专题01 平行线的判定与性质（旧知复习篇）暑假衔接培优精讲练2024-2025学年人教版数学七年级下册

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题01 平行线的判定与性质 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点02：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点03：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.40（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（2025·四川德阳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 5．（本题2分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 6．（本题2分）（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 7．（本题2分）（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（   ） A．①②③④⑤⑥ B．①②③④⑤ C．①②③④⑥ D．①②③⑤⑥ 8．（本题2分）如图，∠DAC与∠ACE的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若，则∠B的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 9．（本题2分）如图，，则与的数量关系是(   )    A． B． C． D． 10．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，，平分，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的关系是 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·期中）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图．已知，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 15．（本题2分）（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 16．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 17．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ． 18．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有 ．（请填写序号） 19．（本题2分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 20．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·重庆涪陵·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（本题6分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 23．（本题8分）（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在直角三角形中，． (1)过点作，垂足为； (2)过点作（在左边）； (3)和有怎样的数量关系，并说明理由． 24．（本题8分）（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 25．（本题8分）（21-22七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 26．（本题8分）（24-25七年级下·陕西延安·期中）已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 27．（本题8分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图1，点在直线上，点在直线上，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在上有一点，连接． ①当时，与存在怎样的数量关系？并说明理由； ②当时，请直接写出与之间存在的数量关系． 28．（本题8分）（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题： 问题情境： （1）如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为________度． 问题迁移： （2）如图2，，点在射线上运动，记，． ①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 问题解决： （3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题01 平行线的判定与性质 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点02：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点03：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.40（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（2025·四川德阳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解． 【完整解答】解：∵， ，， ， ， ， ， ∴； 故选：C． 2．（本题2分）（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【完整解答】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 3．（本题2分）（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【完整解答】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 4．（本题2分）（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据角的和差计算即可判断④． 【完整解答】解：∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴，③错误； 综上所述：正确的结论有①②． 故选：B． 5．（本题2分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 6．（本题2分）（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【完整解答】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 7．（本题2分）（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（   ） A．①②③④⑤⑥ B．①②③④⑤ C．①②③④⑥ D．①②③⑤⑥ 【答案】D 【思路引导】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的内角和定理以及外角的性质等知识点． 证明可判断①、⑤；证明可判断②、③、⑥；利用三角形边角关系判断④即可． 【完整解答】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故②、③、⑥正确； ∵，， ∴， 故⑤正确； ∵，， ∴， 又， ∴， 故④错误， 故正确的有①②③⑤⑥， 故选：D． 8．（本题2分）如图，∠DAC与∠ACE的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若，则∠B的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】A 【思路引导】在射线AD上截取，连接PM，证明，可得，，然后证明，利用相似三角形的性质进行求解可得到结论． 【完整解答】解：如下图，在射线AD上截取，连接PM， ∵PA平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵PC平分， ∴． 如下图，延长MB，PC交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴180°-∠PCA=2∠PCA-60°， ∴， ∴． 故选：A． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解决本题的关键是得到． 9．（本题2分）如图，，则与的数量关系是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．过点作，令与交于点，先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【完整解答】解：设 则，，， 过点作，令与交于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ； ； ∴ 故选：D． 10．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，，平分，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，根据平行线的性质判断C选项；然后根据角平分线的定义判断B选项；再根据角的和差判断D选项；利用垂直的定义判断A选项解题即可． 【完整解答】解：∵， ∴，，故C选项错误； 又∵平分， ∴，故B选项错误； ∴，故D选项错误； 又∵， ∴， ∴，故A选项正确； 故选：A． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的性质，掌握这三个性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得到，，，再结合代入整理即可． 【完整解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【思路引导】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【完整解答】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·期中）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图．已知，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了平行线的性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质进行计算即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【完整解答】解：，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 【答案】①④⑤ 【思路引导】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断⑤；过点E作，根据平行线的性质证明即可判断④；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和②． 【完整解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故结论①正确； ， ， ，故结论⑤正确； 过点E作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ， ， ， 但不一定等于， ∴不一定成立，故结论③错误； ∵不一定等于， ∴平分不一定正确，则结论②错误； 综上，正确的是①④⑤， 故答案为：①④⑤． 15．（本题2分）（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③/③② 【思路引导】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结合角平分线的定义得出，即可判断④，即可求解． 【完整解答】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴，故④错误 故答案为：②③． 16．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质，先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【完整解答】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 17．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解． 【完整解答】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ∵ ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， 综上，的读数为或， 故答案为：或． 18．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，垂线的定义，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时， 求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③；根据题意当时，只有如图⑥一种情况，据此判断④． 【完整解答】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止， ∴当时，只有如下图⑥一种情况， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 19．（本题2分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答． 【完整解答】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 【答案】96 【思路引导】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键． 过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【完整解答】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·重庆涪陵·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由，推出，进而推出，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 22．（本题6分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析． 【思路引导】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（本题8分）（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在直角三角形中，． (1)过点作，垂足为； (2)过点作（在左边）； (3)和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)，理由见详解 【思路引导】本题主要考查作垂线，平行线，同角的余角相等的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线的作法作图即可； （3）根据同角的余角相等即可求解． 【完整解答】（1）解：根据作垂线的方法作图如下， （2）解：如图所示， （3）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（本题8分）（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，四边形的内角和等知识点，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质． （1）利用角平分线的性质得出，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用角平分线的性质得出，再利用（1）中结论和四边形内角和可求出的度数； （3）根据题意画出图形，过点作，利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 【完整解答】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 25．（本题8分）（21-22七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解答的关键． （1）由，可得，再利用平角的定义可得，则； （2）同理（1）证明，进而即可说明结论． 【完整解答】（1）证明：， ， 又，， ， ，， ， ； （2）解：．理由： 由题意可知，， ， ， ，， ， ． 26．（本题8分）（24-25七年级下·陕西延安·期中）已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【思路引导】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（本题8分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图1，点在直线上，点在直线上，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在上有一点，连接． ①当时，与存在怎样的数量关系？并说明理由； ②当时，请直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①．见解析，② 【思路引导】此题考查了平行线的性质和判定、角的和差等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）过点G作，则，再证明，得到，即可证明结论； （2）①证明，由即可得到结论；②证明，由即可得到结论． 【完整解答】（1）解：， 理由如下：如图，过点G作， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （2）①， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 28．（本题8分）（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题： 问题情境： （1）如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为________度． 问题迁移： （2）如图2，，点在射线上运动，记，． ①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 问题解决： （3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）（2）①②（3） 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，角的和差，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质求解． （1）过作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解； （2）①过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解； ②分情况进行讨论，当点在点左侧时和在点右侧时，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等可求解，最后综合表示即可； （3）过点作，假设，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，表示出相关的角，最后利用角的和差即可求解． 【完整解答】解：（1）过作， ∵， ∴， ∴， ， ∴, 故答案为：； （2）①如图所示，过点作， ∵， ∴， ， ； ②如图所示，当点在点左侧时，过点作， ∵， ∴， ， ； 如图所示，当点在点右侧时，过点作， ∵， ∴， ， ； 综上，； （3）∵， ∴在同一条直线上， 如图，过点作，假设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$