精品解析：2025年天津市河西区中考二模数学试题

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. 7 B. 10 C. D. 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫正面的部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 河西区是天津市中心城区之一，因地处海河西岸而得名．据统计，2024年初河西区的常住人口约为806700人．将数据806700用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，且点恰好在线段上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C D. 12. 某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 15. 若，则______． 16. 写出一个过点的直线解析式______． 17. 如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为______； （2）线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组解集为 ． 20. 在某校开展“环保志愿者”活动中，为了解全校1500名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ； （2）求统计的这组参加活动次数数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估算该校1500名学生共参加了多少次“环保志愿者”活动． 21. 已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． （1）如图①，过点作弦，连接，求和的大小； （2）如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 22. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 23. 已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； （2）小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，有一张直角三角形纸片和一张等边三角形纸片，其中，，，点在第二象限． （1）填空：如图①，的度数为 ，点的坐标为 ； （2）将等边三角形纸片沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为．设，等边三角形纸片与重叠部分的面积为． ①如图②，与边交于点，与边交于点，当等边三角形与重叠部分为四边形时，试用含有式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． （1）当，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； （3）若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算结果等于（ ） A. 7 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫正面的部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可．理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【详解】解：这个几何体的主视图为： 故选：C． 3. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用2＜＜3，进而得出答案． 【详解】解：∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 轴对称图形的定义∶如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断. 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，A、B、C都不符合轴对称图形的定义，D符合轴对称图形的定义， 故选：D． 5. 河西区是天津市中心城区之一，因地处海河西岸而得名．据统计，2024年初河西区的常住人口约为806700人．将数据806700用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数位数减1，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 7. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 9. 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是， 由题意得，， 故选：． 10. 如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由条件得到垂直平分，根据三角函数可求出的长，进而求解． 【详解】解：由题意知，，， ∴垂直平分， 即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．   故选：C ． 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，且点恰好在线段上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，，，，进而可得，可判断A选项正确；根据为直角三角形，可判断B选项错误；，无法求出具体角度，可判断C选项不一定正确；在直角中无法证明是直角的中线，可判断D选项不一定正确． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为， ∴，，，，，， ∴，， ∴，，故A选项正确； ∴， ∴为直角三角形， ∴，故B选项错误； ∵， 无法求出具体角度， ∴无法证明，故C选项不一定正确； ∵，为直角三角形的斜边， 如果，即，则是直角的中线， ∵无法证明是直角的中线，即， ∴不一定等于，故D选项不一定正确； 故选：A． 12. 某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 15. 若，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 16. 写出一个过点的直线解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，只需要写出一个自变量为3时，函数值为2的一次函数即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 17. 如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为______； （2）线段的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，，进而根据勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接，证明，进而证明在上，根据中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． （2）取的中点，连接， ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点 ∴，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴ 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键； （1）根据勾股定理即可求解； （2）取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点，则点即为所求，根据平分了四边形，找到使得的点，即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得， 故答案为：． （2）如图，点和点即为所求； 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求； 理由如下，连接，设交于点， ∵是的中点 ∴弓形的面积相等， 则使得平分四边形， ∵是的中点， ∴平分了四边形， ∵是平行四边形， ∴ ∴，则 ∴，即即为所求， 故答案为：取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是分别求出两个不等式的解集． （1）求出不等式①的解集； （2）求出不等式②的解集； （3）把不等式①和②解集在数轴上表示出来； （4）根据（3）写出原不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解不等式，得， 故答案为：； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 原不等式组的解集为， 故答案为：； 20. 在某校开展“环保志愿者”活动中，为了解全校1500名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ； （2）求统计的这组参加活动次数数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估算该校1500名学生共参加了多少次“环保志愿者”活动． 【答案】（1）50，16； （2）平均数是，众数为8，中位数为7 （3）该校1500名学生约共参加了10350次“环保志愿者”活动 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图和求平均数，中位数，众数，在图形中正确的找到数据是解题的关键． （1）由统计图①和图②即可解答； （2）根据平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数； （3）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数即可． 【小问1详解】 解：由图可知：， ， 故答案为：50，16． 【小问2详解】 解：观察条形统计图， ； 这组数据的平均数是， 在这组数据中，数据8出现的次数最多， 这组数据的众数为8， 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是7，有， 这组数据的中位数为7． 【小问3详解】 解：（次）， 该校1500名学生约共参加了10350次“环保志愿者”活动． 21. 已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． （1）如图①，过点作弦，连接，求和大小； （2）如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质证明．证明为等边三角形，得出，即可求出结果； （2）连接，根据切线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ． ， ，即． 为中点，即垂直平分． ． ． ， ． 为等边三角形． ． ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 为的切线， ， ， ， ． ． 又， ． ， ． ． 设，则，，， 在中，， ． 解得（舍），． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 23. 已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； （2）小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；②；③当时，；当时，；当时， （2）米 【解析】 【分析】（1）①分别求出“”、“”、“”的函数表达式，再根据自变量的值求出相应函数值即可； ②根据函数图象找出小桐在博物馆停留函数图象求解； ③分别求出“”、“”、“” 的函数表达式即可； （2）设小桐用了与小海在途中相遇，小桐行走的速度为，列出一元一次方程求解，再求出相遇时他们距离博物馆的路程． 【小问1详解】 解：①当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 取，； 当时，， 所以当时，； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，， 故答案为：，，； ②填空：小桐在博物馆停留的时间为（）， 故答案为：； ③当时，由①可知函数表达式为； 当时，函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，小桐离家的路程关于时间的函数解析式为： ； 【小问2详解】 设小桐用了分钟与小海在途中相遇，小桐行走的速度为， 则， 解得：， 相遇时他们距离博物馆的路程是（） 答：相遇时他们距离博物馆的路程是． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，行程问题(一次函数的实际应用)，求一次函数解析式，一元一次方程的行程问题，解题关键是列出函数表示式． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，有一张直角三角形纸片和一张等边三角形纸片，其中，，，点在第二象限． （1）填空：如图①，的度数为 ，点的坐标为 ； （2）将等边三角形纸片沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为．设，等边三角形纸片与重叠部分的面积为． ①如图②，与边交于点，与边交于点，当等边三角形与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）； （2）①，的取值范围是；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数与图形运动的实际应用，解直角三角形，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据点的坐标求出的长，利用三角函数求出的度数，过点作，根据等边三角形的性质，求出点坐标即可； （2）①当点与点重合开始，到与点重合时，等边三角形与重叠部分为四边形，利用分割法表示出重叠部分的面积即可； ②分别求出，，，时，的范围即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵直角三角形纸片， ∴， ∴， 过点作轴， ∵等边三角形纸片， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵等边三角形纸片，平移， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∴， 由题意可知：当点与点重合开始（不包括点），到与点重合时，等边三角形与重叠部分为四边形， ∴； 综上：，的取值范围是； ②当时，如图， 同①可知：为直角三角形，， ∴， ∵， ∴，即：； 当时，如图，由①知： ， 那么其对称轴为，开口向下， ∴当时，有最小值，； 当时，有最大值，， ∴； 当时，如图： 同①可知：，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴ ， 那么其对称轴为，开口向下， ∴当时，最大为， 当时，最小为：， ∴； 当时，如图： ， ∴， ∴ ， 那么其开口向上，对称轴为， ∴当时，有最大值，此时， 当时，有最小值，此时， ∴； 综上：． 25. 知二次函数顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． （1）当，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）若，点为线段上一点，当时，求点坐标； （3）若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 【答案】（1）顶点的坐标为 （2）点的坐标为 （3）顶点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与圆综合. （1）先求出，，对称轴为，求出抛物线的解析式，即可求出顶点的坐标； （2）得到点的坐标为，的解析式为，可得，得到点的坐标为，根据勾股定理得到，即可求出点的坐标； （3）设点，则点，求出中点的坐标为，连接，利用垂径定理证明，可得点在以为直径的圆上，求出该圆的圆心的坐标为，根据勾股定理得到，连接交于点，可得的最小值，即的最小值，即，求出，设抛物线解析式为，求出，即可得到顶点的坐标. 【小问1详解】 ，， ． 该抛物线的对称轴为． ， 该抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 ，，且抛物线与轴的负半轴交于点，故． 点的坐标为，得的解析式为． ∴点关于对称轴的对称点． 点在上，且点的横坐标为， 点的坐标为． ，解得，． ，舍去． 点的坐标为． 【小问3详解】 ， 该抛物线的对称轴为． ， 设点，则点， 点、关于对称轴对称， 中点的坐标为． 连接， 是弦的中点，于． 点在以为直径的圆上，则该圆的圆心的坐标为， ，且半径， 连接交于点，即可得的最小值． ． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为，将点代入， 得，． ． 顶点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$