第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添一个条件使四边形是菱形 典型例题二 利用菱形的性质证明 典型例题三 根据菱形的性质求角度 典型例题四 根据菱形的性质求线段长 典型例题五 根据菱形的性质求面积 典型例题六 根据菱形的性质与判定求角度 典型例题七 根据菱形的性质与判定求线段长 典型例题八 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】 （2025·安徽宿州·模拟预测）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握理解知识点是解题的关键．根据菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； B.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； C.，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； D.，平行四边形的对角线相等，无法判断平行四边形是菱形，故无法推出平分，符合题意． 故选D． 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，下列条件中不能使四边形成为菱形的是（  ）    A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， A、， 为菱形，故本选项不符合题意； B、平分， ， ， ， ， ， 平行四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、， 平行四边形是矩形，不能说明是菱形，故本选项符合题意； D、，， ， 平行四边形为菱形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键． 【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 由平移可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 1．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（　　） A．∠A=60˚ B．DE=DF C．EF⊥BD D．BD 是∠EDF的平分线 【答案】A 【分析】先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可． 【详解】由题意知：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD 又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线， ∴∠ADE=∠FBC， 在△ADE和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF（ASA） ∴AE=CF，DE=BF 又∵AB=CD，ABCD ，AE=CF ∴DF=BE，DFBE、 ∴四边形BFDE是平行四边形． A、∵AB//CD， ∴∠AED=∠EDC， 又∵∠ADE=∠EDC， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， 又∵∠A=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE=DE， 无法判断平行四边形BFDE是菱形，符合题意． B、∵DE=DF， ∴平行四边形BFDE是菱形，不符合题意． C、∵EF⊥BD， ∴平行四边形BFDE是菱形，不符合题意． D、∵BD 是∠EDF的平分线， ∴∠EDB=∠FDB， 又∵DF//BE， ∴∠FDB=∠EBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴ED=EB， ∴平行四边形BFDE是菱形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正确掌握菱形的判定定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，即可得四边形是平行四边形，再由即可求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 3．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，分别是边上的点，且．    (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形性质与判定、菱形的判定方法． （1）由平行四边形的性质推出，，而，即可由得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，即可由菱形的判定方法，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵ ∴． （2）解：当时，四边形是菱形． 理由：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，熟练掌握相关图形的性质及判定方法是解决问题的关键． （1）连接交于，根据平行四边形的性质可得，，进而可得，即可证明结论； （2）添加条件为：，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】（1）证明：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，即：， ∴四边形是平行四边形； （2）添加条件为：，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形为菱形． 【典型例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】∵，是菱形的对角线， ∴，， 不能得出， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，将一个长为20cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题的关键． 利用折叠的方式得出的长，再利用菱形面积公式求出面积即可． 【详解】解：由题意可得：图1中所得矩形的长为，宽为， ∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ∴，， ∴图2所示的菱形的面积为：． 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定．根据四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点， ∴， ∴四边形和均为菱形，共5个． 故答案为：5． 【例4】（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．根据菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余，得到，可判断A 选项；再根据A选项结论判断其余选项即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， ，A选项正确； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，B选项错误； 若，则，即，题目中没有说明，无法推出，C选项错误； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，D选项错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）填空题： （1）菱形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴互相 ； （2）如图，在菱形中，点在对角线上，，垂足为，则点到的距离是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查菱形的性质及轴对称图形的性质， （1）根据菱形的性质及轴对称图形的性质可得出结论； （2）利用菱形的性质得平分，再利用角平分线的性质可得结论； 掌握菱形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）菱形是轴对称图形，菱形的对角线互相垂直，且对角线所在的直线是它的对称轴，∴菱形有条对称轴，对称轴互相垂直， 故答案为：；垂直； （2）∵四边形是菱形，点在对角线上， ∴平分， ∵，， ∴点到的距离是． 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由菱形的性质得，，再证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形中，对角线，交于点O，若，的平分线分别交于点E，F，连接，，则四边形是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)用尺规完成以下基本作图：如图，已知平分，作的平分线交于点F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，为了证明四边形是菱形，小花的想法为：先证明，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空． 证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ① ， 在与中， ，② ，， ， ③ ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是④ ． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，平行四边形 【分析】此题考查了角平分线的作图和定义、菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据菱形的性质，得到菱形两条对角线互相垂直且平分，，先证明，得出，从而通过对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论；进一步探究发现中，根据平行四边形的性质，得到平行四边形两条对角线互相平分，，先证明，得出，从而通过对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ， 在与中， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， 在与中， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：，，，平行四边形． 【典型例题三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角以及菱形的性质，根据题意可得该图形是正十边形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据菱形的四边相等，而图案由两种菱形拼接而成， ∴该图形是正十边形， ∴ ∴ 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·山西太原·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：B． 【例3】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质，旋转的性质是解题的关键，由旋转性质及菱形性质得，，，，从而得，，，进而即可得解． 【详解】解：∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴； 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·重庆大渡口·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 【答案】 【分析】设，则，先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据邻补角的定义可得，建立方程求出值，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 四边形是菱形， ， ， 又， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 先求出的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·福建南平·模拟预测）用两个含角的完全相同的菱形拼成如图所示的正多边形，则该正多边形的内角和是 ． 【答案】/1080度 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，菱形的性质，根据菱形对边平行结合平行线的性质求出正八边形一个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵阴影部分是一个正八边形， ∴该正多边形的内角和是， 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和菱形的边的性质． （1）根据，，证明，得到结论； （2）根据菱形的性质证明，得到的度数． 【详解】（1）证明：由题意得，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）中，，，将绕点A按顺时针旋转得到，连接，交于点D．    (1)求证：； (2)当，求的度数； (3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质证明即可证得结论； （2）根据旋转性质和等腰三角形的性质求得，即可求解； （3）根据菱形的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点A按顺时针旋转得到， ∴，，，又， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由旋转性质得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【典型例题四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 【例2】 （24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线相交于点，过点O作，垂足为H，则点O到边的距离等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握利用菱形的性质计算线段的长度是解题关键． 先根据菱形的性质得到，，，并用勾股定理求出，再利用面积法计算即可． 【详解】∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴，即 ∴． 故选：D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，两个全等的菱形的边长为，一只蚂蚁由A点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走后停下，则这只蚂蚁停在 点． 【答案】E 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，菱形的性质，根据菱形的性质和题意可得每走为一个循环，蚂蚁会回到初始位置，再计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：由菱形的性质可得， ∵一只蚂蚁由A点开始按的顺序沿菱形的边循环运动， ∴每走为一个循环，蚂蚁会回到初始位置， ∵， ∴行走后停下，则这只蚂蚁停在E点， 故答案为：E． 【例4】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形，四边形的周长为16， ∴ 又∵ ∴ 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点．若于点，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得出，且，再由勾股定理即可求得菱形边长，最后利用菱形的面积建立等量关系即可求得的长． 【详解】解：在菱形中， ∴，且 在中，， 由勾股定理得： ， 根据菱形的等积法得：， 即， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线长，周长是，求对角线的长． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由四边形是菱形，求出边长为，，利用勾股定理即可求出，从而求出； 【详解】解：，菱形的周长为， ，． ∵四边形是菱形， ，， 在中， ． ． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，求菱形的周长和面积． 【答案】菱形的周长；菱形的面积 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出是解决问题的关键．由菱形的性质得出，，，，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理求出，即可求出菱形的周长和面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 、分别是、边上的中点， 是的中位线， ， ， ， 菱形的周长； 菱形的面积． 【典型例题五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，解题的关键是根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点    在菱形中，，， ，， ， ， 菱形的面积． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了菱形的性质．根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线交于点O，，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据菱形的面积求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，                 ∴，                     ∴．                                     ∴菱形的面积． 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质， 作于E，于F，连接，交于点O，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由 得平行四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接，交于点O， 由题意知，，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为： 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）数学课上，老师要求利用一张长、宽的矩形纸片折出一个菱形．李颖按照取两组对边中点的方法折出了菱形（见方案一），张丰沿矩形的对角线折出，得出菱形（见方案二）．请你通过计算，比较方案一和方案二中两个菱形的面积大小． 【答案】方案一中的菱形面积为，方案二中的菱形面积为；（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大． 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据折叠方法，分别求得李颖同学和张丰同学的折法中的菱形面积，比较即可求得答案． 【详解】解：（方案一）． （方案二）设，则， ． 四边形是菱形，则， ． ． ． 经比较可知，（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【答案】拓展：证明见解析；应用： 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； 应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 解：应用：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为． 【典型例题六 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，由作图可知，即得四边形是菱形，再根据菱形的性质解答即可，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形． 【详解】（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示； （2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键． 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的中， ． (2)在图中找一格点E，使平分（保留作图痕迹）． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握勾股定理、角平分线的定义是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算即可． （2）以为边作菱形，即可得格点E． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5． （2）解：如图，以为边作菱形，， 则平分， 则点E即为所求． 4．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知平行四边形ABCD，点P为BC的中点，连接PA，PD，PA⊥PD． (1)求证：DP平分∠ADC； (2)过点C作CE⊥CD交PD于点E，∠PCE＝∠B．PE＝3，求□ABCD的周长； (3)在（2）的条件下，点F为AD上一点，PF＝8，G为AB上一点，∠FPG＝60°，求 △AGF的周长． 【答案】(1)见解析 (2)54 (3)17 【分析】（1）取AD的中点H，连接PH，证明四边形PCDH是菱形即可得出结论； （2）证明∠CPD＝∠PCE＝∠CDP＝30°，求得DE＝6，进一步求出CD=9，BC=18，从而可得出结论； （3）证明△ABP是等边三角形，可得出∠FAP＝∠B＝60°，再证△PFA≌△PGB，可得出△PGF是等边三角形，从而可得出结论． 【详解】（1）取AD的中点H，连接PH． ∵PA⊥PD，H为AD中点， ∴PH＝DH＝AH． ∵ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD＝BC． ∵P为BC中点，H为AD中点， ∴DH＝PC．     又∵DH//PC， ∴四边形PCDH是平行四边形．     又∵PH＝DH， ∴四边形PCDH是菱形． ∴DP平分∠ADC． （2）∵四边形PCDH是菱形， ∴∠HDP＝∠CDP＝∠CPD＝∠HPD． ∵ABCD是平行四边形， ∴AB//CD． ∵PCDH是菱形， ∴PH//CD． ∵AB//PH， ∴∠B＝∠HPC． ∵∠PCE＝∠B， ∴∠PCE＝∠CPD＝∠CDP． 在△CPD中，∠CPD＋∠CDP＋∠PCE＋∠DCE＝180°， ∴∠CPD＝∠PCE＝∠CDP＝30°．     ∴CE＝PE＝3，DE＝6． 在Rt△CDE中，CD＝＝9． ∴ ∴□ABCD的周长为2(BC+CD)=2(18+9)=54． （3）由（2）知∠B＝∠HPC＝60°． 又AB＝CD＝CP＝BP， ∴△ABP是等边三角形．     ∴∠BPA＝60°，BP＝AP． 又∵∠FPG＝60°， ∴∠FPA＝∠GPB． 又∵AD//BC， ∴∠DAP＝∠BPA＝60°． ∴∠FAP＝∠B＝60°， ∴△PFA≌△PGB（ASA） ∴AF＝BG，FP＝PG． ∴△PGF是等边三角形．     ∴GF＝PF＝8． AF＋AG＝AG＋GB＝AB＝9． ∴△AGF的周长为AG＋AF＋GF＝17． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关判定与性质是解答本题的关键． 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·天津西青·模拟预测）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设与相交于点，如图： ， 四边形是菱形， ，， ， ，， 又， 故选B 【例2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【答案】C 【分析】本题综合考查了菱形的判定和性质．根据菱形的性质可得，然后根据给出的方案结合菱形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案甲正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案乙正确． 故选：C． 【例3】（2025·贵州·模拟预测）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，连接，由题意得出四边形是菱形，由菱形的性质可得，证明出是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形， ∴，四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即两点间的距离为2， 故答案为：2． 【例4】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质、三角形中位线定理， （1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）根据菱形性质得出，根据三角形中位线定理结合平行线性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ，         ∵平分， ∴ ，       ∴，   ∴， ∴四边形是菱形 ； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴，      ∴ ，   ∵E为的中点， ∴，             ∴． 1．（2025·浙江台州·模拟预测）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，作，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可，解题的关键是证明四边形为菱形． 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 3．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，将沿AC翻折得到，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交延长线于点E，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据翻折，得到，，平行得到，进而推出，即可得证； （2）在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：由翻折，得，，． ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形，， ． ，， 中，， ， 中，． 4．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，萎形的判定，证得是关键； （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）根据菱形的性质得，，，再证，利用勾股定理表示，再结合菱形面积公式即可解答； 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 即． 在中，， ． 菱形的面积为； 菱形的面积为． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质定理应用，由于本题存在特殊角度，故而需根据其特殊形结合菱形的性质求解出菱形的面积．关键在于对菱形的性质定理的熟练掌握并对特殊角度准确利用． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝6，则菱形ABCD的面积是（    ） A．36 B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质得出，，，在中，由含30°角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出OC，得出AC，有菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：四边形ABCD是菱形， ∴，， 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴菱形ABCD的面积= 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由见解析 (2)面积是24 【分析】（1）根据四边相等解可判断菱形 （2）根据勾股定理求出OB长，从而利用菱形面积公式：对角线长相乘除以二求出菱形面积 【详解】（1）四边形是菱形． 理由是：由作图可知， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知四边形是菱形， ∴． ∴， 由勾股定理得：， ∴， 所以四边形的面积是24． 【点睛】本题考查菱形的判定和勾股定理的使用，菱形面积的计算，掌握这些才能正确解题． 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接，，设的边上的高为h，与于点O，先证明，得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，设的边上的高为h，与于点O， ∵折叠，使点C与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即的边上的高是， 故选：A． 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）在菱形中，对角线相交于点O，且，点E，F分别是线段上的两个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质，能够确定的最小值是解决问题的关键．作关于的对称点，则，当时，最小，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：作关于的对称点，则， ， 四边形是菱形， 在线段上， 当时，最小， 四边形是菱形，，，，，， ，， 在中， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形BCFE的面积为24 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 4．（24-25九年级上·吉林·期末）下图是人教版九年级上册数学教材第43页的部分内容． 如图，在中，连接，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？你能证明发现的结论吗？ (1)请你结合图写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的证明过程； 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：． 证明： (2)如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)如图，若，的周长是23，的周长是15，且比的长多1，比的长多1，则四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可解答： （2）证明，可得，即可解答： （3）根据的周长是15，且比的长多1，比的长多1，可得，由（2）得：四边形是平行四边形，可得到四边形是菱形，从而得到，，，再由的周长是23，可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴，． （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵的周长是15， ∴， ∵比的长多1，比的长多1， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵的周长是23， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：24 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）把一个长方形的纸片按图甲、图乙对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与第一次折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质．根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，添加以下条件仍不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用菱形的性质得出判定的条件即可． 【详解】四边形是菱形， ，． A．，，， ，故该选项不符合题意； B．，，， ，故该选项不符合题意； C．，，， 无法证明，故该选项符合题意； D．， ，，， ，故该选项不符合题意； 故选C． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质得到是线段的垂直平分线，结合四个选项，逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 添加，不能判定， ∴不能得到四边形为菱形，故选项A错误，符合题意； ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， 添加， ∴， ∴， ∴， ∴能得到四边形为菱形，故选项B正确，不符合题意； 添加， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项C正确，不符合题意； 添加， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．12 D．6.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边行的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边行的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意由平移的性质可得的周长=的周长=的周长=，过点I作IP⊥EF，然后结合菱形性质和含30°直角三角形的性质求得IP，从而求解． 【详解】解：由题意的周长为 又∵三个阴影平行四边形的周长相等， ∴由平移的性质可得：的周长=的周长=的周长= ∴ ∴ 又∵，，且四边形和四边形是菱形， ∴，，， 过点I作IP⊥EF ∴在Rt△IJP中，， ∴平行四边形的面积为 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，平移的性质及含30°直角三角形的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，请添加一个条件使平行四边形成为菱形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）． 【答案】（或或或或） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，由菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，分别添加条件，即可求解；掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可添加：， 或， 或， 或； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可添加：； 故答案：（或或或或）． 7．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则 ．    【答案】/100度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 时，有EF⊥GH ． 【答案】AB=CD 【分析】当AB=CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理可得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，最后利用菱形的性质即可． 【详解】解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下： 如图所示，连接GE、GF、HF、EH． ∵E、G分别是AD、BD的中点， ∴EG是△ABD是中位线 ∴EG=AB， 同理HF=AB，FG=CD，BH=CD． 又∵AB=CD ∴EG=GF=FH=EH． ∴四边形EFGH是菱形 ∴EF⊥GH． 故答案为：AB=CD． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFGH是菱形的条件是解答本题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由推出，得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可 【详解】解：作于R，于S，连接交于点 由题意知：, ∴四边形是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴ ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 10．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 ．    【答案】24 【分析】首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质、三角形全等的判定与性质．解题关键是利用菱形性质得到边和角的关系． 通过利用中位线定理证明得出对应角相等，再结合菱形角的性质进行等量代换． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）②或④；（2）见解析 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理即可得到结论；． 【详解】解:（1）②或④； （2）选② 证明：， ，，∠ AOB=∠AOD=90° 平分 又 是菱形 选④ 证明： 平分 又 又 又 四边形是平行四边形 又 是菱形 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，，线段的垂直平分线交于点，分别交，于点，，连接，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若如果，，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，由，得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，证明，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质和菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：由（1）得：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ∴， ，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、； （2）根据垂直平分线的性质得，，由，得，，证明，得，推出四边形为平行四边形，即可得证； （3）先根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、， 则四边形即为所作； （2）证明：设，交于点， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添一个条件使四边形是菱形 典型例题二 利用菱形的性质证明 典型例题三 根据菱形的性质求角度 典型例题四 根据菱形的性质求线段长 典型例题五 根据菱形的性质求面积 典型例题六 根据菱形的性质与判定求角度 典型例题七 根据菱形的性质与判定求线段长 典型例题八 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】 （2025·安徽宿州·模拟预测）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，下列条件中不能使四边形成为菱形的是（  ）    A． B．平分 C． D． 【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 1．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（　　） A．∠A=60˚ B．DE=DF C．EF⊥BD D．BD 是∠EDF的平分线 2．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 3．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，分别是边上的点，且．    (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【典型例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，将一个长为20cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个． 【例4】（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）填空题： （1）菱形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴互相 ； （2）如图，在菱形中，点在对角线上，，垂足为，则点到的距离是 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形中，对角线，交于点O，若，的平分线分别交于点E，F，连接，，则四边形是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)用尺规完成以下基本作图：如图，已知平分，作的平分线交于点F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，为了证明四边形是菱形，小花的想法为：先证明，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空． 证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ① ， 在与中， ，② ，， ， ③ ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是④ ． 【典型例题三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山西太原·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为 ． 【例4】（24-25九年级上·重庆大渡口·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建南平·模拟预测）用两个含角的完全相同的菱形拼成如图所示的正多边形，则该正多边形的内角和是 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 4．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）中，，，将绕点A按顺时针旋转得到，连接，交于点D．    (1)求证：； (2)当，求的度数； (3)当四边形是菱形时，求的长． 【典型例题四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【例2】 （24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线相交于点，过点O作，垂足为H，则点O到边的距离等于（   ） A．2 B． C． D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，两个全等的菱形的边长为，一只蚂蚁由A点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走后停下，则这只蚂蚁停在 点． 【例4】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点．若于点，，则 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线长，周长是，求对角线的长． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，求菱形的周长和面积． 【典型例题五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．10 【例2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，若，，则菱形的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积．                                                           1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）数学课上，老师要求利用一张长、宽的矩形纸片折出一个菱形．李颖按照取两组对边中点的方法折出了菱形（见方案一），张丰沿矩形的对角线折出，得出菱形（见方案二）．请你通过计算，比较方案一和方案二中两个菱形的面积大小． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【典型例题六 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    3．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的中， ． (2)在图中找一格点E，使平分（保留作图痕迹）． 4．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知平行四边形ABCD，点P为BC的中点，连接PA，PD，PA⊥PD． (1)求证：DP平分∠ADC； (2)过点C作CE⊥CD交PD于点E，∠PCE＝∠B．PE＝3，求□ABCD的周长； (3)在（2）的条件下，点F为AD上一点，PF＝8，G为AB上一点，∠FPG＝60°，求 △AGF的周长． 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·天津西青·模拟预测）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【例2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【例3】 （2025·贵州·模拟预测）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为 ． 【例4】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 1．（2025·浙江台州·模拟预测）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 3．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，将沿AC翻折得到，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交延长线于点E，连接．若，，求的长． 4．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝6，则菱形ABCD的面积是（    ） A．36 B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ．    【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）在菱形中，对角线相交于点O，且，点E，F分别是线段上的两个动点，连接，则的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 4．（24-25九年级上·吉林·期末）下图是人教版九年级上册数学教材第43页的部分内容． 如图，在中，连接，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？你能证明发现的结论吗？ (1)请你结合图写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的证明过程； 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：． 证明： (2)如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)如图，若，的周长是23，的周长是15，且比的长多1，比的长多1，则四边形的面积是______． 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）把一个长方形的纸片按图甲、图乙对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与第一次折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，添加以下条件仍不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．12 D．6.5 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，请添加一个条件使平行四边形成为菱形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）． 7．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则 ．    8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 时，有EF⊥GH ． 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 10．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 ．    11．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 12．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 14．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，，线段的垂直平分线交于点，分别交，于点，，连接，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若如果，，，求四边形的面积． 15．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$