期末专题05 图形的轴对称（知识梳理+8大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册期末试题调研与押题预测（山西版）

期末专题05 图形的轴对称 轴对称图形 1.定义 如果一个平面图形沿一条直线折看后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴 2.对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B' C’ 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是AB'A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 的对应角分别是 ， 图示 特别解读 轴对称图形的三个条件:1.一个整体图形;2.一条直线为对称轴;3.直线两旁的部分完全重合。 温馨提示 1.轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段3.一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条还可以有无数条 两个图形成轴对称 1.定义 如果两个平面图形沿一条直线折看后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴 特别解读 1.成轴对称的三个条件: (1)有两个图形;(2)存在一条直线:(3)一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合 2.成轴对称是图形的一种全等变换,故成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定成轴对称。 2.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图 特别解读 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称 画对称轴 1.画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.画对称轴的步骤 (1)找:找到任意一对对应点; (2)连:连接这对对应点 (3)画:过对应点所连线段的中点作垂线, 这条垂线就是对称轴. 等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 2.三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”) 3．等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成＂等边对等角＂）。 在 中，若 ，所以 ． 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质 2.等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线 (2)等边三角形的三条边都相等 (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 特别提醒 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合，即“三线合一”，它们的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴。 线段的轴对称性 1.线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴 对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴:（1）垂直并且平分线段的直线;(2)线段所在的直线(拓展) 线段的 垂直 平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言:点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA= PB 特别解读 1．线段的垂直平分线的性质中的＂距离＂是该点与这条线段两个端点之间的线段长度。 2．作线段A B的垂直平分线时分别以点 A, B为圆心，必须以大于 的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相交或只交于线段A B的中点． 2.用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 （1）分别以点 和点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 。 （2）作直线C D．直线C D就是线段A B的垂直平分线 SSS等腰三角形的性质 角的轴对称性 1.角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即O P所在的直线为 的对称轴 AAS 角平分线 的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE=PF 2.用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 （1）在O A和O B上分别截取O D, O E，使 。（2）分别以 $D, E$ 为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ．（3）作射线O C．O C就是 的平分线 SSS 特别提醒 1.利用“角平分线的性质”必须要具备两个条件:(1)点在角平分线上;(2)有过该点的角两边的垂线段。二者缺一不可。 2.利用角平分线的性质说明线段相等时，所要说明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段” 题型一、轴对称图形的识别 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·山西运城·期末）数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西太原·期末）中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）初一七年级数学下册阅读材料中，有这样一段话：（对称的），：，请根据材料回答下列问题：（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 6．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、折叠问题 7．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图1，将一张正方形纸片沿虚线对折得到图2，再沿虚线对折得到图3，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平后的图形如图4，则图3中沿虚线的剪法是（    ）    A．   B．   C．   D．   8．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝42°，则∠2的度数是 ． 9．（22-23七年级下·山西·期末）图1是一张三角形纸片ABC．将BC对折使得点C与点B重合，如图2，折痕与BC的交点记为D． （1）请在图2中画出ΔABC的BC边上的中线． （2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD与ΔABD的周长差． 题型四、画轴对称图形 10．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组的网格中，点，，均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)请在图中直线上画出点，使最小． 11．（22-23七年级下·山西晋中·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 12．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段的顶点均在格点上．在图中画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且均为格点，这样的线段能画（    ）条．    A．2 B．3 C．5 D．6 题型五、三线合一 13．（20-21七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 14．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至点D，则弹性皮筋被拉长了 cm． 15．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，点C在线段上，平分． (1)证明：； (2)若，求的面积． 题型六、线段垂直平分线的性质 16．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 17．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 18．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（   ）. A． B． C． D． 题型七、角平分线的性质定理 19．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 20．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 21．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 题型八、最短路径问题 22．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 23．（22-23七年级下·山西朔州·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 24．（22-23七年级下·山西期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【例1】下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A．等边三角形 B．正五边形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形里边对称轴的定义，熟练掌握对称轴的定义是解答本题的关键． 依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择． 【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴， 对称轴最多的图形是正五边形， 故选：B． 【例2】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 画对称轴的方法 1.利用不平行的对应线段所在直线相交的交点在对称轴上，延长两组对应线段得到交点，过两交点画直线，这条直线即为对称轴。 2.画轴对称图形的对称轴时，由于对称轴不一定只有一条,所以要注意选取不同的对应点，作出其所有的对称轴， 三线合一的适用条件及作用 1.适用条件:(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合 2.作用:是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 1．下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为 ． 5．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 6．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 7．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 8．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 9．学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 图形的轴对称 轴对称图形 1.定义 如果一个平面图形沿一条直线折看后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴 2.对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B' C’ 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是AB'A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 的对应角分别是 ， 图示 特别解读 轴对称图形的三个条件:1.一个整体图形;2.一条直线为对称轴;3.直线两旁的部分完全重合。 温馨提示 1.轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段3.一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条还可以有无数条 两个图形成轴对称 1.定义 如果两个平面图形沿一条直线折看后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴 特别解读 1.成轴对称的三个条件: (1)有两个图形;(2)存在一条直线:(3)一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合 2.成轴对称是图形的一种全等变换,故成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定成轴对称。 2.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图 特别解读 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称 画对称轴 1.画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.画对称轴的步骤 (1)找:找到任意一对对应点; (2)连:连接这对对应点 (3)画:过对应点所连线段的中点作垂线, 这条垂线就是对称轴. 等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 2.三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”) 3．等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成＂等边对等角＂）。 在 中，若 ，所以 ． 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质 2.等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线 (2)等边三角形的三条边都相等 (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 特别提醒 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合，即“三线合一”，它们的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴。 线段的轴对称性 1.线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴 对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴:（1）垂直并且平分线段的直线;(2)线段所在的直线(拓展) 线段的 垂直 平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言:点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA= PB 特别解读 1．线段的垂直平分线的性质中的＂距离＂是该点与这条线段两个端点之间的线段长度。 2．作线段A B的垂直平分线时分别以点 A, B为圆心，必须以大于 的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相交或只交于线段A B的中点． 2.用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 （1）分别以点 和点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 。 （2）作直线C D．直线C D就是线段A B的垂直平分线 SSS等腰三角形的性质 角的轴对称性 1.角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即O P所在的直线为 的对称轴 AAS 角平分线 的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE=PF 2.用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 （1）在O A和O B上分别截取O D, O E，使 。（2）分别以 $D, E$ 为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ．（3）作射线O C．O C就是 的平分线 SSS 特别提醒 1.利用“角平分线的性质”必须要具备两个条件:(1)点在角平分线上;(2)有过该点的角两边的垂线段。二者缺一不可。 2.利用角平分线的性质说明线段相等时，所要说明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段” 题型一、轴对称图形的识别 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； B，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； C，文字上方的图案是轴对称图形，符合题意； D，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； 故选C． 2．（23-24七年级下·山西运城·期末）数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西太原·期末）中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）初一七年级数学下册阅读材料中，有这样一段话：（对称的），：，请根据材料回答下列问题：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解的对称轴的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：是轴对称，对称轴是一条水平的直线； ∴也是轴对称； 故选C 5．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 6．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，，， ，，即选项A、B正确； 由轴对称的性质得：， ，即，选项C正确； 由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 题型三、折叠问题 7．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图1，将一张正方形纸片沿虚线对折得到图2，再沿虚线对折得到图3，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平后的图形如图4，则图3中沿虚线的剪法是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】折叠问题 【分析】如图4，连接四边形的对角线，可知从图3到图4，是在正方形中心减去了4个全等的三角形，然后进行判断即可． 【详解】解：如图4，连接四边形的对角线，    ∴从图3到图4，是在正方形中心减去了4个全等的三角形， ∴A符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝42°，则∠2的度数是 ． 【答案】96° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由题意，得，利用平行线的性质，得到，又，利用平行线的性质以及折叠性质可以得到，即①，由折叠的性质，得②，将①②联立方程组即可求解． 【详解】如图： 由题意，得， ∴． ∴． ∵， ∴，即．① 由折叠的性质，得．② 将①②联立方程组， 解得， 则∠2的度数是96°， 故答案为：96°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，折叠就会出现对应角相等． 9．（22-23七年级下·山西·期末）图1是一张三角形纸片ABC．将BC对折使得点C与点B重合，如图2，折痕与BC的交点记为D． （1）请在图2中画出ΔABC的BC边上的中线． （2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD与ΔABD的周长差． 【答案】（1）见解析；（2）5厘米 【知识点】折叠问题 【分析】（1）由翻折的性质可知BD=DC，然后连接AD即可； （2）由BD=DC可知△ABD与△ACD的周长差等于AB与AC的差． 【详解】解：（1）连接AD， ∵由翻折的性质可知：BD=DC， ∴AD是△ABC的中线． 如图所示： （2）∵BD=DC， ∴△ADC的周长-△ADB的周长=AC+DC+AD-（AD+AB+DC）=AC-AB=16-11=5cm． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到BD=DC是解题的关键． 题型四、画轴对称图形 10．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组的网格中，点，，均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)请在图中直线上画出点，使最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题考查图形与轴对称，掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）连接，与直线的交点即为点。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 11．（22-23七年级下·山西晋中·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【答案】任务一：C；任务二：见解析；任务三：60；项目反思：见解析 【知识点】轴对称图形的识别、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 12．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段的顶点均在格点上．在图中画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且均为格点，这样的线段能画（    ）条．    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】画轴对称图形 【分析】根据要求再结合网格的特点即可完成． 【详解】解：如图中的5条线段满足题目条件    故选：C． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，结合网格的特点，掌握轴对称图形的性质是关键． 题型五、三线合一 13．（20-21七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 【答案】5 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一 【分析】利用角平分线的性质定理解决问题即可． 【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝， 故答案为：5． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至点D，则弹性皮筋被拉长了 cm． 【答案】8 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：根据题意得：AD=BD，AC=BC，AB⊥CD， 则在Rt△ACD中，AC=AB=6cm，CD=8cm； 根据勾股定理，得：AD==10（cm）； 所以AD+BD-AB=2AD-AB=20-12=8（cm）； 即橡皮筋被拉长了8cm； 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键． 15．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，点C在线段上，平分． (1)证明：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 题型六、线段垂直平分线的性质 16．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 17．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 18．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 题型七、角平分线的性质定理 19．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 先根据角平分线的性质得到O到边的距离都为4，再利用三角形面积公式得到，然后整理求出的值即可． 【详解】解：∵O是三个内角平分线的交点， ∴点O到的距离相等， ∵O到边的距离为4， ∴O到边的距离都为4， ∴， ∴， 即的周长为18． 故选：C． 20．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 21．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 题型八、最短路径问题 22．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为的长． 【详解】解：连接． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 23．（22-23七年级下·山西朔州·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 24．（22-23七年级下·山西期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故选：B． 【例1】下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A．等边三角形 B．正五边形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形里边对称轴的定义，熟练掌握对称轴的定义是解答本题的关键． 依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择． 【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴， 对称轴最多的图形是正五边形， 故选：B． 【例2】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 画对称轴的方法 1.利用不平行的对应线段所在直线相交的交点在对称轴上，延长两组对应线段得到交点，过两交点画直线，这条直线即为对称轴。 2.画轴对称图形的对称轴时，由于对称轴不一定只有一条,所以要注意选取不同的对应点，作出其所有的对称轴， 三线合一的适用条件及作用 1.适用条件:(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合 2.作用:是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 1．下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于H， 由作图方法可得，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 3．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 根据题意得出，，，再由平角得出，然后即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 4．如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得，，再根据，即可求解． 【详解】解：∵三角形为等边三角形，为边的中点， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 6．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 7．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析； (3)北偏东． 【知识点】与方向角有关的计算题、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）以为边，在的内部画； （2）利用尺规作图的方法，作的角平分线； （3）把、看作方向标，求出的度数即可求解． 【详解】（1）解：以为边，在的内部画，如图所示； （2）解：画出的角平分线如图所示； （3）解：若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线表示北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【点睛】此题考查了作图基本作图，方向角，涉及画已知度数的角；利用尺规作图画角的平分线；根据方向标和角的度数表示方向；以及求一个角的余角和补角的方法的灵活应用． 8．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得． 【详解】证明：∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 9．学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$