北京市第一七一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

一七一中学教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期中调研试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ） A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间 C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的导函数为，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 4. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 6. 小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则_____． 12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 13. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 14. 袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答） 15. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明） 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围； （3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） 19. 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点. (I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围； （3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 21. 已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. （1）若，写出数列的自身子数列的前4项； （2）证明：； （3）若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 一七一中学教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期中调研试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】2.6 【13题答案】 【答案】 ①. 6 ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 10 ②. ##0.3 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（Ⅰ）40；（Ⅱ）；（III）. 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【18题答案】 【答案】(1) (2) (3)见解析 【19题答案】 【答案】(I) (II) 不可能是菱形 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 【21题答案】 【答案】（1）1，5，9，13； （2） 因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是， 所以， 设，则， 所以. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $