培优点03　函数性质的综合应用（8大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点03　函数性质的综合应用 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：函数的奇偶性与单调性 4 题型二：函数的奇偶性与周期性 4 题型三：函数的奇偶性与对称性 5 题型四：函数的双式性质问题 6 题型五：函数与导数的性质 7 题型六：抽象函数赋值模型 7 题型七：非常规的函数对称 8 题型八：函数性质的综合应用 9 04 课时精练 11 函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。 在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。 当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，都能更加得心应手。 题型一：函数的奇偶性与单调性 【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的奇偶性与周期性 【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 【变式2-1】已知定义在上的奇函数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 题型三：函数的奇偶性与对称性 【典例3-1】定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【变式3-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 【变式3-2】已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称 C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称 【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 题型四：函数的双式性质问题 【典例4-1】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（    ） A．305 B．302 C．300 D．400 【变式4-1】已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B．1 C．2023 D．2024 【变式4-3】已知函数为上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域均为，则（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 题型五：函数与导数的性质 【典例5-1】已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则的值为（    ） A．0 B．8 C．-8 D．4 【典例5-2】已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D． 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 题型六：抽象函数赋值模型 【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． 【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 题型七：非常规的函数对称 【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（    ） A．56 B．57 C．58 D．59 【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 题型八：函数性质的综合应用 【典例8-1】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，记，其导函数为，则（   ） A．8是的一个周期 B． C． D．为奇函数 【典例8-2】（多选题）已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于原点对称 C． D．的极小值为3 【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（   ） A．，中必有一个为周期函数 B．若，则的解析式可以为 C．与中至少有一个函数为奇函数 D．若，，则 1．设定义在上的函数满足，且当时，.若存在实数使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4050 B．4048 C．4044 D．4036 9．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 10．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．点为曲线的对称中心 D． 14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 16．（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 17．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点（2，1）对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则4是的一个周期 22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则 ， ． 25．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 . 26．（2025·浙江·二模）若定义在上的函数满足，则的最大值是 ． 27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 . https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点03　函数性质的综合应用 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：函数的奇偶性与单调性 4 题型二：函数的奇偶性与周期性 6 题型三：函数的奇偶性与对称性 9 题型四：函数的双式性质问题 11 题型五：函数与导数的性质 15 题型六：抽象函数赋值模型 18 题型七：非常规的函数对称 22 题型八：函数性质的综合应用 25 04 课时精练 30 函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。 在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。 当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，都能更加得心应手。 题型一：函数的奇偶性与单调性 【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为时，，则在上单调递增. 当时，，所以时，恒成立. 又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数. 不等式，对任意的恒成立， 即，， 又，所以. 令，， 令，则. 在上恒成立，所以函数在上单调递减. 在时有所以， 即实数的取值范围为． 故选：A. 【变式1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 题型二：函数的奇偶性与周期性 【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知，； 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误； 对于B，由，可知； 显然，所以， 所以，即B正确； 对于C，易知，可得C错误； 对于D，显然，即D错误. 故选：B 【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 【变式2-1】已知定义在上的奇函数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义在上的奇函数满足， 所以，所以，即， 所以是周期为的周期函数，且，， 所以． 故选：C． 【变式2-2】已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则， 即， 所以， 即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以， ， ， 所以． 故选：B 题型三：函数的奇偶性与对称性 【典例3-1】定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】A 【解析】 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称，故A错误； 因为是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 代入中， 得到，进而， 因此，故C正确； 由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期， 可得，，， 由可得，， 所以， 所以，故D正确． 故选：A． 【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】A 【解析】∵，， 则， ∴的最小周期为4．令，解得． ∵为偶函数，由函数的图象可由函数的图象向左平移个单位， ∴关于直线成轴对称．∴，∴， ∴．又，∴，， ∴. 故选：A． 【变式3-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 【答案】C 【解析】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则． 故选：C 【变式3-2】已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称 C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】D 【解析】对于A，由，得， 则，函数的周期为4， 取，则， 为偶函数， 而最小正周期为，故A错误； 对于B， 由为偶函数，得， 故， 所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误； 对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误； 对于D，由，，得， 则，函数的图象关于点对称，D正确. 故选：D 【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 题型四：函数的双式性质问题 【典例4-1】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以， 故，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求， 所以，故D正确． 故选D． 【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（    ） A．305 B．302 C．300 D．400 【答案】A 【解析】函数的定义域均为，由，得， 又，则， 于是，即， 由，得，又， 则，即，因此， 即，， 则函数是周期函数，周期为4，由，得，， 由，，得，于是， 所以. 故选：A 【变式4-1】已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为偶函数，得，则． 两边取导数，得①． 由的图象关于点对称，得②． ①②，得，所以， 则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列． 在中，令，得． 在中，令，得． 在中，令，得， 所以， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以， 则． 故选：D． 【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B．1 C．2023 D．2024 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以， 所以的周期为8．因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周期为8，所以， 由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：A. 【变式4-3】已知函数为上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为为上的奇函数，则， 为偶函数，故有， 则，于是， 故，所以， 所以的周期为8， 则，故B正确； 故选：B. 【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域均为，则（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【解析】在中，令，结合，得． 由，得， 结合，两式相减， 得，所以， 所以，即， 所以12是函数的一个周期，所以． 故选：C． 题型五：函数与导数的性质 【典例5-1】已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则的值为（    ） A．0 B．8 C．-8 D．4 【答案】C 【解析】为偶函数，为偶函数，关于对称， 关于中心对称，且为偶函数，关于对称， 且，， 的一个周期为4，且，， ， 故选：C. 【典例5-2】已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由函数为奇函数，得，则，，A错误； 对于BC，由求导得，即， 而，则，的图象关于直线对称， 且，由为偶函数，得，的图象关于直线对称， 因此，的周期为4，取，满足的周期为4， 且，且 ，， 显然2不是的周期，BC错误； 对于D，设的周期为，即，求导得，即， 因此函数与具有相同的周期，由选项B知的周期也为4，，D正确. 故选：D 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对两边求导，得， 又由，得， 所以，可得． 由为奇函数，得，则， 令得：， 则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数， 则． 故选：C． 【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，同时， 又为奇函数，则，所以关于对称， 即，所以常数， 令可得：， 所以， 则关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数， ，， ，，，， 故选：C. 【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为为奇函数，所以， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故B错， 对于C，因为，所以，所以，为常数， 因为，所以，所以， 取，可得.所以， 由，得， 所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且周期为， 又，即， 所以函数也是以周期得周期函数，故C正确； 对于D，因为，， 所以，即， 所以，则， 所以， ，无法确定该值，故D错误. 故选：AC. 题型六：抽象函数赋值模型 【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】C 【解析】令时，因为， 所以. 令， 则，所以. 令，则， 所以，则，所以4为的一个周期. 又， 所以由周期性可知，即． 当i为偶数时，为偶数，所以； 当i为奇数时，设， 则 ， 故被4除的余数为1，所以， 所以． 故选：C． 【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【解析】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 题型七：非常规的函数对称 【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，即，故函数的图象关于对称． 又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称． ，是以4为周期的周期函数． 对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； 对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误； 对于C，由，得；由，得， ，故C正确； 对于D，依题意，得，，，故D错误． 故选：C． 【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由偶函数，知的图象关于直线对称， 因图象关于点成中心对称，则①，且， 所以 ， 所以是周期为的周期函数. 令代入①，可得，而， 所以， 综上，. 故选：C 【变式7-1】若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（    ） A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】B 【解析】的图象向左平移个单位得到的图象，在将横坐标缩小为原来的一半， 得到的图象，由于偶函数，图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称. 由于的图象向右平移个单位得到的图象， 由于关于点成中心对称，所以的图象关于点成中心对称. 则， ，所以是周期为的周期函数. ，所以， ，则， 所以. 故选：B 【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数为偶函数，可得，即， 可得函数关于对称，则， 又由是奇函数，可得， 所以函数关于点对称，则，且， 所以，即，即函数的周期是4， 则， 由，可得， 所以，则， 即，所以， 即导函数关于点对称，且， 又由，可得，即导函数的周期是4， 则，所以． 故选：D． 【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 题型八：函数性质的综合应用 【典例8-1】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，记，其导函数为，则（   ） A．8是的一个周期 B． C． D．为奇函数 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以， 又，即，则，可得关于点对称， 又的定义域为R，则； 又为奇函数，则，所以， 即，所以关于直线对称， 因为，所以，所以， 则，则8是的一个周期，故A正确； 对于B，由上述得，所以， 则关于点对称，且的定义域为R，则， 令，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 则的周期也为8，则， 又的周期为8，则，所以，故C错误； 对于D，由上述知，则为奇函数，故D正确． 故选：ABD． 【典例8-2】（多选题）已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，则，故A正确； 对于，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，，即，即， 所以，所以的图象关于直线对称，但是不能确定的值，故B不正确； 结合的图象关于点对称，所以，周期， 所以，故D正确； 由，所以，所以，即， 令0，则，所以的图象关于直线对称，又的图象关于点对称， 所以的图象关于直线对称，所以，故C正确. 故选：ACD 【变式8-1】（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于原点对称 C． D．的极小值为3 【答案】AB 【解析】因为的图象关于对称，所以， 即，则为偶函数，故A正确； 由得，，两边取导数得，， 即，所以，则是奇函数， 所以图象关于点原点对称，故B正确； 由上可知，，又由得， 所以，则， 所以有，即函数是一个周期函数且周期为8； 又由，令得，， 则，故C错误； 由在上单调递减，又的图象关于点对称可知， 在上单调递减，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递增， 由周期性可知，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，即，故D错误， 故选：AB. 【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 【答案】ABD 【解析】令，得， 因为，所以，故A对； 令得， 令得，故B对； 由得， 所以函数是周期为8的函数， 又， 所以， 所以， 所以， 又，函数是周期为8的函数， 如，则，故C错； 若x为正整数，则， 所以，故D对； 故选：ABD 【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（   ） A．，中必有一个为周期函数 B．若，则的解析式可以为 C．与中至少有一个函数为奇函数 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于A项，令，， 则，，， 满足， 但，均不是周期函数，故A错误. 对于B项，若，， 则， 所以与是“关联函数”，B正确. 对于C项，令，则，得， 令，则， 因为不恒为零，所以， 令，得， 将，代入，得， 所以为奇函数，故C正确. 对于D项，由为奇函数，得，， 令，，则， 得， 分别令和， 得，， 两式相加得，所以， 即， 所以是以4为一个周期的周期函数，故， 所以，D正确. 故选：BCD. 1．设定义在上的函数满足，且当时，.若存在实数使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由，令， 则，为偶函数， 由当时，知在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 由得， 由是偶函数及单调性知， 所以，所以. 故选：A. 2．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，， 为奇函数，且知在上单调递增． ， 原不等式可转化为， ，解得． 故选：D． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，， 函数是偶函数，求导得，令， 求导得，函数在上递增， 当时，，函数在上单调递增， 不等式， 则，令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，，令函数，求导得， 函数在上递增，当时，，成立， 当时，，不成立， 所以不等式的解集为. 故选：C 4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 5．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 且在[0，1]上单调递减，因为，所以， 故选:B. 6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为奇函数，故， 又为偶函数，故， 中，令代替得， 结合得， 即，又， 故，的一个周期为4， 所以， 又时，． 故. 故选：D 7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，函数的定义域为，为偶函数， 即， 又为奇函数，则，即， 所以，则， 即函数周期为， 在区间上是增函数，则在区间上是增函数， 又为奇函数，则，所以， 而，， ， 所以. 故选：D 8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4050 B．4048 C．4044 D．4036 【答案】A 【解析】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，则，即， 即，所以函数关于对称， 所以，即，可得， 所以，所以函数为周期为4的函数， 由，所以，则， 所以，且，即， 又，所以， 所以， 所以. 故选：A. 9．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 【答案】C 【解析】因为的图象关于点对称，所以， 则，即， 则的图象关于点对称．又的图象关于直线对称， 所以， 故， 故， 所以是以4为周期的函数． 因为，，，， 所以． 故选：C 10．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于对称，有， 令，则，的图象关于对称. 由为偶函数，得，则的图象于对称， 因为， 所以， 即，则的图象关于对称. 所以，又， 所以，所以， 所以，所以为的一个周期， 因为图象关于对称，所以， 故， 所以由，得. 故选：C. 11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以，则， 所以对称中心为， 又因为的图像关于对称，则， 所以，则， 所以的周期， ①，所以①正确； ②因为，，对称中心为， 所以，所以，所以②正确； ③因为，所以， 因为，所以， 则，所以，所以③错误； ④因为且周期， 所以，则的周期为， 因为，，，， 所以， 所以，所以④正确. 故选：C. 12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，， 令，则，即：①； 令，得到； 因为为偶函数，， ②；结合①②得到：， ，， 所以，所以函数的周期为8， . 故选：A. 13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．点为曲线的对称中心 D． 【答案】ACD 【解析】A.在中，令，得，所以，故是奇函数，A正确； B.由定义域为，且为奇函数，知， 在中，令，得，B错误； C.因为，所以，故， 又因为，所以，即， 所以点为曲线的对称中心，C正确； D. 因为是奇函数，所以，故，即是偶函数， 由得，，故，即的周期为4， 因为，所以，即， 在中，令，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【解析】，关于对称，，故A正确； 对求导可得， 即，关于对称， 又，关于对称， 的一个周期为4，关于对称，故B错误，故C正确； 将代入，可得， 将代入，可得， ，， ，故D正确. 故选：ACD． 15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【答案】BC 【解析】由题意，函数与的定义域均为. 由求导可得，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 由求导可得， ， ，则（为常数）， 令，则有，所以，即， 所以，即函数的图象关于直线对称. 又由可得， 则有， ， ，即， 所以函数的图象关于点对称. 所以函数是周期函数，周期.证明如下： 由可得， 由上述结论可知，所以. 则，即， 又由可得，所以. 所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确； 对于A，因为，， 若，则，与矛盾. 故A错误； 对于D，由求导可得， 则有，因为，所以 则（是常数），令，可得， 所以，即函数的图象关于直线对称. 所以，函数也是周期函数，周期. ，令，可得， 根据对称性可知，， 所以. 所以，不确定是否为0，故D错误. 故选：BC. 16．（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为为奇函数，所以， 取可得，A正确． 对于B，因为，所以， 所以．又， 故，所以函数的图象关于点对称，B错误． 对于D，因为，所以， 所以为常数．因为， 所以， 所以，取可得，所以． 又，所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数． 因为，所以， 所以， 所以，D正确． 对于C，因为，所以 ，所以， 故函数为周期为4的函数，， 所以函数为周期为4的函数， 又， 所以， 所以，C正确． 故选：ACD 17．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故， 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，，故A正确； 对选项B，在中，令得，， 在中，令得，，故，故B正确； 对于C：，令，得， 因为是周期函数，且周期为，， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D：由得， ， 由A选项知，令得，故， 因为是周期函数与奇函数，且周期为， 所以，即， 因为，所以 所以，故D错误． 故选：AB 18．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点（2，1）对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，根据题意由可得； 又为奇函数，联立，两式相加可得， 因此的图象关于点对称，即A正确； 对于B，由，，又为偶函数，所以， 可得，即， 所以，即是以8为周期的周期函数，可知B正确； 对于C，易知，，即C不正确； 对于D：由可得，又，所以； 所以，即D正确； 故选：ABD． 19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】令，得，解得，故A正确； 令，得，所以，即为奇函数，故B正确； 令，得. 因为，所以， 所以， 所以的周期是4，所以， 所以，故C错误； 对两边求导，得，所以的周期为4. 对两边求导，，所以.对于中关于求导， 可得， 令，可得， 令，可得.又因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【解析】由题意得任意，，且， 令，则，则． 令，则，故A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确． 令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数． 又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误． 令，则，，故D错误． 故选：AC． 21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则4是的一个周期 【答案】ABD 【解析】令，则， 因为，所以，故A正确； 令，则恒成立， 所以函数为偶函数，故B正确； ，令，则，故C错误； ，令，则， 所以， 则为周期函数且为其一个周期，故D正确. 故选：ABD. 22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【解析】因为为偶函数，则，即函数的图象关于直线对称， 因为，则函数的图象关于点对称， 因为，则，所以，， 则，即， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 因为函数的图象关于直线对称，则， 由可得，则， 故，所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，则， 且，所以，，A对； 因为，故函数是周期为的周期函数， 若函数为奇函数，且，则， 从而有，则， 又因为的图象关于直线对称，则，这与矛盾， 故函数不是奇函数，B错； 因为，且，则， 则，且， 所以，，D错. 故选：AC. 23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则 ， ． 【答案】 0 【解析】令，，得，∵，∴． 令，得， ∴（*）， ， ∴， ∴， ∴是一个周期为6的周期函数， 由（*），可得， ， ， ， ∴， 故答案为：0； 25．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 . 【答案】-10 【解析】由，得， 两式相加得，则， 所以函数的周期为， 设，则，， ，又，则，即， 所以，，，， 所以， ， 故答案为：-10 26．（2025·浙江·二模）若定义在上的函数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】由，，得，所以， 平方得①， ②， ②-①得， 所以，即 又，则 ， 所以 所以，即， 故2为函数的一个周期，因此. 考虑到， 设， 则， 故最大值为. 故答案为：. 27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 令可得， 令可得，， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：. 28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 . 【答案】0 【解析】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数， 又当时， 则 ， 故. 故答案为：0 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$