专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【知识梳理】 1 【考点1：空间直角坐标系】 2 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 5 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 8 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 11 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 15 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 19 【知识梳理】 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3、设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 4、设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3．（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 4．（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间坐标系的定义得对称点的坐标，再求得向量坐标． 【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以. 故选：A． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示，列式求出即可得解. 【详解】依题意，，， ， 则，解得，所以. 故选：A 6．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 2．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A 6．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【分析】由空间向量共面，列出等式求解即可； 【详解】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 7．（24-25高二上·河南漯河·期末）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【答案】C 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 8．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得. 【详解】因为，， 所以可设， 则有，，， 解得，，， 故. 故选：A. 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于，故，故，则， 故选：A 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【分析】由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论. 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值. 【详解】由题意知所在的直线平行， ，， 共线的充要条件是 显然，，符合题意. 当时，由，得 代入，得 综上，的值为1或. 故答案为：1或3. 7．（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【答案】2 【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得. 【详解】向量 ，， ， 与互相平行，， ，解得 故答案为： 8．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； 【答案】(1)； (2)3； 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，若，则x的值为（   ） A．7 B．-8 C．6 D．-5 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参. 【详解】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，解方程即可. 【详解】, 因为，所以，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知空间向量，若，则 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程，从而求得. 【详解】因为空间向量， 所以， 由于， 所以，解得. 故答案为： 7．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解；法二，求出，判断，得，由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1），， ∴， 又∵，∴， 即，解得. （2）法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 8．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，则 【答案】 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 2．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 5．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 7．（多选）（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 8．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量计算公式计算可判断A；根据向量数量积与向量夹角关系可判断B；根据向量数量积坐标运算计算可判断C；根据向量共线的条件可判断D； 【详解】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 5．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）由数量积和模的坐标表示计算； （2）由向量夹角的坐标表示求解． 【详解】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 7．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【知识梳理】 1 【考点1：空间直角坐标系】 2 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 3 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 4 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 5 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 7 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 8 【知识梳理】 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3、设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 4、设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 6．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 8．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则 ． 7．（24-25高二上·河南漯河·期末）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 8．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 7．（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 8．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，若，则x的值为（   ） A．7 B．-8 C．6 D．-5 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知空间向量，若，则 7．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 8．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，则 2．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 5．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 7．（多选）（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 5．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 7．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$