精品解析： 浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题

五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测试卷 高二数学 命题人：天元公学 王和雨 余建新 李盛；审题人：杭二钱江 董泉发 唐梦玥 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分.每小题有且仅有一个正确选项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先分别分析集合与集合所代表的元素特征，再根据交集的定义求出. 【详解】已知集合，其中表示整数集. 当取遍所有整数时，表示所有的偶数，即集合是由所有偶数组成的集合. 已知集合，其中表示自然数集（包括）. 当时，；当时，；当时，；以此类推. 所以集合是由所有大于等于的自然数组成的集合. 由于集合是所有偶数组成的集合，集合是所有大于等于的自然数组成的集合，那么就是所有大于等于的偶数组成的集合. 大于等于的偶数可以表示为（），其中表示正整数集. 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，则复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 3. 在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 4. 已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（ ） A. 和都是假命题 B. 和都是假命题 C. 和都是假命题 D. 和都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由圆、椭圆方程的结构特点判断即可. 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象有对称轴 B. 的图象有对称轴 C. 的图象有对称中心 D. 的图象有对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】只需计算，验证即可求解. 【详解】，，所以，所以的图象有对称中心，故A错误，D正确； ，， 所以，，故B错误，C错误， 故选：D. 6. 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 7. 已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，得出，构造函数，利用导数研究的单调性，画出和的大致图象，由图可知，设为和的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即，当直线过和时，即可求出求出的值，从而得出的取值范围. 【详解】由题可知，，， 由于的解集中恰有一个整数， 即，即， 因为，所以的解集中恰有一个整数， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 画出和的大致图象，如图所示： 要使得，可知， 设为和的交点的横坐标， 而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即， 当时，得；当时，得， 即，， 当直线过点时，得， 当直线过点时，得， 所以的取值范围为. 即所以的取值范围为. 故选：C 8. 已知椭圆与函数的图象相交于四个不同的点，其中两个点为、，且在这两点处椭圆的切线斜率均与函数在该点的导数相等．则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数在点处切线的斜率，证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，由此可得出的值，进而可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为，则，则， 下面证明椭圆在其上一点处的切线方程为， 由题意可得，联立可得，则， 所以椭圆在其上一点处的切线方程为， 由题意椭圆在点处的切线方程为，其斜率为， 由题意可得，故该椭圆的离心率为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分.每小题有2或3个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得零分） 9. 记是数列的前n项和，实数A，B，q为非零常数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若为等差数列，则为等差数列 B. 若，则为等差数列 C. 若为等差数列，则 D. 若，，则为等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合等差数列前项和公式求，再结合等差数列的定义判断A；利用与的关系，可求得数列的通项公式，然后根据等差数列定义可判断B；举反例判断C；利用与的关系，可求得数列的通项公式，然后根据等比数列定义可判断D. 【详解】对于A：由为等差数列，知， 所以，所以， 所以数列一定是等差数列，故A正确； 对于B：因为， 当时，； 当时，； 可知时，符合上式， 综上所述：， 可得，所以数列是等差数列，故B正确； 对于C，若为等差数列，则， 则，当时，仍为等差数列，此时，故C错误； 对于D，若，，则当时，且； 当时，符合上式， 故数列是首项为公比为q的等比数列，故D正确； 故选：ABD 10. 高考数学的多选题每题分，每题有个或个正确选项，全部选对得分．若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分；若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分，选对个且无错选得分．若不选或有错选则不得分．现假设正确答案个数为个的多选题出现概率为，现随机填写某个多选题的若干个选项，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 B. 若，则随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高 C. 若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 D. 随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】设随机填写个选项的得分为，求出、、关于的表达式，两两作差比较大小可得出结论. 【详解】设随机填写个选项的得分为， 则的可能取值有、、，， ，， 所以，， 的可能取值有、、，， ，， 所以，， 的可能取值有、，， ， 所以，. 对于D选项，， 所以，随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望，D对； 对于A选项，若，，即，A错； 对于B选项，若，，即， 所以，随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高，C对. 故选：BCD. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的值域为 C. 是函数的一个周期 D. 已知，当时，除了不在定义域内的值以外，有恒成立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的定义域并化简函数式，再结合正弦函数的图象性质逐项判断即得. 【详解】函数的定义域为， ， 对于A，，函数是偶函数，A正确； 对于B，由，得，因此，B错误； 对于C，，是函数的一个周期，C正确； 对于D，若，则，可得， 所以，即时恒成立， 即时，若，恒成立 而，所以D不正确. 故选：AC 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】由成等比数列即可求解. 【详解】由等比数列性质可知成等比数列， 所以， 即 解得或 故答案为：或 13. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为曲线上一点，利用点到直线的距离公式可得，可求最小值. 【详解】设为曲线上一点，则， 则到直线的距离为， 当且仅当令，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知圆O的半径为2，点P和Q在圆O上，满足．点R是圆O上的一个动点，且，设圆O直径AB的两端为点A和B．点C满足，其中．记的最小值为，则的最大值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及已知得，设，则，，应用坐标求向量的模及二次函数性质有，应用三角恒等变换得，结合正弦型函数值域及二次函数性质求最大值. 【详解】由， 由圆O直径AB的两端为点A和B，则， 所以， 由题设，不妨设，则，， （对于，各情况组合最后结果都相同，不赘述）， 所以， 所以， 所以 ， 由，当时最小， 所以 ， 由，则当时最大为5. 故答案为：5 四、解答题（共5小题，共77分.需写出适当的解题过程，否则酌情扣分） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理以及二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角，进而可得出为直角，可得出，结合勾股定理求出、的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 由可得，所以， 因为，则，故，解得. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 因为、，所以，，可得，故. 所以，所以， 由勾股定理可得，即，解得，故， 因此，的周长为. 16. 在等腰梯形ABCD中，，，，点E为AD中点（如图1）．将沿BE折起到的位置，点O，F分别为BE，DE的中点（如图2）． （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，，证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和的一个法向量，利用向量方法求面面角的夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 由题意，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 由，可得是等边三角形. 如图1，连接， 注意到，，则四边形是平行四边形， 又由，则四边形是菱形，所以是等边三角形， 如图2，由为中点，则，且； 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 当四棱锥体积最大时，则可得平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）易得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数，，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求k的最大整数解． 【答案】（1）答案见解析 （2）0 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和，解不等式，求出函数单调性； （2）分离得到在上恒成立，令，，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得，换元得到，求导得到其单调性，求出，故只需，其中，得到答案. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令，即，解得， 令，即，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题意得， 即在上恒成立， 令，， 则， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 令，下面可证其在上单调递增， 在上恒成立，故在上单调递增， 则，故， 其中在上恒成立， 所以在上单调递减， 故， 由于在上恒成立， 故只需，其中， 故k的最大整数解为0. 18. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，记线段的中点的轨迹为曲线．过作直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若P在第一象限，且直线的斜率为1，的面积为，求此时的坐标； （3）若，，直线与曲线的另一个交点分别为，直线交于点．问：点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点在定直线上，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）根据点位置之间的关系可求出曲线的轨迹方程. （2）首先设出直线的方程，然后联立直线和曲线的方程组，根据韦达定理可求出点的横坐标，然后根据的面积求出点的坐标. （3）通过求出每条直线的方程，然后将它们与曲线方程联立，求出点的坐标，进而可判断点是否在定直线上. 【小问1详解】 设，则，. 因为点在曲线上，所以，即. 所以曲线的轨迹方程为椭圆. 【小问2详解】 因为在第一象限，所以也在第一象限， 所以，. 设直线的方程为：. 联立直线与曲线的方程为： ，得. 化简得：. 根据韦达定理. 因为，所以， 所以， 所以，点到线段的距离为. 因为的面积为， 所以. 化简得：. 所以， 所以，所以， 所以， 化简得，即， 此时解得或（舍去）. 所以点的坐标为. 【小问3详解】 因为， 所以直线的方程为. 联立直线与曲线的方程组为 ，可解得点的坐标为. 若的斜率不存在，由对称性可得，矛盾； 若斜率为，直线与曲线只有一个交点，矛盾； 所以直线的斜率存在且不为，设直线的方程为①. 联立直线与曲线的方程组为： ，化简得：，解得或（舍去）. 所以点的坐标为. 所以. 所以直线的方程为. 联立直线与曲线的方程组为： ， 化简得. 约去分母得：， 所以 根据韦达定理，因为， 所以， 所以， ， 所以点的坐标为. 所以. 所以直线的方程为② 联立①②方程组为： ，可得， 化简得：， 所以， 所以， 当时，可得， 若，则点与点重合，此时共线，与条件矛盾， 所以点在定直线上，定直线方程为. 19. 记数列的前n项的最小值为，称数列为的“数列”． （1）若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； （2）若数列，都只有3项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若，的“数列为，记，从，，，…，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断出数列的单调性，结合新定义可得答案； （2）分、且，若且，讨论可得答案； （3）求出，及，可得，，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有个，再求，可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，当时，， 所以， 所以，当时，， 所以的“数列”的所有项组成的集合； 【小问2详解】 ①若，则有1个， ②若且，则，有种可能，所以有2个， ③若且，则两者相同有种， 两者不同，则共有种，所以共有种可能，所以有3个. 综上，符合条件的共有； 【小问3详解】 由题意得，所以， 所以， 所以，能被4整除， ，为奇数，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以，，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有个， ，，，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测试卷 高二数学 命题人：天元公学 王和雨 余建新 李盛；审题人：杭二钱江 董泉发 唐梦玥 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分.每小题有且仅有一个正确选项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（ ） A. 和都是假命题 B. 和都是假命题 C. 和都是假命题 D. 和都是假命题 5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象有对称轴 B. 的图象有对称轴 C. 的图象有对称中心 D. 的图象有对称中心 6. 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与函数的图象相交于四个不同的点，其中两个点为、，且在这两点处椭圆的切线斜率均与函数在该点的导数相等．则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分.每小题有2或3个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得零分） 9. 记是数列的前n项和，实数A，B，q为非零常数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若为等差数列，则为等差数列 B. 若，则为等差数列 C. 若为等差数列，则 D. 若，，则为等比数列 10. 高考数学的多选题每题分，每题有个或个正确选项，全部选对得分．若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分；若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分，选对个且无错选得分．若不选或有错选则不得分．现假设正确答案个数为个的多选题出现概率为，现随机填写某个多选题的若干个选项，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 B. 若，则随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高 C. 若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 D. 随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的值域为 C. 是函数的一个周期 D. 已知，当时，除了不在定义域内的值以外，有恒成立，则 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 13. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为________． 14. 已知圆O的半径为2，点P和Q在圆O上，满足．点R是圆O上的一个动点，且，设圆O直径AB的两端为点A和B．点C满足，其中．记的最小值为，则的最大值为________． 四、解答题（共5小题，共77分.需写出适当的解题过程，否则酌情扣分） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 16. 在等腰梯形ABCD中，，，，点E为AD中点（如图1）．将沿BE折起到的位置，点O，F分别为BE，DE的中点（如图2）． （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数，，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求k的最大整数解． 18. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，记线段的中点的轨迹为曲线．过作直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若P在第一象限，且直线的斜率为1，的面积为，求此时的坐标； （3）若，，直线与曲线的另一个交点分别为，直线交于点．问：点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 19. 记数列的前n项的最小值为，称数列为的“数列”． （1）若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； （2）若数列，都只有3项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若，的“数列为，记，从，，，…，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $