第6章平行四边形期末复习综合练习题2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第6章平行四边形 期末复习综合练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．三角形的三条中位线长分别为，则原三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为测量位于一水塘旁的两点间的直线距离，在地面上确定可直线到达点、点的点，分别取，的中点，，量得，则，之间的直线距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的中位线，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（    ） ①；②；③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增加 C．先增加再减小 D．先减小再增加 6．如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，M、N分别是的中点，D、E为上的点，连结．若，则图中阴影部分的面积为（    ）． A．20 B．30 C．40 D．50 8．已知平面直角坐标系中有四个点，其中点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是 ． 12．在中，的平分线交边于，且把分成和两部分，则的周长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为 ． 14．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 15．平行四边形中，，，交于点，是边上一点，连接，过点作并延长交于点，交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （在横线上填写序号）． 三、解答题 16．如图，在中，，点D在边上，且，连接．E，F分别是线段，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 17．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 18．是等边三角形，点E是射线上的一点（不与点B，C重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M． (1)如图1，当点E为中点时，线段与的数量关系是 ； (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请求出的长． 19．如图1，以为边构造平行四边形、，，，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时，动点从点出发向点运动，速度为，设与的交点为． (1)当运动时间________，是等腰三角形； (2)当_________，四边形是平行四边形； (3)当_________时，点在的角平分线上； (4)如图，若将平行四边形绕点逆时针旋转之后得到平行四边形，再将它沿方向平移得到平行四边形，当点落在上时，则线段________． 20．已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第6章平行四边形 期末复习综合练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D B B C C D 1．C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可求出原三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式即可求出答案． 【详解】解；∵三角形的三条中位线长分别为， ∴这个三角形的三边长分别为， ∴这个三角形的周长为， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，易得为的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选D． 3．B 【分析】本题考查了三角形的中位线，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线等于第三边的一半解答即可． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及先证明，再得出，同理得证四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故①符合题意； ∵，， ∴仍证明不了， ∴无法得四边形是平行四边形， 故②不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴故③符合题意； 故选：B 5．D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理．先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查等边对等角，平行四边形的性质，根据等边对等角，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 7．B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三线合一，勾股定理，连接，易得是的中位线，得到，过点作于，三线合一，勾股定理求出的长，根据图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为； ∴． 故选B． 8．C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，画出图形是解题的关键．由平行四边形的判定，结合图形，直接写出答案即可． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①为对角线时，点C的坐标为； ②为对角线时，点C的坐标为； ③为对角线时，点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为C． 9．C 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图： ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． ①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②因为，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得：，由题意可求，即可判断；④由勾股定理可求，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确： ②， ， 故②正确； ③， ， ， ， ， 故③正确； ④在中，，， ， 在中，， ， ， 故④正确； 故选：D， 11． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为，则边形的内角和为， ∵多边形的外角和为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：． 12．或 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用．根据平行四边形的对边相等且平行，可得，即可得，又因为是的平分线得到的平分线分对边为和两部分，所以可能等于 或等于，然后即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ∵的平分线分对边为 和两部分， 如果，则， ， ∴的周长为 ； 如果，则， ∴的周长为； ∴的周长为 或 ． 故答案为：或． 13． 【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 此时 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，勾股定理、平移，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是关键． 14． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 15．①②④ 【分析】过A作于M，利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质即可证明；利用勾股定理即可得出的长，进而运用公式得出的面积；过A作于M，交于K，过G作于N，判定，可得，进而得出；证明，即可证明． 【详解】解：过A作于M，    ∵， ∴，即， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 又∵中，，   ∴，故结论②正确； 如图，过A作于M，交于K，过G作于N， 则， ∵， ∴， 由①知：， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③不正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，结论①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理得到，由E是的中点，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴四边形的周长 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 17．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点是的中点，得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． （3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 18．(1) (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）证明，进一步可得答案； （2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，点是的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：结论成立，证明如下： 连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图， ， ∴ ， ， ， 由（2）知：， 和是等边三角形， ∴ 当点在上时，作于，如图， 同上知：和是等边三角形， ∴， ， ， ， ∵ ∴ ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 19．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）由平行四边形性质可得，，当是等腰三角形时，则有是等边三角形，所以，从而求解； （）延长交于点，由四边形是平行四边形，得，故，由，则，可得，当四边形是平行四边形时，，故有，然后解出的值即可； （）由在的角平分线上，则，由（）得，，证明四边形是平行四边形，根据性质可得，故有，然后解出的值即可； （）由题意可得，则，所以三点共线，过作交延长线于点，过作交延长线于点，则，所以四边形是矩形，则，，根据平行四边形性质得，，，所以，得到，由勾股定理得：，同理得：，最后用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当是等腰三角形时，则有是等边三角形， ∴， ∴运动时间， 故答案为：； （2）解：延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴，解得：； 故答案为：； （3）解：如图， ∵在的角平分线上， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得：， 故答案为：； （4）解：如图，由题意可得， ∴， ∴三点共线， 过作交延长线于点，过作交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 同理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，旋转和平移的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． （3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）取的中点G，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$