专题13 相似三角形-备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题13 相似三角形 【热点1比例的性质及比例线段】 1．（2025•浙江模拟）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【思路点拨】根据比例的性质进行变形求解即可． 【解析】解：根据题意可知，4b﹣a＝2a， ∴4b＝3a， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 2．（2025•钱塘区校级模拟）已知＝，则的值是　　 ． 【思路点拨】依据＝，即可得出7b＝a，进而得出的值． 【解析】解：∵＝， ∴3（a+b）＝4（a﹣b）， ∴7b＝a， ∴＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 3．（2025•宁波一模）若，则＝　　 ． 【思路点拨】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解析】解：∵＝， ∴a＝， ∴＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点． 4．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b＝，c＝2，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝3，c＝2，d＝ 【思路点拨】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B、2×＝×2，四条线段成比例，故本选项正确； C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D、×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 5．（2025•钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6． （1）求线段a，b的长． （2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长． 【思路点拨】（1）设a＝4k，b＝k，代入a﹣2b＝6计算可得k的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得c2＝ab，由此即可得答案． 【解析】解：（1）由条件可设a＝4k，b＝k， ∵a﹣2b＝6， ∴4k﹣2k＝6， ∴k＝3， ∴a＝12，b＝3； （2）由条件可知c2＝ab＝36， ∵c＞0， ∴c＝6． 【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． 6．（2025•柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　　 ． 【思路点拨】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长． 【解析】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝2×＝﹣1． 【点睛】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 7．（2025•萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC． （1）求证：△BCP∽△BAC． （2）若PC＝2，求AC的长． 【思路点拨】（1）由作法得BC＝AP，根据黄金分格的定义得到AP2＝BP•BA，则BC2＝BP•BA，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCP∽△BAC； （2）先利用黄金分割的定义得到AP＝AB，而BC＝AP，则＝，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，从而可求出AC的长． 【解析】解：由作法得BC＝AP， ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴AP2＝BP•BA， ∵BC2＝BP•BA， 即＝， 而∠PBC＝∠CBA， ∴△BCP∽△BAC； （2）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴AP＝AB， 即＝， ∵BC＝AP， ∴＝， ∵△BCP∽△BAC， ∴＝＝， ∴AC＝×2＝+1． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质． 【热点2平行线分线段成比例】 1．（2025•上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】根据相邻两条横线间的距离都相等，可设相邻两条横线间的距离为a，根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【解析】解：过点A作AD⊥CE于点D，交BM于点N，设相邻两条横线间的距离为a， ∵BM∥CE， ∴＝＝ ∴， ∴AB＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．（2025•龙港市二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若AB：BC＝1：2，DE＝2，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【解析】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴EF＝2DE＝4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【热点3相似三角形的判定与性质】 1．（2025•余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　4　 cm． 【思路点拨】因为两个三角形的面积之比9：16，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三角形的相似比，又因为对应角平分线的比等于相似比即可求出大三角形的角平分线． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：16， ∴小三角形与大三角形的相似比是3：4， ∵小三角形一边上的角平分线的长为3cm， ∴大三角形对应边上的角平分线的长为3÷＝4（cm）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 2．（2025•浙江二模）如图，Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，点E是边AC上的动点，连结DE，作DF⊥DE交AB于点F，连结EF，当点E在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】证明△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，推出，再根据BD，CD，AD为定值，可得，为定值，再根据∠AFE是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【解析】解：∵Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，DF⊥DE交AB于点F， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠CDE＝∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADF+∠BDF＝∠ADF+∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝∠ADF，∠BDF＝∠ADE， ∵∠C+∠CAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∠B+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD，∠B＝∠CAD， ∴△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE， ∴， ∵BD，AD，CD为定值， ∴，比值不变， 故A选项、C选项、D选项不符合题意； ∵∠AFE是变值， ∴的值是变化的， 故选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 3．（2025•衢江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，连结对角线AC，点O为AC中点，且AC＝AB＝2，点E是射线AB上一点，连结OE，作∠EOF＝135°，交BC延长线于点F．令BE＝x，CF＝y，则y关于x的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设OE，BC交于点H，过点O作OG∥BC，得到△AOG∽△ACB，勾股定理，求出BC的长，相似比求出OG的长，证明△EBH∽△EGO，求出BH的长，证明△EBH∽△FCO，列出比例式即可得出结果． 【解析】解：设OE，BC交于点H，过点O作OG∥BC， ∵∠ABC＝45°，AC＝AB＝2， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝90°，∠EBH＝∠OCF＝180°﹣45°＝135°， ∴， ∵OG∥BC， ∴△AOG∽△ACB， ∴， ∵点O为AC中点，， ， ∴AG＝AB＝1，， ∴BG＝AB﹣AG＝1， ∴EG＝BE+BG＝x+1， ∵OG∥BC， ∴△EBH∽△EGO，， 即：， ∴， ∵∠EBH＝135°，∠EOF＝135°， ∴∠BEH+∠BHE＝45°，∠OFC+∠OHF＝45°， ∵∠BHE＝∠OHF， ∴∠BEH＝∠OFC， 又∵∠EBH＝∠OCF， ∴△EBH∽△FCO， ∴，即：， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点，解决问题的关键在于掌握相关知识． 4．（2025•杭州模拟）如图，在菱形ABCD中，点G是CD边上一点，连接AG并延长，交对角线于点F，交BC边的延长线于点E，若FG：GE＝2：3，则的值为 　　 ． 【思路点拨】设GE＝3m，由FG：GE＝2：3，得FG＝2m，所以EF＝5m，由EB∥AD，证明△EFB∽△AFD，得＝，由AB∥GD，证明△AFB∽△GFD，得＝，所以＝，则AF＝＝m，求得＝＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：设GE＝3m， ∵FG：GE＝2：3， ∴FG＝GE＝2m， ∴EF＝FG+GE＝5m， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CB∥AD，AB∥CD， ∵EB∥AD， ∴△EFB∽△AFD， ∴＝， ∵AB∥GD， ∴△AFB∽△GFD， ∴＝， ∴＝， ∴AF＝＝＝m， ∴＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EFB∽△AFD及△AFB∽△GFD是解题的关键． 5．（2025•钱塘区二模）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　　 ． 【思路点拨】在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J．设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k，证明∠B＝∠K，求出KJ（用k表示）即可． 【解析】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D， ∵DE：CE＝5：2， ∴可以假设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k， ∴∠ECK＝∠K， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECK＝∠K， 由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB， ∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°， ∴∠CEK＝∠EFK， ∵∠K＝∠K， ∴△KEC∽△KFE， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴KF＝5k，KC＝k， ∵EJ⊥CK，EC＝EK， ∴CJ＝KJ＝k， ∵∠B＝∠K， ∴cosB＝cosK＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 6．（2025•绍兴一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　　 ． 【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BE，可得△ADF∽△EBF，从而＝，，可得BC＝CE．作FH∥BC交CD于点H，证明△DFH∽△DBC，△FHG∽△ECG，列出比例式并进行等线段替换即可得解． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BE， ∴△ADF∽△EBF， ∴＝，从而． ∴BC＝CE． 如图所示，作FH∥BC交CD于点H， ∴△DFH∽△DBC， ∴＝， ∴． 又∵△FHG∽△ECG， ∴＝． 故 答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，构造平行线证明三角形相似及在比例式中进行等线段替换是解题的关键． 7．（2025•浙江二模）如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，△ADF与△AEF关于直线AF对称，点D的对称点E刚好落在BC上，连结BD分别与AE，AF交于M，N两点．若BD∥EF，AB＝2，则DM＝　2　 ，sin∠FEC＝　　 ． 【思路点拨】由矩形的性质得AD∥BC，∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，进而得∠DAM＝AEB，证明△ADM≌△EAB（AAS），得DM＝AB＝2，证明△ABM∽△DAM，得AM2＝DM•BM＝2BM，再利用勾股定理构造方程22＝2BM+BM2，解得1（负值舍去），最后利用正弦的定义即可得解． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝2， ∴∠DAM＝∠AEB， 由折叠可得∠AEF＝∠ADC＝90°，AE＝AD， ∵BD∥EF， ∴∠AMD＝∠AEF＝90°＝∠EBA，∠DBC＝∠EFC， ∴△ADM≌△EAB（AAS）， ∴DM＝AB＝2， ∵∠BAD＝∠AMD＝90°， ∴∠AMB＝∠DMA＝90°，∠DAM＝90°﹣∠BAM＝∠ABM， ∴△ABM∽△DAM， ∴＝， ∴AM2＝DM•BM＝2BM， ∵∠AMB＝90°， 由勾股定理得AB2＝AM2+BM2， 即22＝2BM+BM2， 解得BM＝﹣1（负值舍去）， ∴BD＝BM+DM＝﹣1+2＝+1， ∴sin∠FEC＝sin∠DBC＝＝＝， 故答案为：2；． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，求正弦值，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质，求正弦值是解题的关键． 8．（2025•温州一模）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　　 ，AE＝ 　　 ． 【思路点拨】连接DG，由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，则∠AED＝∠EDF，由轴对称的性质得EF垂直平分DG，∠EGF＝∠EDF，则∠EGF＝∠AED，所以FG∥ED，可证明四边形DEGF是菱形，则EG＝FG，由＝，得GH＝EG＝FG，＝，求得FH＝FG，则＝，再证明△CFH∽△BGH，得＝＝，求得BG＝CF＝，再证明△BGH∽△AED，得＝＝，求得AE＝BG＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接DG， ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在边AB，CD上， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AED＝∠EDF， ∵点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，FG交BC于点H， ∴EF垂直平分DG，EG∥FD，∠BGH＝∠FDE，∠GBH＝∠A， ∴EG＝ED，FG＝FD， ∵EF＝EF， ∴△GEF≌△DEF（SSS）， ∴∠EGF＝∠EDF， ∴∠EGF＝∠AED， ∴FG∥ED， ∴四边形DEGF是平行四边形， ∵EG＝ED， ∴四边形DEGF是菱形， ∴EG＝FG， ∵＝， ∴GH＝EG＝FG，＝， ∴FH＝FG﹣FG＝FG， ∴＝＝， ∵CF∥BG，CF＝1， ∴△CFH∽△BGH， ∴＝＝， ∴BG＝CF＝， ∵∠BGH＝∠AED，∠GBH＝∠A， ∴△BGH∽△AED， ∴＝＝， ∴AE＝BG＝×＝， 故答案为：，． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的秘技、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形DEGF是菱形是解题的关键． 9．（2025•定海区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC＝∠ABC．若，CD＝10，AD＝2AE，则AC的长为 　　 ． 【思路点拨】根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长． 【解析】解：如图，在AB上取一点F，使AF＝AD，连接CF． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠DAC， ∵AC＝AC， ∴△AFC≌△ADC（SAS）， ∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC， ∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠BCF， 即∠DCE＝∠BCF， ∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC， ∴△DCE∽△BCF， ∴＝，∠DEC＝∠BFC， ∵BC＝5，CF＝CD＝10， ∴CE＝＝＝4， ∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°， ∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴△EAD∽△DAC， 又∵AD＝2AE， ∴＝＝， ∴AC＝2AD＝4AE＝CE＝×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 10．（2025•上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连结AD、BE． （1）求证：∠ADB＝2∠EBD； （2）若BC＝8，DE＝3，求AE的长度． 【思路点拨】（1）由线段垂直平分线的性质推出BE＝CE，D是BC的中点，得到∠EBD＝∠C，由直角三角形斜边中线的性质得到AD＝CD，因此∠C＝∠DAC，由三角形的外角性质推出∠ADB＝2∠EBD； （2）由勾股定理求出EC＝5，判定△CDE∽△CAB，推出CD：AC＝CE：BC，即可求出AC的长． 【解析】（1）证明：∵DE垂直平分BC， ∴BE＝CE，D是BC的中点， ∴∠EBD＝∠C， ∵∠BAC＝90°， ∴AD＝BC， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C， ∴∠ADB＝2∠EBD； （2）解：∵D是BC的中点， ∴CD＝BC＝×8＝4， ∵DE＝3， ∴EC＝＝5， ∵∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠BAC＝90° ∴△CDE∽△CAB， ∴CD：AC＝CE：BC， ∴4：AC＝5：8， ∴AC＝， ∴AE＝AC﹣CE＝． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边的中线，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BE＝CE，由直角三角形斜边中线的性质得到AD＝CD，判定△CDE∽△CAB． 11．（2025•西湖区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°． （1）判断△AEF的形状，并说明理由． （2）求证：△ABE∽△CAF． （3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长． 【思路点拨】（1）利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形． （2）先根据等边三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE＝60°，则根据等角的补角相等得到∠AEB＝∠AFC，再证明∠BAE＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （3）先根据等边三角形的性质得到AE＝AF＝EF＝3，由于△ABE∽△CAF，则根据相似三角形的性质得到AE：CF＝BE：AF，即3：CF＝2：3，从而可求出CF的长．解得CF＝． 【解析】（1）解：△AEF为等边三角形． 理由如下： 由作法得AE＝AF， ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF为等边三角形； （2）证明：∵△AEF为等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， ∴∠AEB＝∠AFC＝120°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∵∠AEF＝∠BAE+∠B＝60°， ∴∠BAE＝∠C， 而∠AEB＝∠AFC， ∴△ABE∽△CAF； （3）解：∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝EF＝3， ，∵△ABE∽△CAF， ∴AE：CF＝BE：AF， 即3：CF＝2：3， 解得CF＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 12．（2025•临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 【思路点拨】（1）利用菱形的性质得AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，证明△DCP≌△BCP，得∠CDP＝∠CBP，再证明∠CBP＝∠F，证明△BPE∽△FPB，即可证明； （2）由△BPE∽△FPB，结合PB＝2PE，得，得BF＝2BE，由AD∥BC，得△BEF∽△ADF，可得，得AF＝2AD，即可计算． 【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线， ∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CDP＝∠F， 在△DCP与△BCP中， ， ∴△DCP≌△BCP（SAS）， ∴∠CDP＝∠CBP， ∴∠CBP＝∠F， 又∵∠BPE＝∠FPB， ∴△BPE∽△FPB， ∴， ∴PB2＝PE•PF； （2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB， ∴， ∵AD＝6，PB＝2PE， ∴， ∴BF＝2BE， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△ADF， ∴， ∴， ∴AF＝2AD， ∵AB＝AD＝6， ∴AF＝2AD＝12， ∴BF＝AF﹣AB＝6． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． 13．（2025•台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG． （1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长； （2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系； （3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值． 【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质得到AB：CE＝BE：CF，求得DF＝3，根据勾股定理得到结论； （2）连接AF，根据勾股定理即可得到结论； （3）设AB＝1，BE＝EG＝x，则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x），求得FG＝2x，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】解：（1）∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AEB+∠BAE＝90°， ∵∠CEF＝∠BAE， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴AB：CE＝BE：CF， ∴4：2＝2：CF， ∴CF＝1， ∴DF＝3， ∵∠C＝90°， ∴EF＝＝， ∴＝3， ∴四边形GECF的周长＝2+2+1+3＝8； （2）连接AF，∵∠AEF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2， ∴AD2+DF2＝AB2+BE2+CE2+CF2， ∴DF2＝EG2+EF2＝FG2， ∴m＝GE+EC+CF+FG＝BE+EC+CF+DF＝2a； （3）设AB＝1，BE＝EG＝x， 则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x）， ∵∠EFG＝30°， ∴FG＝2x， 列方程得，2x+x（1﹣x）＝1， 解得x＝， ∵BE＜1， ∴tan∠BAE＝x＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【热点4相似三角形的应用】 1．（2025•金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 【思路点拨】根据题意可得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8字模型△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解析】解：由题意得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠OF1B， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴＝， ∴＝， 解得：BO＝， ∴CG＝BO＝cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 2．（2025•湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm 【思路点拨】证明两个三角形相似，即可求出AB的长度． 【解析】解：∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOB和△DOC都是等腰三角形， ∵∠DOC＝∠BOA， ∴△AOB∽△DOC， ∵OB＝3OD， ∴， ∴3＝， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解题的关键． 3．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时，＝ 　　 ． 【思路点拨】过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图，先利用三角形面积公式计算出AM＝8，再证明四边形DMNG为矩形得到DG＝MN，则AN＝8﹣DG，接着证明△AGF∽△ABC，所以＝，则DE＝（8﹣DG），根据矩形的面积公式得到矩形DEFG＝DG•DE＝（8﹣DG）DG，利用二次根式的性质，当DG＝4时，S矩形DEFG最大，然后求出对应的DE的长，从而得到的值． 【解析】解：过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图， ∵S△ABC＝40， ∴•BC•AM＝40， 即×10×AM＝40， 解得AM＝8， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥DE，DE＝GF，∠GDE＝∠DGF＝90°， ∴AM⊥GN， ∵∠GDE＝∠DGF＝∠DMN＝90°， ∴四边形DMNG为矩形， ∴DG＝MN， ∴AN＝AM﹣MN＝AM﹣DG＝8﹣DG， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴＝，即＝， ∴DE＝（8﹣DG）， ∴S矩形DEFG＝DG•DE＝（8﹣DG）DG＝﹣（DG﹣4）2+20， ∴当DG＝4时，S矩形DEFG最大， 当DG＝4时，DE＝×（8﹣4）＝5， 此时＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形对应边的高的比等于相似表示出GF和DE的关系是解决问题关键．也考查了二次函数的意义和三角形的面积． 4．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【思路点拨】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴＝， ∴OF＝OD＝（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2025•缙云县二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　9.88　 m． 【思路点拨】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB＝9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． 【热点5图形的位似】 1．（2025•庆元县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），若AA′为12，则A的坐标为（　　） A．（﹣6，0） B．（﹣9，0） C．（﹣8，0） D．（﹣7，0） 【思路点拨】根据点B的坐标，点B的对应点B′的坐标求出△ABO与△A′B′O′的相似比，再根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形，点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1）， ∴△ABO与△A′B′O′的相似比为3：1， ∴OA：OA′＝3：1， ∵AA′＝12， ∴OA＝9， ∴A的坐标为（﹣9，0）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 2．（2025•滨江区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点C（1，2）的对应点为点F（3，6），则AB：DE为（　　） A．1：3 B．1：2 C．1：4 D．2：3 【思路点拨】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据点C、点F的坐标求出相似比，得到答案． 【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点C（1，2）的对应点为点F（3，6）， ∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：3， ∴AB：DE＝1：3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2025•东阳市二模）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO∽△A′B′O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB中点与线段A′B′中点的连线不一定经过点O 【思路点拨】根据位似图形的概念、相似三角形的性质计算，判断即可． 【解析】解：A、蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，说法正确，不符合题意； B、∵AB∥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O，说法正确，不符合题意； C、∵△ABO∽△A′B′O， ∴＝，即＝， 解得：AB＝9， ∴蜡烛火焰AB长9cm，说法正确，不符合题意； D、线段AB中点与线段A′B′中点的连线一定经过点O，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 4．（2025•温州一模）如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【思路点拨】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【解析】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是P3． 故选：C． 【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 5．（2025•浙江模拟）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1） 【思路点拨】根据位似的两个图形对应点的连线都经过同一点解答． 【解析】解：延长A′A、B′B交于点P， 则点P（1，﹣1）为位似中心， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 6．（2025•钱塘区二模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是 　4：9　 ． 【思路点拨】直接利用位似图形的性质得出△ABC和△DEF的面积比即可． 【解析】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD＝2：3， ∴△ABC与△DEF的面积比为：4：9， 故答案为：4：9． 【点睛】此题主要考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【热点6相似形综合题】 1．（2025•富阳区一模）如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得到∠BCA＝∠BCD＝45°，根据三角函数的定义得到cos∠BCA＝； （2）根据正方形的性质得到AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°，求得∠DOG＝90°，得到∠DOG＝∠CFG，根据角平分线的定义得到∠OCE＝∠ACB＝22.5°，求得∠ODG＝∠CDH，根据相似三角形的判定定理得到结论； （3）根据正方形的性质得到AC⊥BD，OD＝OC，求得∠OEC+∠OCE＝90°，得到∠OEC+∠ODG＝90°，等量代换得到∠ODG＝∠OCE，根据全等三角形的性质得到OE＝OG；过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M，根据全等三角形的性质得到∠CGF＝∠CHF，根据平行线的性质得到∠M＝∠CGF，根据正方形的性质得到OB＝OD，于是得到结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠BCD＝45°， ∴cos∠BCA＝； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°， ∴∠DOG＝90°， ∵DH⊥CE， ∴∠CFG＝90°， ∴∠DOG＝∠CFG， ∵∠DGO＝∠CGF， ∴∠ODG＝∠OCE， ∵CE平分∠BCA交BD于点E， ∴∠OCE＝∠ACB＝22.5°， ∴∠ODG＝∠OCE＝22.5°， ∴∠CDH＝∠CDO﹣∠ODG＝22.5°， ∴∠ODG＝∠CDH， ∵∠DOG＝∠DCH＝90°， ∴△DOG∽△DCH； （3）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠DOG＝∠COE＝90°， ∴∠OEC+∠OCE＝90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG＝90°， ∴∠ODG＝∠OCE， 在△DOG与△COE中， ， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE＝OG； 过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M， ∵CE平分∠BCO，DH⊥CE， ∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°， 在△CFG与△CFH中， ， ∴△CFG≌△CFH（ASA）， ∴∠CGF＝∠CHF， ∵BM∥AC， ∴∠M＝∠CGF， ∵∠CHF＝∠BHM， ∴∠BHM＝∠M， ∴BM＝BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD， ∵BM∥AC， ∴DG＝MG， ∴OG＝BM＝， ∴OE＝BH， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，角平分线的定义和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2025•衢江区一模）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点P． （1）如图（1），当点E，F分别是AB，BC的中点时，求证：BP＝PF． （2）若BP＝PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点H，点H是BG的中点， ①如图（2），若CF＝1，求DG的长； ②如图（3），连接GP，当GP＝PF，且GD＝CD时，求的值． 【思路点拨】（1）根据矩形的性质求得OB＝OC，利用三角形中位线的性质求得PF∥OC，推出△BPF∽△BOC，利用相似三角形的性质即可证明 BP＝PF； （2）①连接AC交BD于点O，连接OH，利用三角形中位线定理求得OH∥DG，，再证明四边形OHFC是平行四边形，据此求解即可； ②设CF＝a，则CD＝DG＝2CF＝2a，连接AC，GF，作FN⊥AD于点N，求得，证明EF是线段BG的垂直平分线，求得，得到，证明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）证明：连接AC交BD于点O， ∴矩形ABCD， ∴BD＝AC，，OC＝AC， ∴OB＝OC， ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC，则PF∥OC， ∴△BPF∽△BOC， ∴， ∴BP＝PF； （2）解：①连接AC交BD于点O，连接OH， 由（1）知OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵BP＝PF， ∴∠PBF＝∠PFB， ∴∠PFB＝∠OCB， ∴PF∥OC，即EF∥AC， ∵点H是BG的中点，点O是BD的中点， ∴OH∥DG，， ∵AD∥BC， ∴OH∥CF， ∴四边形OHFC是平行四边形， ∴OH＝CF， ∴， ∵CF＝1， ∴DG＝2，即DG的长为2； ②设CF＝a，则CD＝DG＝2CF＝2a，连接AC，GF，作FN⊥AD于点N， 则四边形CDNF是矩形， ∴FN＝CD＝2a＝AB，DN＝CF＝a， ∴GN＝DG﹣DN＝a， ∴， ∵GP＝PF，BP＝PF， ∴GP＝PB， ∵点H是BG的中点， ∴EF是线段BG的垂直平分线， ∴， ∴， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 3．（2025•鹿城区二模）如图，在矩形ABCD中，过点D作EF⊥BD，DE＝DF．连接BE交边AD于点G，连接BF交边CD于点H． [认识图形]求证：∠ABD＝∠EDA． [研究特例]若AB＝6，AD＝8，DE＝3，直接写出与的值． [探索关系]若tan∠ABD＝n（n是常数），设，求y关于x的函数表达式． [应用结论]若，求AB的长． 【思路点拨】[认识图形]利用矩形的性质与余角的性质可得出结论； [研究特例]过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD∽△DAB，得到，可求出，再证明△BAG∽△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD∽△DCB，得，求出，再证明△BCH∽△FQH，得，即可求解； [探索关系]证明△BAG∽△EPG，得，证明△BCH∽△FQH，得，再证明△EPD≌△DQF（AAS），得EP＝DQ，DP＝FQ，则，然后根据，而∠ABD＝∠EDP，得，代入即可得出结论； [应用结论]根据y＝n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2＝DE2，求得，根据，即，即可求解． 【解析】[认识图形]证明：矩形ABCD， ∴∠A＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵EF⊥BD， ∴∠EDA+∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴∠ABD＝∠EDA； [研究特例]解：∵矩形ABCD， ∴∠A＝90°， ∴， 过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q， 则∠EPD＝∠EPA＝90°＝∠A， 又∵∠ABD＝∠EDA， ∴△EPD∽△DAB， ∴， ∴， ∴， ∵∠AGB＝∠EGP，∠A＝∠EPG， ∴△BAG∽△EPG， ∴， 同理可证△FQD∽△DCB， ∴，即， ∴， ∵∠C＝∠FQH＝90°，∠BHC＝∠FHQ， ∴△BCH∽△FQH， ∴， [探索关系]解：∵∠AGB＝∠EGP，∠A＝∠EPG， ∴△BAG∽△EPG， ∴， ∵∠C＝∠FQH＝90°，∠BHC＝∠FHQ， ∴△BCH∽△FQH， ∴， ∵∠DFQ+∠QDF＝∠EDP+∠QDF＝90°， ∴∠DFQ＝∠EDP， ∵ED＝FD，∠EPD＝∠FQD＝90°， ∴△EPD≌△DQF（AAS）， ∴EP＝DQ，PD＝FQ， ∴， ∵，， 又∵∠ABD＝∠EDP，AD＝BC， ∴，， ∴， ∴y＝n2x； [应用结论]解：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得EP2+DP2＝DE2， ∵DE＝3， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2025•浙江二模）如图，AC是⊙O的直径，AC＝8，AC⊥BG，E为垂足，点D是上一点，∠CAD＝2∠CAB，AD，BG的延长线交于点F，连结BD交AC于点H． （1）求证：AH＝AD； （2）求证：△ABH∽△BFD； （3）若点D是AF的中点，求AB的长． 【思路点拨】（1）连结BC，设∠BAC＝α，由直径所对圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得∠ACB＝∠ADB＝90°﹣α，进而得∠AHD＝90°﹣α＝∠ADB，即可证明结论； （2）连接OB，OG，OD，AG，由垂径定理得＝，根据圆周角定理可得∠BOC＝∠COG＝2∠BAC，进而得∠CAD＝2∠OAG＝2∠GAF＝∠DOG＝∠BOC＝∠COG，推出＝＝，根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC＝∠DBF，由AH＝AD得∠AHD＝∠ADB，根据等角的补角相等得∠AHB＝∠BDF，即可证明相似； （3）连结OB，CD，设AD＝DF＝a，则AF＝2a，证明△BAF∽△DAB，得 ，进而可得 ，证明△BOE∽△CAD∽△FAE，由，得，由，即得方程求解即可得解． 【解析】（1）证明：AC是⊙O的直径，如图1，连结BC，设∠BAC＝α， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣α， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°﹣α， ∵∠CAD＝2∠BAC＝2α， ∴∠AHD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠AHD＝∠ADB， ∴AH＝AD； （2）证明：AC是⊙O的直径，AC⊥BG，如图2，连接OB，OG，OD，AG， ∴＝， ∴∠BOC＝∠COG＝2∠BAC， ∵∠CAD＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠COG＝∠CAD， ∴∠CAG＝∠2＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OAG+∠GAF， ∴∠GAF＝∠CAD＝∠CAG， ∵∠DOG＝2∠GAF， ∴∠CAD＝2∠OAG＝2∠GAF＝∠DOG＝∠BOC＝∠COG， ∴＝＝， ∴∠BAC＝∠DBF， 又∵AH＝AD． ∴∠AHD＝∠ADB， ∴∠AHB＝∠BDF， ∴△ABH∽△BFD； （3）解：如图3，连结OB，CD， ∵D为AF的中点， ∴设AD＝DF＝a，则AF＝2a， ∵AC为直径，AC⊥BG， ∴， ∴∠ABF+∠BAC＝90°， ∵∠AADB+∠BDC＝90°，∠BAC＝∠BDC， ∴∠ABF＝∠ADB， 又∵∠BAF＝∠DAB， ∴△BAF∽△DAB， ∴， ∴AB2＝AD•AF＝2a2， ∴， ∵∠BOC＝2∠BAC＝∠CAD，∠BEO＝∠AEF＝∠ADC＝90°， ∴△BOE∽△CAD∽△FAE， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴16+2a＝a2， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，圆周角定理及推论，垂径定理，相似三角形的判定与性质等，解答此题的关键在于熟练掌握其知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 相似三角形 【热点1比例的性质及比例线段】 1．（2025•浙江模拟）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 2．（2025•钱塘区校级模拟）已知＝，则的值是　 　 ． 3．（2025•宁波一模）若，则＝　 　 ． 4．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b＝，c＝2，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝3，c＝2，d＝ 5．（2025•钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6． （1）求线段a，b的长． （2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长． 6．（2025•柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　 ． 7．（2025•萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC． （1）求证：△BCP∽△BAC． （2）若PC＝2，求AC的长． 【热点2平行线分线段成比例】 1．（2025•上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025•龙港市二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若AB：BC＝1：2，DE＝2，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【热点3相似三角形的判定与性质】 1．（2025•余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　 　 cm． 2．（2025•浙江二模）如图，Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，点E是边AC上的动点，连结DE，作DF⊥DE交AB于点F，连结EF，当点E在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•衢江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，连结对角线AC，点O为AC中点，且AC＝AB＝2，点E是射线AB上一点，连结OE，作∠EOF＝135°，交BC延长线于点F．令BE＝x，CF＝y，则y关于x的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•杭州模拟）如图，在菱形ABCD中，点G是CD边上一点，连接AG并延长，交对角线于点F，交BC边的延长线于点E，若FG：GE＝2：3，则的值为 　 　 ． 5．（2025•钱塘区二模）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　 　 ． 6．（2025•绍兴一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　 　 ． 7．（2025•浙江二模）如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，△ADF与△AEF关于直线AF对称，点D的对称点E刚好落在BC上，连结BD分别与AE，AF交于M，N两点．若BD∥EF，AB＝2，则DM＝　 　 ，sin∠FEC＝　 　 ． 8．（2025•温州一模）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　 　 ，AE＝ 　 　 ． 9．（2025•定海区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC＝∠ABC．若，CD＝10，AD＝2AE，则AC的长为 　 　 ． 10．（2025•上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连结AD、BE． （1）求证：∠ADB＝2∠EBD； （2）若BC＝8，DE＝3，求AE的长度． 11．（2025•西湖区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°． （1）判断△AEF的形状，并说明理由． （2）求证：△ABE∽△CAF． （3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长． 12．（2025•临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 13．（2025•台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG． （1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长； （2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系； （3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值． 【热点4相似三角形的应用】 1．（2025•金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 2．（2025•湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm 3．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时，＝ 　 　 ． 4．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 5．（2025•缙云县二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　 　 m． 【热点5图形的位似】 1．（2025•庆元县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），若AA′为12，则A的坐标为（　　） A．（﹣6，0） B．（﹣9，0） C．（﹣8，0） D．（﹣7，0） 2．（2025•滨江区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点C（1，2）的对应点为点F（3，6），则AB：DE为（　　） A．1：3 B．1：2 C．1：4 D．2：3 3．（2025•东阳市二模）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO∽△A′B′O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB中点与线段A′B′中点的连线不一定经过点O 4．（2025•温州一模）如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 5．（2025•浙江模拟）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1） 6．（2025•钱塘区二模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是 　 　 ． 【热点6相似形综合题】 1．（2025•富阳区一模）如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 2．（2025•衢江区一模）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点P． （1）如图（1），当点E，F分别是AB，BC的中点时，求证：BP＝PF． （2）若BP＝PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点H，点H是BG的中点， ①如图（2），若CF＝1，求DG的长； ②如图（3），连接GP，当GP＝PF，且GD＝CD时，求的值． 3．（2025•鹿城区二模）如图，在矩形ABCD中，过点D作EF⊥BD，DE＝DF．连接BE交边AD于点G，连接BF交边CD于点H． [认识图形]求证：∠ABD＝∠EDA． [研究特例]若AB＝6，AD＝8，DE＝3，直接写出与的值． [探索关系]若tan∠ABD＝n（n是常数），设，求y关于x的函数表达式． [应用结论]若，求AB的长． 4．（2025•浙江二模）如图，AC是⊙O的直径，AC＝8，AC⊥BG，E为垂足，点D是上一点，∠CAD＝2∠CAB，AD，BG的延长线交于点F，连结BD交AC于点H． （1）求证：AH＝AD； （2）求证：△ABH∽△BFD； （3）若点D是AF的中点，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$