期末专题04 三角形（知识梳理+12大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年北师大版七年级下册期末试题调研与押题预测（ 山西版

期末专题04 三角形 三角形的内角和 1．三角形三个内角的和等于 ． 几何语言：在 中， ． 2.三角形内角和的说明思路 思路一:利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 思路二:利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 特别解读 1.“三角形内角和”揭示了三角形三个内角之间的数量关系 2.已知三角形中任意两角的度数或两角的度数和可以计算出第三个角的度数 直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 2．直角三角形的表示 通常，我们用符号＂Rt ＂表示 ＂直角三角形 A B C＂。 注意：＂Rt ＂后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用。如＂直角三角形的边＂不能写成＂Rt 的边＂。 3．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余． 几何语言：在 中，因为 ，所以 ． 特别解读 1.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角。 2.直角三角形的性质的理论依据是三角形三个内角的和等于180° 3.在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小 三角形的三边关系 1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其1.等腰三角形 不中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.如图 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形 3.三角形的三边关系 文字语言 数字语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第 三边 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第 三边 特别提醒 1．运用三角形的三边关系时，必须用任意两边的和及差与第三边作比较。 2．已知三角形两条边的长度分别为 ，根据三角形的三边关系可知，第三条边的长度 的取值范围是 . 三角形中三条重要的线段 1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高:三角形的三条高所在的直线交于一点, 几何语言：如图，在 中， ，垂足为 ．线段A D是 中B C边上的高． 2.三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线:三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 几何语言：如图 （1）A D是 中B C边上的中线；（2） 是B C边的中点； （3） ． 特别解读 三角形的一条中线将这个三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系: 1.两个三角形的面积相等: 2.两个三角形的周长的差等于原三角形没有被中线平分的两边的长度的差， 3.三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点 几何语言：如图 （1）A D是 的角平分线； （2）A D平分 交B C于点 ； （3） ． 特别提醒 1.角的平分线是一条射线，i而三角形的角平分线是一条线段. 2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分。故三角形的角平分线都具有角的平分线的性质 三角形全等的条件--边边边 1.边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 2．书写格式 如图 在 和 中， 所以 （SSS）． 特别提醒 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列(一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧)，并用大括号将其括起来， 3.角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 4.书写格式 如图，在 和 中， 特别解读 1.相等的元素:两角及两角的夹边 2.书写顺序:角→边→角. 3.夹边为两个角的公共边, 5.三角形全等的条件--角角边 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 6.书写格式 如图，在 和 中，所以 ． 7.“ASA”与“AAS”的区别与联系 'S”的意义 书写格式 联系 ASA 'S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 AAS”可由ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，这边相等放 在最后 7.三角形全等的条件--边角边 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 书写格式 如图，在 和 中， 要点提醒 1.相等的元素:两边及这两边的夹角 2.书写顺序:边→角→边. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 作三角形 1.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下已知:线段a，b，c如图 作法与图形: 作法 图形 (1)作一条线段BC=a (2)分别以点B，C为圆心以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A; （3）连接 A B, A C． 就是所求作的三角形． 2.已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法步骤如下:已知：如图， 作法 图形 （1） （2）在射线AF上截取线段AB=c; （3）以 为顶点，以 B A 为一边，作 交 A D 于点 ． 就是所求作的三角形． 3.已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如图 作法与图形如下: 作法 图形 (1)作一条线段BC=a; （2）以点 为顶点，以B C为 一边，作 ； (3)在射线BD上截取线段BA=c （4）连接A C． 就是所求作的三角形． 三角形的稳定性 1.三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性,四边形具有不稳定性 2.三角形的稳定性的应用稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 特别解读 四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用如活动挂架、伸缩门等. 利用三角形全等测两点之间的距离 1.原理 由于两个全等三角形的对应边相等，因此，利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等 2.方法(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形;(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形 特别提醒 利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面， 题型一、构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，10cm 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件，根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意； B、，满足任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，该三条线段可以组成三角形，该选项符合题意； C、，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意； D、，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级下·山西晋城·期末）以下列各组数据为长度的三条线段能组成三角形的是（    ）． A．5，8，3 B．5，4，9 C．5，9，5 D．9，4，4 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边的关系逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3．（22-23七年级下·山西·期末）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列线段中能作为第三边的是（   ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后再确定符合条件的数值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：9-4=5，9+4=13 所以第三边取值范围应该为：5<第三边长度<13 只有A选项符合条件． 故答案为A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答本题的关键． 题型二、确定第三边的取值范围 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， 即， ∴这个三角形的第三边可以是3． 故选：B 5．（22-23七年级下·山西晋中·期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∴， ∴， 观察各个选项，只有D选项是符合的， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可． 6．（22-23七年级下·山西长治·期末）现有长度分别为15cm和20cm的小棒，要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则所选择的小棒是（    ） A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可 【详解】解：20-15＜第三边＜20+15 5＜第三边＜35 所以再选一根25cm的小棒就能围成一个三角形 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。 题型三、画三角形的高 7．（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可． 【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．    故选：D． 8．（22-23七年级下·山西长治·期末）如图，是钝角三角形，以下是同学们作出的边上的高，其中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】根据高的定义判断即可． 【详解】解：BC边上的高是经过点A作BC的垂线，点A到垂足D的线段AD． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，属于基础题型． 9．（22-23七年级下·山西临汾·期末）利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画垂线、画三角形的高 【分析】根据三角形的高的定义即可求解．从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 ． 【详解】解：∵画上的垂线， ∴垂足在直线上，过顶点A， 故选：D． 【点睛】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解题的关键． 题型四、三角形三边关系的应用 10．（23-24七年级下·山西临汾·期末）已知嘉嘉家和淇淇家到学校的直线距离分别是和，则嘉嘉家和淇淇家的直线距离不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，正确得出两人最近距离是解题关键．直接利用两人距离学校的距离，即可得出两人的最近距离． 【详解】解：嘉嘉家和淇淇家到学校的直线距离分别是和， 两人最近距离为：， 故嘉嘉家和淇淇家的直线距离不可能是． 故选：A． 11．（22-23七年级下·山西晋城·期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】利用构成三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a， 则根据题意有：，即， 当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者， 综上a的取值范围为：， 据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边． 12．（22-23七年级下·山西晋城·期末）王红手里拿着长度分别为5cm和6cm的两根木条，她想要再找一根木条，用它们首尾顺次相接围成一个三角形，则她所找的这根木条的长度可以是 ．  （只填一个值） 【答案】（在 范围内即可） 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意得，这根木条的长度， ∴这根木条的长度可以为， 故答案为：（在 范围内即可）． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中任意两杯之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 题型五、用SSS证明三角形全等（SSS） 13．（22-23七年级下·山西运城·期末）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，并作了如下的思考：    请你说明小华得到两个三角形全等的根据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】由作法易得，，，由的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：∵点，分别是，的三等分点， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 15．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】题目主要考查全等三角形的判定，作全等三角形，根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据可得出全等三角形；方法二，根据作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用可得出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键． 【详解】解：如图所示： 方法一： 方法二： 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求， 结论：如图，为所求， 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 题型六、尺规作图——作三角形 16．（22-23七年级下·山西太原·期末）已知：，线段． 求作：，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）        作图区域： 结论： 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】先作，再在角的两边上分别截取，，从而可得答案． 【详解】解：      作图区域：    结论：如图即为所求． 【点睛】本题考查的是作三角形，掌握作一个角等于已知角是解本题的关键． 17．（22-23七年级下·山西太原·期末）已知：如图，△ABC． (1)求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作图——作三角形 【分析】（1）分别作EF=BC，DF=AC，AB=DE即可； （2）根据SSS即可证明△DEF≌△ABC，即可． 【详解】（1）作直线EF，以E为圆心，BC为半径画弧交EF于点F点，再分别以E、F为圆心，以AB、AC为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF，则△DEF即为所求，（方法不唯一）作图如下： （2）∵EF=BC，DF=AC，AB=DE， ∴根据SSS有：△DEF≌△ABC， 即依据为：SSS． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，作已知三角形的全等三角形，以及全等三角形的判定方法等知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 18．（22-23七年级下·山西大同·期末）已知：如图，点是延长线上的一点，且，求作：，使且点与点在同侧.（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析. 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】根据尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理选择一种方法作图即可，注意保留作图痕迹. 【详解】分别以点C和点D为圆心，AB和AC为半径作弧，两弧在BC的上方交于点E，连接CE和ED，△ECD即为所求． 【点睛】本题主要考查根据全等三角形的判定定理运用尺规作图的一般方法，解答本题的关键是熟练掌握尺规作图的一般步骤，牢记三角形全等的几种判断方法：边边边，边角边，角边角，角角边. 题型七、三角形的稳定性及应用 19．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性及其应用，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：主框架A，B，C三个支点构成一个三角形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是：三角形具有稳定性， 故选C． 20．（23-24七年级下·山西运城·期末）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．三线合一 B．三角形的稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可得出答案，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键． 【详解】解：桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 21．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 题型八、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 22．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（　　）    A．“边边边” B．“角边角” C．“全等三角形定义” D．“边角边” 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC． 【详解】解：由题意可得∠ABC＝∠CDE=90°， 在△EDC和△ABC中， ∴△EDC≌△ABC（ASA）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键． 23．（22-23七年级下·山西晋中·期末）小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形， 他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 24．（22-23七年级下·山西晋中·期末）已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．    【答案】，理由见详解 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】由平行线的性质得，再证，然后证，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型九、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 25．（22-23七年级下·山西长治·期末）学习《利用三角形全等测距离》一节课后，小明来到一段两岸平行的河流边，计划不涉水过河测量河的宽度，他的做法如下： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走20m到达树处，继续前行20m到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走， 当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走； ④测得的长为14m ． 根据此做法，得到河的宽度是14m，请你判断他的做法是否正确，并说明理由． 【答案】正确；理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题干描述，证明，即可得出结论． 【详解】解： 小明的做法是正确的． 理由如下： 由题意知 又因为光沿直线传播， 所以 ． 在和中， 所以 ． 所以 ． 所以小明的做法是正确的． 26．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点在线段上，，，，试说明． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质得出，证明，得出，即可得证． 【详解】解：因为， 所以． 因为，， 所以． 所以， 所以， 即． 27．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 题型十、全等的性质和SAS综合（SAS） 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图1，为了测量池塘两端之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，使平分（点在同一平面内），此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． (1)请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）． (2)请你再设计一种测量池塘两端之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接．此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． 【详解】（1）解：理由：平分，（已知） （角平分线的定义）． 又，（已知） ． （全等三角形的对应边相等）． （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接．此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． 理由：根据题意得：，， 又∵， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 30．（22-23七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)3或7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况可求出的长． 【详解】（1）解：    在与中 故答案为： （2）成立． 理由如下： 因为， ． ．   在和中， ．   所以．    因为在中，， 所以． 所以，即． 所以． （3）当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，3或7． 【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型十一、全等三角形的性质 31．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点B，D，C在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】解：，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 33．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出． 【详解】解：设运动时间为设，，， 因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， 有：， 解得：， ， 情况二：当时， 有， 解得：， ， 综上所述，或； 故答案为：或． 题型十二、全等三角形综合问题 34．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解； （2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可； （3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且． (1)若，，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质， （1）根据，，得，，即可得； （2）根据得，根据得，，则，根据得，可得，即可得； 掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ； （2）解：∵， ， ∵， ，， ， ∵， ， ， ． 36．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例1】下列各组分别是三根木棒的长度，其中能构成三角形的是（    ） A．4cm，7cm，3cm B．2cm，2.5cm，5cm C．4.5cm，10cm，5cm D．7cm，8cm，9cm 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行解答即可． 【详解】解：A、∵4cm+3cm=7cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； B、∵2cm+2.5cm=4.5cm＜5cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； C、∵4.5cm+5cm=9.5cm＜10cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； D、∵8cm-7cm＜9cm＜7cm+8cm，∴能构成三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【例2】如图，已知点、、、在同一直线上，，，． 求证：．    【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定， 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，由可得，可证得． 【详解】解：证明：， ， ， ，即， 在和中 ． 判定全等与找等角的几个方法 1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的. 2.将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等 3.找等角的几个方法:公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余(或补)角，等角加(或减)等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角. 作图的依据与方法 作图的依据1: 三边分别相等的两个三角形全等 作图的依据2: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 作图的方法1: 先作出一条边(即先确定三角形的两个顶点)，再用两条弧的交点确定所作边所对的顶点(确定第三个顶点). 作图的方法2: 一种是先作角，然后作边，最后作另一个角; 另一种是先作一边(作一边等于已知线段)，再在边的两 端分别作角。 1．如图，，若，，则等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形高的作法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形作高的方法依次判断即可． 【详解】解：A、作的是边上的高，此选项符合题意； B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意； C、作的是边上的高，此选项不符合题意； D、作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：当时， 不能判断三角形全等，故符合题意， 当时， 满足边角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 当时， 满足角角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 当时， 满足角边角判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 故选：A． 4．如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是 ． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定方法，为公共角，，可根据的判定方法进行添加条件即可得出答案． 【详解】解：可添加的条件是， 在和中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一）． 5．如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 6．如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2． 【详解】解：如图所，过点D作于E， ∴， ∵，， ∴， ∵线段是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 7．如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 8．如图，小林家门前有一口池塘，不能直接到达两个端点A、B测距离．小林提出了一种测量方案：如图，过点B作，在的延长线上取一点C，再由点D观测，使．这时只要测出的长即为A、B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由． 【答案】这位同学设计的方案可行，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用．利用证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：这位同学设计的方案可行． 理由：因为， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以这位同学设计的方案可行． 9．阅读下列材料，完成相应的任务；全等四边形根据全等图形的定又可知:四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一条边和等”或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考:如图1，四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定“”的条件，只要再增加个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别和等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形与四边形先给出和下条件: ,，小亮在此基础上又给出“”两个条件.他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”. （1）请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形四边形”的理由； （2）请从下面两题中任选一题作答，我选择 题. 在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“”.满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形 在材料中“小明所给条件的基础上”，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于小亮的条件），使四边形四边形，你添加的条件是① ，② . 【答案】（1）见解析 ；（2）A、B；A：不能  B：①；②． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定进行求解，即可得到四边形四边形 ；（2）根据三角形的判断和性质，即可得到答案. 【详解】由题可得： 又 ， 四边形四边形 A：不能（无法判断第二组三角形全等） B：，（答案不唯一，能判定即可） 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定. 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 三角形 三角形的内角和 1．三角形三个内角的和等于 ． 几何语言：在 中， ． 2.三角形内角和的说明思路 思路一:利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 思路二:利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 特别解读 1.“三角形内角和”揭示了三角形三个内角之间的数量关系 2.已知三角形中任意两角的度数或两角的度数和可以计算出第三个角的度数 直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 2．直角三角形的表示 通常，我们用符号＂Rt ＂表示 ＂直角三角形 A B C＂。 注意：＂Rt ＂后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用。如＂直角三角形的边＂不能写成＂Rt 的边＂。 3．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余． 几何语言：在 中，因为 ，所以 ． 特别解读 1.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角。 2.直角三角形的性质的理论依据是三角形三个内角的和等于180° 3.在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小 三角形的三边关系 1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其1.等腰三角形 不中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.如图 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形 3.三角形的三边关系 文字语言 数字语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第 三边 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第 三边 特别提醒 1．运用三角形的三边关系时，必须用任意两边的和及差与第三边作比较。 2．已知三角形两条边的长度分别为 ，根据三角形的三边关系可知，第三条边的长度 的取值范围是 . 三角形中三条重要的线段 1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高:三角形的三条高所在的直线交于一点, 几何语言：如图，在 中， ，垂足为 ．线段A D是 中B C边上的高． 2.三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线:三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 几何语言：如图 （1）A D是 中B C边上的中线；（2） 是B C边的中点； （3） ． 特别解读 三角形的一条中线将这个三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系: 1.两个三角形的面积相等: 2.两个三角形的周长的差等于原三角形没有被中线平分的两边的长度的差， 3.三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点 几何语言：如图 （1）A D是 的角平分线； （2）A D平分 交B C于点 ； （3） ． 特别提醒 1.角的平分线是一条射线，i而三角形的角平分线是一条线段. 2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分。故三角形的角平分线都具有角的平分线的性质 三角形全等的条件--边边边 1.边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 2．书写格式 如图 在 和 中， 所以 （SSS）． 特别提醒 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列(一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧)，并用大括号将其括起来， 3.角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 4.书写格式 如图，在 和 中， 特别解读 1.相等的元素:两角及两角的夹边 2.书写顺序:角→边→角. 3.夹边为两个角的公共边, 5.三角形全等的条件--角角边 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 6.书写格式 如图，在 和 中，所以 ． 7.“ASA”与“AAS”的区别与联系 'S”的意义 书写格式 联系 ASA 'S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 AAS”可由ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，这边相等放 在最后 7.三角形全等的条件--边角边 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 书写格式 如图，在 和 中， 要点提醒 1.相等的元素:两边及这两边的夹角 2.书写顺序:边→角→边. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 作三角形 1.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下已知:线段a，b，c如图 作法与图形: 作法 图形 (1)作一条线段BC=a (2)分别以点B，C为圆心以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A; （3）连接 A B, A C． 就是所求作的三角形． 2.已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法步骤如下:已知：如图， 作法 图形 （1） （2）在射线AF上截取线段AB=c; （3）以 为顶点，以 B A 为一边，作 交 A D 于点 ． 就是所求作的三角形． 3.已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如图 作法与图形如下: 作法 图形 (1)作一条线段BC=a; （2）以点 为顶点，以B C为 一边，作 ； (3)在射线BD上截取线段BA=c （4）连接A C． 就是所求作的三角形． 三角形的稳定性 1.三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性,四边形具有不稳定性 2.三角形的稳定性的应用稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 特别解读 四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用如活动挂架、伸缩门等. 利用三角形全等测两点之间的距离 1.原理 由于两个全等三角形的对应边相等，因此，利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等 2.方法(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形;(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形 特别提醒 利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面， 题型一、构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，10cm 2．（22-23七年级下·山西晋城·期末）以下列各组数据为长度的三条线段能组成三角形的是（    ）． A．5，8，3 B．5，4，9 C．5，9，5 D．9，4，4 3．（22-23七年级下·山西·期末）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列线段中能作为第三边的是（   ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 题型二、确定第三边的取值范围 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（22-23七年级下·山西晋中·期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·山西长治·期末）现有长度分别为15cm和20cm的小棒，要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则所选择的小棒是（    ） A．5cm B．25cm C．35cm D．40cm 题型三、画三角形的高 7．（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   8．（22-23七年级下·山西长治·期末）如图，是钝角三角形，以下是同学们作出的边上的高，其中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·山西临汾·期末）利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   题型四、三角形三边关系的应用 10．（23-24七年级下·山西临汾·期末）已知嘉嘉家和淇淇家到学校的直线距离分别是和，则嘉嘉家和淇淇家的直线距离不可能是（　　） A． B． C． D． 11．（22-23七年级下·山西晋城·期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·山西晋城·期末）王红手里拿着长度分别为5cm和6cm的两根木条，她想要再找一根木条，用它们首尾顺次相接围成一个三角形，则她所找的这根木条的长度可以是 ．  （只填一个值） 题型五、用SSS证明三角形全等（SSS） 13．（22-23七年级下·山西运城·期末）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，并作了如下的思考：    请你说明小华得到两个三角形全等的根据是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据 方法一： 方法二： 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求， 结论：如图，为所求， 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 题型六、尺规作图——作三角形 16．（22-23七年级下·山西太原·期末）已知：，线段． 求作：，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）        作图区域： 结论： 作图区域：    结论：如图即为所求． 17．（22-23七年级下·山西太原·期末）已知：如图，△ABC． (1)求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：________________． 18．（22-23七年级下·山西大同·期末）已知：如图，点是延长线上的一点，且，求作：，使且点与点在同侧.（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 题型七、三角形的稳定性及应用 19．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 20．（23-24七年级下·山西运城·期末）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．三线合一 B．三角形的稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 21．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 题型八、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 22．（22-23七年级下·山西太原·期末）如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（　　）    A．“边边边” B．“角边角” C．“全等三角形定义” D．“边角边” 23．（22-23七年级下·山西晋中·期末）小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．    24．（22-23七年级下·山西晋中·期末）已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．    题型九、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 25．（22-23七年级下·山西长治·期末）学习《利用三角形全等测距离》一节课后，小明来到一段两岸平行的河流边，计划不涉水过河测量河的宽度，他的做法如下： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走20m到达树处，继续前行20m到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走， 当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走； ④测得的长为14m ． 根据此做法，得到河的宽度是14m，请你判断他的做法是否正确，并说明理由． 26．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点在线段上，，，，试说明． 27．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型十、全等的性质和SAS综合（SAS） 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图1，为了测量池塘两端之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，使平分（点在同一平面内），此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． (1)请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）． (2)请你再设计一种测量池塘两端之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）． 29．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 30．（22-23七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 题型十一、全等三角形的性质 31．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 33．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 题型十二、全等三角形综合问题 34．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 35．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且． (1)若，，求； (2)若，求． 36．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【例1】下列各组分别是三根木棒的长度，其中能构成三角形的是（    ） A．4cm，7cm，3cm B．2cm，2.5cm，5cm C．4.5cm，10cm，5cm D．7cm，8cm，9cm 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行解答即可． 【详解】解：A、∵4cm+3cm=7cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； B、∵2cm+2.5cm=4.5cm＜5cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； C、∵4.5cm+5cm=9.5cm＜10cm，∴不能构成三角形，故本选项错误； D、∵8cm-7cm＜9cm＜7cm+8cm，∴能构成三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【例2】如图，已知点、、、在同一直线上，，，． 求证：．    【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定， 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，由可得，可证得． 【详解】解：证明：， ， ， ，即， 在和中 ． 判定全等与找等角的几个方法 1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的. 2.将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等 3.找等角的几个方法:公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余(或补)角，等角加(或减)等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角. 作图的依据与方法 作图的依据1: 三边分别相等的两个三角形全等 作图的依据2: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 作图的方法1: 先作出一条边(即先确定三角形的两个顶点)，再用两条弧的交点确定所作边所对的顶点(确定第三个顶点). 作图的方法2: 一种是先作角，然后作边，最后作另一个角; 另一种是先作一边(作一边等于已知线段)，再在边的两 端分别作角。 1．如图，，若，，则等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2．如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是 ． 5．如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 6．如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为 ． 7．如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 8．如图，小林家门前有一口池塘，不能直接到达两个端点A、B测距离．小林提出了一种测量方案：如图，过点B作，在的延长线上取一点C，再由点D观测，使．这时只要测出的长即为A、B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由． 9．阅读下列材料，完成相应的任务；全等四边形根据全等图形的定又可知:四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一条边和等”或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考:如图1，四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定“”的条件，只要再增加个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别和等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形与四边形先给出和下条件: ,，小亮在此基础上又给出“”两个条件.他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”. （1）请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形四边形”的理由； （2）请从下面两题中任选一题作答，我选择 题. 在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“”.满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形 在材料中“小明所给条件的基础上”，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于小亮的条件），使四边形四边形，你添加的条件是① ，② . 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$