第03讲 正方形的性质与判定（5大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025－2026学年九年级上册数学（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定（5大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正方形性质与判定定理理解 典型例题二 中点四边形 典型例题三 添一个条件使四边形是正方形 典型例题四 正方形折叠问题 典型例题五 根据正方形的性质与判定求角度 典型例题六 根据正方形的性质与判定求线段长 典型例题七 根据正方形的性质与判定求面积 典型例题八 根据正方形的性质与判定证明 典型例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 典型例题十 （特殊）平行四边形的动点问题 典型例题十一 四边形中的线段最值问题 典型例题十二 四边形其他综合问题 知识点01 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题一 正方形性质与判定定理理解】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的定义与判定定理即可判断． 【详解】解：正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形；判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形，因此得到黑板上画的图形是正方形， 故答案为：正方形． 【例3】（2025·山西太原·模拟预测）如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定定理、正方形的性质、． （1）由三个角是直角的四边形是矩形可以证明四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）证明：于，， ， ， 四边形是矩形． （2）解：如图，连接，    ∵四边形是正方形， ， ， ． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意可得，是正方形的面积的，据此求解即可． 【详解】解：如图，标注图形，连接，， ∵由正方形性质可得：，，， ， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 故答案为：3． 3．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【答案】(1)；． (2)， (3) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键． （1）根据图形找到规律，第个图案中正三角形的个数为个， （2）根据图形，分别求得前几个图案中型材料和型材料的总长，即可求解； （3）根据（2）的规律得出型材料的总长为，型材料的总长为，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中， 第2个图案中正三角形的个数为6，其中， 第3个图案中正三角形的个数为10，其中， 第4个图案中正三角形的个数为14，其中， 第5个图案中正三角形的个数为18，其中， …… 第个图案中正三角形的个数为个， 故答案为：；． （2）解：第1个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第2个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第3个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第4个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第5个图案中型材料的总长为，其中，其中型材料的总长为，， 故答案为：，． （3）根据（2）可得第个图案中，型材料的总长为，型材料的总长为． 则， 解得． 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 【典型例题二 中点四边形】 【例1】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】如图：菱形中，分别是的中点， ， 故四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如果一个四边形的两条对角线长分别为7cm和12cm，那么顺次联结这个四边形各边中点所得四边形的周长是 cm． 【答案】19 【分析】根据三角形中位线定理，新四边形是平行四边形，且一组邻边分别等于原四边形两条对角线的一半，据此可求周长． 【详解】解：如图， ∵点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点， ∴， ∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=． 故答案为：19 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．熟记三角形中位线的性质是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形． 【答案】见解析． 【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形． 【详解】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AC，EF//AC， 同理，GH＝AC，GH//AC，FG＝BD， ∴EF＝GH，EF//GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠HEF＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形． 【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的判定，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键． 1．（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，已知矩形ABCD的面积为1，，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第6次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，中点四边形的性质，解题的关键是找出的规律． 记四边形的面积为，根据中点四边形的性质，得出，，，推出，把代入计算即可． 【详解】解：记四边形的面积为， 连接， 、、、为矩形各边的中点， ∴ 、、、为菱形各边的中点， ， ， ， 当时， ∴四边形的面积是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理得到，即，结合，推出，再根据中点四边形的知识证明四边形为矩形，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中点四边形的知识，完全平方公式的变形，证明四边形为矩形是解题的关键． 3．（2025·河南开封·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 【答案】见解析（任选两种） 【分析】1、利用两底的中点，将图形分割成两个梯形，它们的上下底分别相等，高也相等，所以面积也相等； 2、连接对角线，利用的中点E，连接，则，，所以四边形和四边形的面积相等； 【详解】解：设梯形上、下底分别为a、b，高为h． 方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E、F， 则； 方案二：如图2，连接，取的中点E，连接， 则图中的四边形的面积=梯形的面积的一半， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积=梯形的面积的一半． 方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底上截取，连接， ∴， ， 则． 【点睛】本题需仔细分析题意，结合图形，利用中点即可解决问题． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【典型例题三 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】要使四边形是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以是矩形，使，即可满足题意． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵要使四边形是正方形， ∴需增加一个条件是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理． 【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．（答案不唯一） 【分析】（1）证明，推出，即可证明结论； （2）根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．第2问是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加等． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明． 【详解】解：如图： 当且，四边形是正方形，理由如下： ∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【答案】 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形； （2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形． 【详解】（1）解：四边形是矩形理由如下， ∵，为的中点， ，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ．，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形； （2）解：当时，四边形为正方形， 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 4．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)时，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【典型例题四 正方形折叠问题】 【例1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案． 【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示， ∵正方形面积为2， ∴， 由折叠的性质：， ∴图中阴影部分的周长为： ． 故选:D． 【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠，根据将一张正方形的纸片按如图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿折痕裁剪，可以动手折叠，再进行裁剪，进而结合原正方形边长，即可得出答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方形， 原正方形边长为4， 面积为：， 得到的每一个纸片的面积是：． 故答案为：4． 【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰好重叠于AG，求∠EAF的大小． 【答案】45° 【分析】由折叠的性质可得，，再根据角的和差可得答案． 【详解】解：依题意得，正方形纸片，∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及正方形的性质，是一题比较基础的题目，折叠的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的重要依据． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题， 解题的关键是找准不变的线段， 利用勾股定理求解线段 ． 由图形折叠可得，，因为正方形的边长为4 ，求出，在直角中， 运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为 4 ， ∴，， 在中， ， ， 解得， ． 故选B． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变化问题，有理数的乘方，观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． （1）利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出即可； （2）结合（1）设，则，，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， ∴在中，，即：， 解得， ∴． 4．（2025·辽宁·模拟预测）在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； (3)若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）连接，由四边形是正方形，得，将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到，得到，，，进而可证，即可得证． （2）由（1）知，，根据条件证出，得到，，再根据勾股定理，即可求解． （3）设，则，由折叠的性质，得，，，根据勾股定理可得，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）22. 解：（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由（1）知，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， 又， 又， ， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：， ， ． （3）四边形是正方形， ， 设，则， 由折叠的性质，得， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：． 当时，如下图， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， 由旋转的性质，得， ． 当时，如图3， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】本题主要考查有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用等知识点，掌握有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 【典型例题五 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（2025·福建南平·模拟预测）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过临界值的情况结合图形分析，可知当60°< <90°时满足题意. 【详解】解：因为AE与AB重合，在旋转过程中必过D点，所以需要满足AE与边BC、CD有交点，此时考虑临界值位置：当AB=AC时，旋转过程经过C、D两点，如图，AB=BC=AC，△ABC为等边三角形，所以α=60°，易知当α＞60°时即有三个交点，而当α=90°时，菱形ABCD为正方形，此时AB不会与BC有交点（不考虑点E与点B重合的情形），∴60°< <90°， 故选C. 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质，结合图形分析出临界值情况是解题关键. 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 【例3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可． 【详解】∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上， ∴∠BAD=90°，∠DFE=60°， ∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE， 即∠1+90°=∠2+60°， 可得：∠2-∠1=30°， 故选B． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 【答案】(1)； (2)平方差公式 (3) 【分析】（1）先证明图1的面积为，再利用正方形的判定与性质可得； （2）结合（1）的结论可得答案； （3）利用平方差公式先计算，再代入数据计算即可； 【详解】（1）解：如图，作出等腰梯形的两条高，而， ∴四边形是矩形， ∴， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形可得图2的两个四边形是正方形， 由正方形的性质可得： （2）解：由（1）得：平方差公式； （3）解：∵ 当，，时， 原式； 【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义与应用，等腰梯形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用等面积法证明乘法公式是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 【典型例题六 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将张宽为的小长方形按如图摆放在中，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质及平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵小长方形的宽为， ∴根据图形可知小长方形的长为， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故答案为．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【例3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)8 【分析】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定， （1）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后由得到四边形是正方形； （2）根据矩形和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴矩形的周长． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定等，由正方形的性质可得，，根据题意可证明，根据正方形面积计算公式求出，则，由折叠的性质可得，，再证明四边形是正方形，且，则可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 同理可得， ∵四边形是一张正方形纸片，其面积为， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键． （1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可． （2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H， 由题意得，是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：； ②如图：当时， 根据题意得，四边形，，是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 整理得， ∴解得，或（舍）； ③如图：当时，最大半圆的半径为：； 综上，当时，；当时，；当时，． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明，从而得出； （2）延长至F，使．连接，根据（1）知，即可证明，根据，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案； （3）过作，交延长线于D，则四边形 为正方形，设，根据（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，即可作答． 本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至F，使．连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过作，交延长线于D， ∵在直角梯形中，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 得：， ∴． 【典型例题七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】 （24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的面积是 ． 【答案】625 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积= ，正方形B的面积=，正方形C的面积=，正方形D的面积=， ∴正方形F的面积为：144+256=400，正方形G的面积为：81+144=225 则最大正方形的面积是：400+225=625． 故答案为：625 【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 【例3】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)正方形， 【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形； （2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE， ∴四边形ADCE是正方形， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，图形的面积等知识，作辅助线利用图形的对称性是解题的关键． 过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于，则可得四边形为正方形；易得，，则可求得的长，求得正方形的面积，正方形的面积，的面积，进一步可求得，从而求得的面积，最后可求得，从而求得其比值． 【详解】解：如图，过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于点，则四边形为正方形， ， ， ，， ，， ，，， 故， ， ， ． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 3．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，面积为9 【分析】此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质与判定，关键是掌握特殊四边形的性质和判定方法． （1）根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形； （2）根据菱形对角线平分每一组对角可知．从而可得，即可得出四边形为正方形，进而求出面积． 【详解】（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 是菱形； （2）四边形为正方形． ∵是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∴菱形为正方形， 在矩形中，，， ∴， ∴正方形面积． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 【典型例题八 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则下列结论不正确的是（    ） A．∠EDF=90° B．DF=DE C．CF=CE D．∠ADB=140° 【答案】D 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由DE⊥BC，DF⊥AC，∠C=90°，得出四边形CFDE是矩形，得出∠EDF=90°，可判断选项A；由角平分线的性质得出DF=DM=DE，可判断选项B；进而得出四边形CFDE是正方形，得出CF=CE，可判断选项C；由三角形内角和定理及角平分线的性质得出∠DAB+∠DBA=45°，进而得出∠ADB=135°，可判断选项D；继而得出答案． 【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠C=90°， ∴∠C=∠CFD=∠CED=90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴∠EDF=90°，故选项A不符合题意； ∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB， ∴DF=DM， ∵BD平分∠CBA，DM⊥AB，DE⊥BC， ∴DM=DE， ∴DF=DE，故选项B不符合题意； ∵四边形CFDE是矩形，DF=DE， ∴四边形CFDE是正方形， ∴CF=CE，故选项C不符合题意； ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBA， ∴∠DAB=∠CAB，∠DBA=∠CBA， ∴∠DAB+∠DBA= (∠CAB+∠CBA) =×90°=45°， ∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-45°=135°，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握矩形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定与性质，三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【例2】（24-25九年级上·天津·期末）如图，矩形纸片ABCD中，，．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则的长为 （cm）． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE=AB，根据EC=BC-BE计算得到EC，再根据勾股定理可求答案． 【详解】解：∵∠AB1E=∠B=90°，∠BAB1=90°， ∴四边形ABEB1为矩形， 又∵AB=AB1， ∴四边形ABEB1为正方形， ∴BE=AB= EB1=6cm， ∴EC=BC-BE=2cm， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质及勾股定理，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理： （1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形； （2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长； 熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： 四边形为正方形，为对角线， ，，， ， ， 的周长， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 矩形为正方形， ， ， 的周长， ∵， 的周长， 故选：A． 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关键． 取的中点H连接，， ，，证明出F点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】取的中点H连接， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，且点为的中点， ∴， 与的交点就是的中点F， 连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， A，C关于BH对称， 连接，， 则， ， 即的最小值为的长， 在中， ， ， 由勾股定理，得， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． (1)求证：四边形为正方形； (2)判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质结合折叠的性质即可证明； （2）先证明，推出．再证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． 由对折可知， 四边形为矩形． 又由对折可知， 四边形为正方形； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）知，四边形为正方形， ． 在与中， ， ， ． ， ， ， 是等腰直角三角形． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，王老师为了让同学们积累数学基本活动经验，以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学变式训练活动． 如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 【操作发现】 （1）将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是________． （2）王老师将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，，三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请同学们判断四边形的形状，并证明自己的结论． 【实践探究】 （3）王老师在（2）的基础上再次进行操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点处，与相交于点，如图④所示，连接，请同学们计算的值． 【答案】（1）菱形；（2）正方形，证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和平行式变形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再证，则，证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证，再证，先证明是菱形，即可得到结论； （3）先证，再求出的长，然后求出的值即可得到答案． 【详解】解：（1）是矩形的对角线， ， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）四边形是正方形，证明如下： 矩形， ， ， ， 由旋转知，， ， ， ，，三点在同一条直线上， ， 由旋转知，， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形； （3）在中，，， ， ， ， ， 根据平移可知，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 【典型例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； ①∵OE=OA， ∴AC=EF， ∴四边形AFCE是矩形；故错误； ②∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形；故正确； ③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC， ∴∠BAF=∠CAF=45°， 无法判定四边形AFCE是菱形；故错误； ④∵AC⊥AB，AB∥CD， ∴AC⊥CD， ∵E为AD中点， ∴AE=CE=AD， ∴四边形AFCE是菱形；故正确． 故选B． 点睛：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）证，得出即可； （2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【典型例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【答案】D 【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 【例2】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 【例3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（    ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】首先过点F作FQ⊥CD于点Q，证明△ADE≌△EQF，进而得出AD=EQ，得出当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥10进而求出即可． 【详解】解：过点F作FQ⊥CD于点Q， ∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠DAE+∠1=90°， ∴∠DAE=∠2， 在△ADE和△EQF中， ∴△ADE≌△EQF（AAS）， ∴AD=EQ=4， 当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时,此时时间为t,则有DQ+CM≥10， ∴t+4+2t≥10， 解得：t≥2， 故当经过2秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形、矩形的性质，熟练掌握正方形的四边相等且每个角为90°，矩形的四个角为90°；通过三角形全等将EQ转化为AD，可以表示出DQ+CM的长；本题有动点运动问题，要会表示动点的路程：时间×速度． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，在四边形中，，，，点是的中点，点，分别是边，上的两点，其中点以每秒个单位长度的速度从点运动到点后再返回点，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向运动，当其中一点到达终点时停止运动，当运动时间为 秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形. 【答案】或 【分析】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案． 【详解】∵E是BC的中点，BC=10， ∴BE=CE=BC=5， 3÷1=3，10÷2=5， ①当0≤t≤3时，点P从点A向点D运动，此时AP=t，CQ=2t， 当Q运动到E和C之间时，QE=5-2t，则得： 5-2t=t，解得t=； 当Q运动到E和B之间时，EQ=2t-5，则得： 2t﹣5=t， 解得：t=5（不合题意，舍去）； ②当3<t≤5时，点P从点D向点A运动，此时点Q在BE上，QE=2t-5，AP=6-t，则有 2t-5=6-t， 解得：t=， ∴当运动时间t为秒或秒时，以点A，P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或. 【点睛】本考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 【答案】(1)3． (2)当时，；当时，． (3)． 【分析】（1）过点A作，垂足为，可得四边形是矩形，先求出，再在中求出即可求解； （2）分点在、上两种情况由三角形面积公式即可求解； （3）过点P作，垂足为，可得四边形是矩形，再在中，，由此列方程求解即可. 【详解】（1）解：如解图1，过点A作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：3． （2）解：如解图2，当时，，， ∵，即， ∴点P在上，此时， 当时，如解图3， 点P在上，，， 此时， 综上所述：； （3）解：如解图4．过点P作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，（不合题意舍去）． ∴当点在线段上运动，且点之间的距离为时，此时． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，函数解析式、一元二次方程的应用，灵活运用分类思想是解题的关键 4．（24-25九年级上·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【典型例题十一 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（    ）    A．3.2 B．3.5 C．3.6 D．3.8 【答案】A 【分析】根据，然后判断出最小时，的值最小，再根据垂线段最短解答. 【详解】解：∵， ∴最小时，的值最小， 由垂线段最短可知当时，的值最小，最小值为． 当点在点时，． ∴的取值范围为， 故选A．． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，垂线段最短.得出最小时，的值最小是解决问题的关键. 【例2】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形菱形， ∴A、C关于BD对称， ∵点E，C在BD的同侧， ∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE； ∵以为斜边的的面积为3， ， ∴， ∴AE=3， ∴的最小值是3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型． 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解； （2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； （2）解：由（1）得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．    【答案】 【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长到D，使，G的对应点为，则， 作，使，H的对应点为，则， 作，使，Ｅ的对应点为，则，    ∴在同一直线上时，四边形的周长最小，最小值为的长， 作交延长于点K， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．    【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝BC，理由见解析；（3） 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得AE＝AB，CF＝CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，故四边形AECF是矩形； （2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当AB＝BC时，由BC＝AC，AB＝BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形； （3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝CD， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵BC＝AC，E为AB中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形； （2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形， 理由：∵BC＝AC，∠B＝45°， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∵E为AB的中点， ∴EC＝AB＝AE， ∴矩形AECF为正方形， 或②当AB＝BC时，矩形AECF为正方形， 理由：∵BC＝AC，AB＝BC， ∴AC2+BC2＝2BC2， AB2＝（BC）2＝2BC2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴EC＝AB＝AE， ∴矩形AECF为正方形； （3）解：连接EF，连接FM交AC于P， ∵四边形AECF为正方形， ∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM， 在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4， ∴FM＝ ∴PE+PM最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【典型例题十二 四边形其他综合问题】 【例1】 （24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A＋∠C ∠1＋∠2． 【答案】= 【分析】根据平角等于180°以及四边形内角和对于360°求解即可. 【详解】解： 在四边形ADCE中， ∴∠A＋∠C=∠1＋∠2 故答案为= 【点睛】本题考查四边形内角和等于360°，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，把边长为的正方形剪成四个完全相同的直角三角形．请用这四个完全相同的直角三角形拼成符合下列要求的图形（要求全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照题中所给的图按实际大小画出： (1)不是梯形和平行四边形的凸四边形； (2)平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）凸四边形就是每个角都小于，凸多边形也是每个角都不大于，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据凸四边形的定义得， ∴四边形即为所求出凸四边形． （2）解：根据平行四边形的性质可得， ∴四边形即为所求平行四边形． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，凸四边形的概念，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在面积是8的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝3BE，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】连接AC，根据平行四边形的性质求出△AOB的面积，根据三角形的面积公式求出△EOB的面积，同理得到△FOD的面积，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：连接AC， ∵点O是BD的中点， ∴点O在AC上，且点O是AC的中点， ∴△AOB的面积＝×四边形ABCD的面积＝2， ∵AE＝3BE， ∴△EOB的面积＝×△AOB的面积＝， 同理可得，△FOD的面积＝， ∴图中阴影部分的面积＝+＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握平行四边形的对角线互相平分、三角形的面积公式是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． (1)求证：； (2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识． （1）由平行四边形，可得，，再由证明，结合，证明即可； （2）四边形是平行四边形，条件①证明，进而可得平行四边形是矩形；条件②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形是菱形，条件③由对角线互相平分的平行四边形是菱形即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 已知：①， 结论：四边形是矩形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 故是矩形； 已知：②；； 结论：四边形是菱形． 证明：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 已知：③ 结论：四边形是菱形． 证明：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（重庆市重庆市巴南区2025-2025学年九年级上学期6月月考数学试题）下列命题中是假命题的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形，正方形和菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意； D、邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； 故选B． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定，根据对角线相等的菱形是正方形，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故选：A． 3．（重庆市重庆市巴南区2025-2025学年九年级上学期6月月考数学试题）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，由四边形，四边形是正方形，得，，然后通过即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A．9 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长． 【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H，    由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为菱形， ∴阴影部分的周长为：， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形． 理由：∵四边形是菱形， 又∵， ∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图中，分别是由个、个、个正方形连接成的图形，在图中，；在图中，；通过以上计算，请写出图中 (用含的式子表示) 【答案】90n 【分析】连接各小正方形的对角线，由图1中四边形内角和定理化简可得：；由图2中四边形内角和定理化简可得：；结合图形即可发现规律，求得结果． 【详解】解：连接各小正方形的对角线，如下图： 图中，， 即， 图中，， 即， ， 以此类推，， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查根据规律列出相应代数式，正方形性质等，理解题意，探索发现规律是解题关键． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，满足，于点E，于点F，O为BD的中点，连接EF，AO，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】延长FP交AB于M，延长AP交EF于N，证明△APM≌△FEP，得AP=EF，可对①③进行判断；证明∠EPN+∠PEN=90︒可对②进行判断；设PO=a，求得PB=，PD=2a+，从而可求出PD：PB可对④进行判断． 【详解】延长FP交AB于M，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠C=90︒， ∵， ∴4∠BAP=90︒，求得∠BAP=22.5︒， ∵BD是正方形ABCD的对角线，O为BD的中点， ∴AO⊥BD，∠BAO=∠ABO=45︒， ∴∠PAO=22.5︒，即∠BAP=∠PAO， ∵PF//BC，PE⊥BC， ∴∠C=∠FPE=∠PEC=90︒， ∴四边形PECF是矩形， ∴PF=EC， ∴∠ABC=∠PEB=∠MPE=90︒， ∴四边形PMBE是矩形， ∴∠PMB=90︒ 又∠ABO=45︒， ∴∠MPB=45︒， ∴MB=MP， ∴矩形MBEP是正方形， ∴PM=MB=BE=PE, ∴AM=EC=PF, 在△AMP和△FPE中， ∴△AMP≌△FPE ∴AP=EF，，故①，③正确； 延长AP交EF于N，则∠APM+∠EPN=90︒， 又∠FPN+∠EPN=90︒， ∴∠FPN=∠APM， ∵∠PEN=∠APM, ∴∠PEN=∠FPN, ∴∠PEN+∠EPN=90︒， ∴∠PNE=90︒，即，故③正确； 设PO=a， ∵AO⊥BD，PM⊥AB，∠BAP=∠PAO， ∴PM=PO=a， ∵△PMB是等腰直角三角形， ∴PB=，OB=， ∴PD=2a+ , ∴PD：PB=(2a+)：=，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关定理与性质是解答此题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 ．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 ． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 11．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a． 【答案】见解析 【分析】作AC＝a，再作AC的垂直平分线l交AC于O，然后在直线l上截取OB＝OA，OD＝OA，则四边形ABCD为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 12．（24-25九年级上·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 【答案】平行四边形，证明见解析 【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：四边形EFGH的形状是平行四边形． 证明：如图，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大． 13．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，为斜边上的中线，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是正方形． (1)你添加的条件是 ； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，正方形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据正方形的判定定理添加条件即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出四边形是菱形，然后结合即可证明出四边形是正方形． 【详解】（1）添加的条件为； （2）∵在中，为斜边上的中线， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若两点同时出发． ①当t为何值时，四边形为平行四边形？ ②当t为何值时，？ (2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)① ②或 (2)或 【分析】（1）①四边形为平行四边形时，根据即可得到答案； ②分点Q在P的右边和左边两种情况计算即可； （2）分和两种情形进行讨论求解即可． 本题主要考查了四边形的动点问题，矩形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】（1）①根据题意，得， ∵, ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴, ∴, 解得， 故当秒时，四边形为平行四边形． ②当在点P的右边时，根据①四边形为平行四边形时，， 此时． 当在点P的左边时，过点B作于点E， ∵, ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, 解得， 故当秒或时，．    （2） 当时， 根据题意，得，四边形是矩形， ∴, ∴, ∴, 解得，    当时， 过点作于点G，过点B作于点E， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 15．（2025·广东东莞·模拟预测）数学活动 按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸长边对折、裁开，便成纸． 【操作与观察】 （1）将一张纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），线段落在线段上，点的对应点是点，观察发现点恰好与点重合，求证：纸的长是宽的倍． 【猜想与验证】 （2）利用图，请连接，求证：是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 （3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用纸裁剪出的最大正方形的面积为 ． 【答案】（1）见详解（2）详解（3） 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； （2）由折叠可知，．根据正方形的性质可求出，从而可求出，进而可求出，即可证是等腰直角三角形； （3）根据题意可知纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半，结合纸的长和宽的比，即可得到纸的长和宽的比；②根据长和宽的比，以及纸的面积，求出纸长和宽，推出当裁剪出的正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，求解即可． 【详解】解（1）证明：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长是宽的倍． （2）证明：由第二次折叠可知，． 由（1）可知四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半， ∵纸的长宽之比 ∴纸的长宽之比是． 同理可知：纸的长宽之比是， 设纸的宽为，则长为， ∵纸的面积为， ∴， ∴， ∴当用纸可以裁剪出正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，为． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正方形的性质与判定（5大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正方形性质与判定定理理解 典型例题二 中点四边形 典型例题三 添一个条件使四边形是正方形 典型例题四 正方形折叠问题 典型例题五 根据正方形的性质与判定求角度 典型例题六 根据正方形的性质与判定求线段长 典型例题七 根据正方形的性质与判定求面积 典型例题八 根据正方形的性质与判定证明 典型例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 典型例题十 （特殊）平行四边形的动点问题 典型例题十一 四边形中的线段最值问题 典型例题十二 四边形其他综合问题 知识点01 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题一 正方形性质与判定定理理解】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ． 【例3】（2025·山西太原·模拟预测）如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为正方形，求的值． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【典型例题二 中点四边形】 【例1】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如果一个四边形的两条对角线长分别为7cm和12cm，那么顺次联结这个四边形各边中点所得四边形的周长是 cm． 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形． 1．（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，已知矩形ABCD的面积为1，，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第6次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为 ． 3．（2025·河南开封·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【典型例题三 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．    【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 4．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【典型例题四 正方形折叠问题】 【例1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰好重叠于AG，求∠EAF的大小． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，将分别沿、AF折叠，使恰好落在点M处，已知，则的长为（   ） A．2.4 B．3.4 C．4 D．5 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简： ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 4．（2025·辽宁·模拟预测）在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； (3)若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 【典型例题五 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（2025·福建南平·模拟预测）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 【例3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【典型例题六 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将张宽为的小长方形按如图摆放在中，则的面积为 ．    【例3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【典型例题七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】 （24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【例2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的面积是 ． 【例3】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 3．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【典型例题八 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则下列结论不正确的是（    ） A．∠EDF=90° B．DF=DE C．CF=CE D．∠ADB=140° 【例2】（24-25九年级上·天津·期末）如图，矩形纸片ABCD中，，．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则的长为 （cm）． 【例3】（24-25九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． (1)求证：四边形为正方形； (2)判断是什么三角形，并说明理由． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，王老师为了让同学们积累数学基本活动经验，以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学变式训练活动． 如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 【操作发现】 （1）将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是________． （2）王老师将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，，三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请同学们判断四边形的形状，并证明自己的结论． 【实践探究】 （3）王老师在（2）的基础上再次进行操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点处，与相交于点，如图④所示，连接，请同学们计算的值． 【典型例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【典型例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【例2】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【例3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（    ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，在四边形中，，，，点是的中点，点，分别是边，上的两点，其中点以每秒个单位长度的速度从点运动到点后再返回点，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向运动，当其中一点到达终点时停止运动，当运动时间为 秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形. 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【典型例题十一 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（    ）    A．3.2 B．3.5 C．3.6 D．3.8 【例2】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．    3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．    4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【典型例题十二 四边形其他综合问题】 【例1】 （24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【例2】（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A＋∠C ∠1＋∠2． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，把边长为的正方形剪成四个完全相同的直角三角形．请用这四个完全相同的直角三角形拼成符合下列要求的图形（要求全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照题中所给的图按实际大小画出： (1)不是梯形和平行四边形的凸四边形； (2)平行四边形． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在面积是8的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝3BE，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． (1)求证：； (2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 1．（重庆市重庆市巴南区2025-2025学年九年级上学期6月月考数学试题）下列命题中是假命题的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．邻边相等的平行四边形是菱形 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（重庆市重庆市巴南区2025-2025学年九年级上学期6月月考数学试题）如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A．9 B．10 C．16 D．20 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 7．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图中，分别是由个、个、个正方形连接成的图形，在图中，；在图中，；通过以上计算，请写出图中 (用含的式子表示) 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，满足，于点E，于点F，O为BD的中点，连接EF，AO，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的有 ． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 ．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 ． 11．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a． 12．（24-25九年级上·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 13．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，为斜边上的中线，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是正方形． (1)你添加的条件是 ； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若两点同时出发． ①当t为何值时，四边形为平行四边形？ ②当t为何值时，？ (2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形． 15．（2025·广东东莞·模拟预测）数学活动 按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸长边对折、裁开，便成纸． 【操作与观察】 （1）将一张纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），线段落在线段上，点的对应点是点，观察发现点恰好与点重合，求证：纸的长是宽的倍． 【猜想与验证】 （2）利用图，请连接，求证：是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 （3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用纸裁剪出的最大正方形的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$