直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件-2026届高考数学一轮复习　

　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考情分析:本章内容在高考中题型和题量相对稳定,尤其2024年数学实行新的试卷结构后,高考试卷对解析几何的考查基本为“一大两小”的形式,解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,以上述问题为载体,确定直线过定点,某个结果为定值,求某个量的最值、范围等问题,对数学运算和逻辑推理素养有较高的要求.选择或填空题则多考查圆的方程,直线与圆的位置关系,圆锥曲线的定义方程和性质等,常与函数、不等式等知识综合,难度以中等及中等偏上为主. 复习策略:1.注重夯实基础.直线、圆、圆锥曲线的定义、方程是解析几何的根本,也是高考的重要命题点.要重视以本章知识为考查对象的多选题和创新题的训练. 2.既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握解题的重要结论和解题的技巧,如理解记忆一些常用的教材知识深化后得出的结论,注重条件的转化及方法的提炼、优化. 3.强化审题中的作图意识.依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探索解题思路的过程,将条件标在图形的过程则是条件转化及建立条件与结论联系的过程. 课 标 解 读 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 知识梳理 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　　与直线l　　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　　　.  取值范围为0°≤α<180° 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. 正向 向上 0° [教材知识深化] 斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换.就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2.即k=. 微思考　直线的倾斜角越大,斜率越大对吗? 提示 不对.设直线的倾斜角为α,斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 — 随α的增大而增大 — 随α的增大而增大 牢记口诀:斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论. ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的向量都是直线的　　　　　　　.若直线l的斜率为k,它的 一个方向向量的坐标为(x,y),则k=　　　　.  方向向量 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过点(x0,y0),斜率为k 　　 　　  与x轴不垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距为b,斜率为k 　　 　　　  两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) 　　　 　　  与两坐标轴均不垂直的直线 截距式   在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0) 截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0 　　　 　　  不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 平面内所有直线 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 误区警示　1.求直线方程时,若不能判断直线是否具有斜率,应对斜率存在与不存在加以讨论. 2.应用直线的截距式方程时,要注意过原点的特殊情况是否满足题意. 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　　) (2)若直线的倾斜角为α,则斜率为tan α.(　　) (3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.(　　) (4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(　　) √ × × × 2.(人教A版选择性必修第一册2.1.1节练习第3题改编)若过点M(-2,m), N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 A 解析 由题意得=1,解得m=1. 3.(人教A版选择性必修第一册习题2.2第1(3)题改编)已知直线l的倾斜角为60°,且l在y轴上的截距为-1,则直线l的方程为(　　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 C 解析 因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan 60°=, 又直线l在y轴上的截距为-1,所以直线l的方程为y=x-1. 二、连线高考 4.(2015·山东春季高考,10)如图,直线l的方程是(　　) A.x-y-=0 B.x-2y-=0 C.x-3y-1=0 D.x-y-1=0 D 解析 由题图可得直线的倾斜角为30°,所以斜率k=tan 30°= 又直线l与x轴的交点为(1,0), 所以直线的点斜式方程为y-0=(x-1),即x-y-1=0. 5.(2004·北京春季高考,文11)直线x-y+a=0(a为常实数)的倾斜角的大小 是　 .  解析 设直线倾斜角为α,直线x-y+a=0可化为y=x+a,斜率为k=, 则tan α=,又α∈[0,π),所以α= 考点一　直线的倾斜角与斜率 例1 (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] B 解析 直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α. 因为α∈[],所以k=2cos α∈[1,].设直线的倾斜角为θ, 则有tan θ∈[1,]. 又θ∈[0,π),所以θ∈[],即倾斜角的取值范围是[]. (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　 　　.  (-∞,-]∪[1,+∞) 解析 设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的取值范围是(-∞,-].故直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 变式探究1 若本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l的斜率的取值范围. 解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0. ∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1+k)(-+k)≤0,即(3k-1)(k-)≤0,解得k 故直线l的斜率的取值范围是[]. 变式探究2 若将本例(2)中的B(0,)改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l的倾斜角的取值范围. 解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0. ∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1-k)(2k+1-k)≤0,即(k-1)(k+1)≤0,解得-1≤k≤1. 故直线l的倾斜角的取值范围是[0,]∪[,π). [对点训练1](1)(2024·山东东营模拟)已知经过两点(m,-2)和(3,2m)的直线的倾斜角为,则m的值为(　　) A.- B. C.-5 D.-1 C 解析 因为直线的倾斜角为, 所以该直线的斜率为tan=-1. 所以=-1(m≠3),解得m=-5. (2)(2024·湖南衡阳模拟)已知直线l的倾斜角α满足120°<α≤135°,则l的斜率k的取值范围是(　　) A.[-1,-) B.[-,-1] C.(-,-1] D.(-∞,-]∪(-1,+∞) C 解析 因为y=tan α在(]上单调递增, 又tan=-,tan=-1, 故k的取值范围是(-,-1]. 考点二　求直线的方程 例2 求符合下列条件的直线方程: (1)过点(1,2),且斜率为3; 解 直线的点斜式方程为y-2=3(x-1),化简得3x-y-1=0. (2)经过两点A(3,-2),B(5,-4); 解 由两点式得,即x+y-1=0. (3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2; 解 斜率k=tan 45°=1,截距b=2,所以斜截式方程为y=x+2,即x-y+2=0. (4)过点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等. 解 当直线过原点时,设直线方程为y=kx, 因为直线过点(2,4),则k=2,即直线方程为2x-y=0.当直线不过原点时, 设=1, 因为直线过点(2,4),=1, 即a=6,即x+y-6=0. 综上所述,直线方程为2x-y=0或x+y-6=0. 考点三　直线方程的综合应用 例3 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程. 解 (方法一)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点, 解得k<0. 于是S△AOB=|OA|·|OB|=(1-2k) =(4--4k)[4+2]=4, 当且仅当-=-4k且k<0,即k=-时,等号成立, 此时△AOB面积最小,直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. (方法二)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则=1. 又2,ab≥4, 当且仅当,即a=4,b=2时,等号成立,此时△AOB的面积S=ab最小,直线l的方程是=1,即x+2y-4=0. 变式探究1 在本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程. 解 (方法一)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点, 解得k<0. ∴|MA|·|MB|==2(-k+)≥4, 当且仅当-k=-且k<0,即k=-1时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-3=0. (方法二)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则可得A(a,0),B(0,b),=1. ∴|MA|·|MB|=||·||=- =-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)()-5=2()≥4, 当且仅当a=b=3时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-3=0. 变式探究2 在本例中,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 解 设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则=1, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·()=3+3+2, 当且仅当a=2+,b=1+时,等号成立. 所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+y-2-=0. [对点训练2]已知直线l过点M(1,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为 　　　　　　　　.  x+y-2=0 解析 设直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则A(a,0),B(0,b),且=1,则a+b=ab, 所以|MA|2+|MB|2=(a-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(b-1)2 =4+a2+b2-2(a+b)=4+a2+b2-2ab=4+(a-b)2≥4, 当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0. $$