交点等问题，解题的关键是： （1）由已知条件可得出抛物线的顶点纵坐标为0，然后根据顶点坐标公式求解即可； （2）先判断出点P在直线上，联立方程组，化简得，结合已知可得，解之即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴令①，②， ②①得，， ∴， ∴点P在直线上， 联立方程组， 化简，得， ∵点在抛物线上，无论为何值，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式（用含a的式子表示）； (2)若，且该抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围； (3)若，点，在该抛物线上，且当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）运用待定系数法求二次函数表达式即可求得答案； （2）把代入，整理得：，根据抛物线与直线没有公共点，利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可求得答案； （3）根据题意得：，从而得到，由于当时，都有，可得，当时，，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：把代入，得， 整理得：， ∵抛物线与直线没有公共点， 关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 即， ∵， ，即， ∴， 综上所述，的取值范围为； （3）解：∵点，在此抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则， ∴， ∵， ∴， 当时，都有， ∴， 由①得；由②得，则不等式组的解集为， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法确定二次函数表达式、二次函数的图象及性质、二次函数图象与直线的交点、一元二次方程根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、解不等式（组）等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练掌握不等式（组）的解法是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．某种新型礼炮的升空高度h（m）飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）． A．3S B．4S C．5S D．6S 【答案】B 【详解】解：因为这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，所以从点火升空到引爆需要的时间， 实际是求顶点的横坐标，当时，h有最高点， 所以从点火升空到引爆需要的时间为4S ． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，掌握“二次函数的性质”是解本题的关键． 2．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x 【答案】A 【详解】解：一年后的本息和为500(1+x)，这也是第二年的本金， 所以两年后的本息和y=500(1+x)2. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，关键在于找到本息和的等量关系，要注意的是第二年的本金为第一年的本息和. 3．某商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．1554 B．1556 C．1558 D．1560 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，根据一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足可知，抛物线开口向下，且对称轴为，根据二次函数的性质结合价格只能，可得出当时，一周可获得最大利润． 【详解】解：一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足， ∵，抛物线开口向下，且对称轴为， ∴x的取值越接近20，所对应的值越大． ∵， ∴当时， 故选：B． 4．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 【答案】C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 5．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（    ） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】C 【分析】根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为，由题意可知，代入求解函数解析式，进而问题可求解． 【详解】解：建立如图所示的坐标系： 设函数关系式为，由题意得：， ∴， 解得：， ∴， 当y=-0.5时，则有， 解得：， ∴水面的宽度为0.8m； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 6．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 【答案】C 【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论． 【详解】解：依题意得： y=（30-20+x）（240-10x） y=-10x2+140x+2400． ∵每件首饰售价不能高于40元． ∴0≤x≤10． ∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10； ∴y=-10（x-7）2+2890． ∴a=-10＜0． ∴当x=7时，y最大=2890． ∴每件首饰的售价定为：30+7=37元． ∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 7．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（   ） A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 【答案】C 【详解】试题分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m时，ymax=64m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C． 考点：二次函数的应用． 8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 9．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【详解】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 10．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作过作轴于点，过点作轴于点，交抛物线于点，由结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，再由点、的坐标即可得出、的长度，进而得出周长的最小值． 【详解】解：作过作轴于点， 由题意可知：， ∴周长=， 又∵点到直线之间垂线段最短， ∴当、、三点共线时 最小，此时周长取最小值， 过点作轴于点 ，交抛物线于点，此时周长最小值， 、， ，， 周长的最小值． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键． 二、填空题 11．二次函数实际问题学了 和 【答案】 几何问题 销售利润 【解析】略 12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元． 【答案】 18000 6000 【解析】略 13．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是 ． 【答案】元 【分析】根据总利润=每件利润×销售量列出总利润w的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】依题意可得总利润w=（x-5）()=-x2+25x-100=-(x-)2+ 则售价为时，利润的最大值是（元） 故答案为：元． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是 ． 【答案】2 【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1， ∴A(0，-1)， 把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1， 解得x1=0，x2=2， ∴B(2，-1)， ∴AB=2， ∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上， ∴△PAB边AB上的高为2， ∴S=×2×2=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键． 15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米． 【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 代入A点坐标，可得， 解得：，所以抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ，解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】7 【分析】把阴影部分面积用x表示出来，再利用二次函数的性质求解最值． 【详解】设阴影部分的面积为，其中， 则， 当时，有最小值为7， 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，考查了二次函数的性质，根据解析式求二次函数的最值是解题的关键． 17．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质可得，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得． 【详解】以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示： 在矩形中，，点是的中点， ， ∴， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式得：， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为36， 因此，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 18．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小. 【答案】3 【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积等于三角形ABC的面积减去三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有： S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t =t2-6t+36 =（t-3）2+27． ∴当t=3s时，S取得最小值． 故填：3． 【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 三、解答题 19．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元． 【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得； （2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设每件衬衫应降价x元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则 由题意得： 由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w有最大值为2500元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键. 20．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ （2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；（2）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元． 【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之可得答案； （2）设每件商品应降价 y元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的函数关系式，再利用函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元． 由题意，得． 整理得， 解得：x1＝1.5，x2＝2.5． ∵要有利于减少库存， ∴取x＝2.5． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元． （2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元， 由题意得， w＝ ＝﹣8y2+32y+480 ＝﹣8（y﹣2）2+512． ∴w是关于y的二次函数，且开口向下． ∴当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38． 答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，熟知销售问题中的等量关系是解题的基础；掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． 22．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系： 销售单价x/元 20 25 30 35 月销售量y/件 3300 2800 2300 1800 （1）求y关于x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣100x+5300；（2）当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元. 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求解即可； （2）设月销售利润为w元，根据每件的利润乘以销售量，得出关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0） 由题意得： 解得： ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+5300． （2）设月销售利润为w元， 则w＝（x﹣17）（﹣100x+5300） ＝﹣100x2+7000x﹣90100 ＝﹣100（x﹣35）2+32400 ∵﹣100＜0 ∴当x＝35时，w有最大值，最大值为32400． 答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法及二次函数的最值求解. 23．一辆汽车的行驶距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多少时间？ 【答案】经过秒汽车行驶了米，行驶米需要秒． 【分析】令t=12s，代入S=9t+3t2，即可求出S的值，令S=380m，即可求出t的值． 【详解】解：当t=12时，S=9×12+×122=108+×144=108+72=180（m）， 当S=380m时，9t+t2=380，整理得t2+18t-760=0， 即（t-20）（t+38）=0， 解得t1=20，t2=-38（舍去）． 答：经过12秒汽车行驶了180米，行驶380米需要20秒． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，直接将数值代入二次函数解析式进行计算，要熟悉一元二次方程的解法． 24．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)13 (3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 25．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值． 【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4． 【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围； （2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得； （3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）由题意，当时，， 当时，， ， ， 解得， 综上，； （2）设该产品的月销售利润为万元， ①当时，， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90， 因为， 所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元； （3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， ， 设该产品捐款当月的月销售利润为万元， 由题意得：， 整理得：， ， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 因此有， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． 26．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)x的值为2m； (2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2 【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解； （2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； （2）解：设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10， ∴0＜3x＜10， ∴0＜x＜， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$