空间直线、平面的垂直 课件-2026届高考数学一轮复习

　空间直线、平面的垂直 课 标 解 读 1.了解空间中线线、线面、面面垂直的关系,认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 知识梳理 1.直线与平面垂直 与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同 (1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直线l的　　　　.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. [教材知识深化] 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条,这点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 垂线 垂面 (2)判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直   “相交”是定理的关键词,应用定理时不能省略   ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线　　 　    ⇒a∥b 平行 a⊥α 微思考　空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直? 提示 存在,如图. 2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 直二面角 (2)判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的　　　　　,那么这两个平面垂直  实际应用:找出一个平面的垂面的依据   ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直    一定不能漏掉 “平面内”“垂直于 交线”这两个条件 ⇒ 　  垂线 b⊥α [教材知识深化] 1.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 2.如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线,该直线在第一个平面内. 误区警示　注意不能和两个平面平行的性质混淆.当两个平面垂直时,并非一个平面内的任意直线都和另一个平面垂直. 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.(　　) (2)设m,n是两条不同的直线,若m∥n,m⊥平面α,则n⊥平面α.(　　) (3)设a是一条直线,α,β是两个不同的平面,若α⊥β,a⊥β,则a∥α.(　　) × √ × 2.(人教A版必修第二册8.6.2节练习第4题)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心. (2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的　　　　　点. (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的　　　　心. 外 中 垂 解析 (1)∵过△ABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,图略, ∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC, ∴点O是△ABC的外心. (2)由(1)知,点O是△ABC的外心, 又∠ACB=90°,如图, ∴点O是斜边AB的中点. (3)连接AO并延长交BC于一点E, ∵PA,PB,PC两两垂直, 即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴BC⊥PA. ∵PO⊥平面ABC于点O,BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC. 又PO∩PA=P,PO,PA⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE. ∵AE⊂平面APE,∴BC⊥AE. 同理可证HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心. 3.(人教B版必修第四册习题11-4B第2题)如图,已知AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C为圆上不同于A,B的任意一点.求证:BC⊥平面PAC. 证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB是圆的直径, ∴AC⊥BC. ∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC. 二、连线高考 4.(2022·全国乙,理7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D A 解析 如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点, ∴EF∥AC. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC, 又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1. 又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确. 对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD. 假设平面B1EF⊥平面A1BD, 又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF. 又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF. 又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF. 又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E, ∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直. 故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误. 5.(2021·全国甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形, AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积; (2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE. (1)解 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1, ∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BCC1B1, ∴A1B1⊥平面BCC1B1. ∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1, ∴AB⊥BC. ∵AB=BC=2,∴AC==2,∴CE=BE= ∴CF=CC1=AB=1, ∴V三棱锥F-EBC=S△EBC×CF=1= (2)证明 如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM. ∵E,M分别为AC,BC中点,∴EM∥AB. 又AB∥A1B1, ∴A1B1∥EM, 则点A1,B1,M,E四点共面,故DE⊂平面A1B1ME. 又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1, ∴∠FBM=∠MB1B. 又∠MB1B+∠B1MB=90°, ∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1. 又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1⊂平面A1B1ME, ∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE. 考点一　直线与平面垂直的判定与性质 例1(2024·江苏镇江模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 证明 (1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD, 又AC⊥CD,AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,∴CD⊥平面PAC, 又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE. (2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB, 又AD⊥AB,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD, 又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,由PA=AB=BC,∠ABC=60°, 则△ABC是正三角形.∴AC=AB,∴PA=AC. ∵E是PC中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD, 又CD∩PC=C,CD,PC⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD, 又PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD, 又AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE. [对点训练1]如图,已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=4,AB=3, AC=5. (1)求点A到平面PBC的距离; (2)求三棱锥P-ABC的表面积. 解 (1)因为AB⊥BC,AB=3,AC=5, 所以BC==4, S△ABC=AB·BC=3×4=6,VP-ABC=S△ABC·PA=6×4=8. 因为PA⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以AB⊥PA,BC⊥PA, 又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,故BC⊥PB,PB==5, S△PBC=PB·BC=5×4=10, 设点A到平面PBC的距离为h, 则VA-PBC=VP-ABC,即S△PBC·h=h=8,可得h= (2)由(1)知,S△ABC=6,S△PBC=10,S△PAB=PA·AB=4×3=6, 因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, 所以AC⊥PA,所以S△PAC=PA·AC=4×5=10, 所以三棱锥P-ABC的表面积为S=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC=6+6+10+10=32. 考点二　平面与平面垂直的判定与性质 例2(2023·全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高. (1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA. ∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1. ∵BC⊂平面BB1C1C, ∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1, 过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C. ∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D. ∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC, ∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形, 有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2, 则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边CC1=2, ∴A1D=CC1=1. 即四棱锥A1-BB1C1C的高为1. [对点训练2](2022·全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积. (1)证明 ∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC. 又E为AC的中点,∴BE⊥AC. ∵AD=CD,且E为AC的中点, ∴DE⊥AC. 又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED. ∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD. (2)解 ∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形. ∴AC=2,BE=AD⊥CD,AD=CD, ∴△ACD为等腰直角三角形,∴DE=1. 又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,即DE⊥BE.连接EF, ∵点F在棱BD上,∴EF⊂平面BED. 由(1)知,AC⊥平面BED,从而AC⊥EF,于是S△AFC=AC·EF=EF. 故当EF⊥BD时,EF最小,△AFC的面积最小,此时EF= 由(1)知,AC⊥平面BED,所以AC⊥BD. 又EF∩AC=E, ∴BD⊥平面AFC.在Rt△BEF中,BF= ∴三棱锥F-ABC的体积V=S△ACF·BF=2 考点三　平行、垂直关系的综合应用 例3(2024·全国甲,文19)如图,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2, CD=4,AD=BC=,AE=2,M为CD的中点. (1)证明:EM∥平面BCF; (2)求点M到ADE的距离. (1)证明 ∵CD∥EF,且M为CD的中点, ∴EF∥CM,且EF=CM,则四边形EMCF为平行四边形, ∴EM∥CF. 又CF⊂平面BCF,EM⊄平面BCF,∴EM∥平面BCF. (2)解 由题得,AB∥CD,且AB=CD=CM, ∴四边形ABCM为平行四边形, AM=BC= 取DM的中点O,连接AO,OE. ∵EM=FC=DM=DE=2,AM=BC=AD=,则AO⊥DM,EO⊥DM, 则AO==3,OE=,∴AE2=AO2+OE2,∴AO⊥OE. 又AO⊥DM,OE,DM⊂平面DME,AO⊄平面DME,∴AO⊥平面DME. 在△ADE中,cos∠AED=, ∴sin∠AED=,则S△ADE=2×2 由VA-DEM=VM-ADE,设点M到平面ADE的距离为dS△DEM·AO=S△ADE·d, 则23=d,解得d= [对点训练3](2023·全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2, BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO. (1)求证:EF∥平面ADO; (2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积. (1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(), 所以=(1-λ)+ 因为O为BC的中点,则,所以 因为AB⊥BC,则=0, 因为AB=2,BC=2,BF⊥AO, 则=[(1-λ)+]·() =-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=,故F为AC的中点. 又因为E为PA的中点,则EF∥PC,又D,O分别为PB,BC的中点, 所以DO∥PC,则EF∥DO, 因为EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO. (2)解 连接OF,PF. ∵O,F分别为BC,AC中点,且AB⊥BC, ∴OF⊥BC. 又PB=PC,O为BC中点,∴BC⊥OP. ∵OF∩OP=O,OF,OP⊂平面POF, ∴BC⊥平面POF. 又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF. 过点P作PM⊥FO交FO延长线于点M, 则PM⊥平面ABC,即PM为三棱锥P-ABC的高. ∵∠POF=120°,∴∠POM=60°. 在Rt△PBO中,PO==2, ∴PM=POsin∠POM=2, ∴V三棱锥P-ABC=S△ABC×PM=2×2 $$