1.1 正数和负数（导学案）数学人教版2024七年级上册

学习笔记记录区 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.1 正数和负数 导学案 一、学习目标： 1. 了解负数的产生过程，体会引入正数和负数的必要性，感受数学与现实生活的联系. 2. 能够用正数、负数表示具有相反意义的量. 3. 理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义. 重点：会用正数、负数表示具有相反意义的量. 难点：理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义. 二、学习过程： （一）新知引入 数的产生和发展离不开生活和生产的需要.人们对于数的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展的. 在古埃及，由分物、测量， 产生分数，， … 在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数0 结绳计数 在我国古代，由记数、排序，产生数1，2，3，… 在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了整数、小数、分数及其运算. 在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题，例如： （1）北京冬季某一天的最高气温为零上 3 摄氏度，最低气温为零下 3 摄氏度. 如何用数区分“零上 3 摄氏度”和“零下 3 摄氏度”？ （2）某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元. 该公司在记账时如何用数分别表示“盈利 50 万元”和“亏损 10 万元”？ （3）某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7% . 统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长 7.8%”和“减少 0.7%”？ 思考：这些问题都涉及意义相反的两个量，以前我们学过的数还够用吗？ （二）新知讲解 从右图中的天气预报中可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度则用－3℃表示. 类似地，你能表示出其他的量吗？ 在数学中，像 3，50，7.8% 这样大于 0 的数叫作 ，像－3，－10，－0.7% 这样在正数前面加上符号“－”的数叫作 ．其中符号“－”是 ，读作“ ”. 思考：0 是正数吗？0是负数吗？ 0 既不是正数，也不是负数． 答： 把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量. 随着人们对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用. 例如，在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用 0 m 表示海平面的海拔，用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．我国水准零点位于山东省青岛市. “中华人民共和国水准零点”标志 世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为8848.86 m；我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔为－154.31 m. 0是正数与负数的分界. 0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度. 0已不只是表示“没有”. 思考：下图中的正数和负数的意义分别是什么？ 地理中的分层设色地形图 手机中的部分收支款账单 答： 思考：你能再举一些用正数、负数表示具有相反意义的量的例子吗？ 答： （三）知识溯源 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负. 魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负. 我国古代用算筹来记数和计算 汉 琉璃算筹 春秋 象牙算筹 刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产.刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观.他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人.刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下，但人格高尚.他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富. 《九章算术》是我国最古老的算经书之一. 此书的成书年代，各家的说法不一. 一般认为，此书成于秦、西汉时期. 现传本《九章算术》是经魏朝刘徽和唐朝李淳风注释过的注本. 此书比较系统地记载了我国古代数学各方面的研究成果. 关于负数的引用，书中以卖（收入钱）为正，买（付出钱）为负；余钱为正，不足钱（亏钱）为负. 在关于粮谷计算的问题中，则以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负. 在《九章算术》中还记载了正数、负数的运算法则，实际是加法、减法的运算法则，也就是书中在方程解法中用到的“正负术”. （四）典型例题 题型一、正数和负数： 例1 将下列各数填在相应的位置： 23，－，－7，0，－0.001，3.14159，＋15%，－2 025，＋4.28，－2 (1)正数：___________________________； (2)负数：___________________________； (3)既不是正数也不是负数：______. 【小结】判断正数与负数，只需要看数前面的符号即可，有“－”号的是负数，有“＋”号或省略“＋”号的是正数，0既不是正数也不是负数. 【针对练习】教材P3 练习： 1.指出下面各数中的正数、负数： ，−1，2.5，+，0，−3.14，120，− . 解：正数： ；负数： . 题型二、用正负数表示具有相反意义的量： 例2 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装. 一箱橘子的标准质量为 2.5 kg. 如果用正数表示超过标准质量的克数，那么 （1）比标准质量多 65 g 和比标准质量少 30 g 各怎么表示？ （2）50 g，－27 g 各表示什么意思？ 【小结】具有相反意义的量的特征：(1)必须成对出现；(2)必须是同类量，表示时要写明单位(百分比除外)；(3)既要意义相反，又要有数量，但数量可以不同． 【针对练习】教材P3 练习： 2. 如果 80 m 表示向右走 80 m，那么-60表示向左走 m. 3. 某天，月球表面白天的最高温度为零上 126 ℃，如果把它记作 126 ℃，那么夜间的最低温度零下 150 ℃ 记作 ℃. 4. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 个. 题型三、正数和负数的意义： 例3 （1）一个月内，李明体重增加 1.2 kg，张华体重减少 0.5 kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值. （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A 品牌减少 2%，B 品牌增长 4%，C 品牌增长 1%，D 品牌减少 3%，写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 思考：增长－2%，是什么意思? 什么情况下增长率是0? 答： 【针对练习】教材P5 练习： 1. 如果水库的水位升高 3 m 时，水位变化记作 +3，那么水位下降 3 m 时，水位变化记作 m，水位不升不降时，水位变化记 m. 2. 一袋面粉的标准质量是 10 kg，如果比标准质量多 0.1 kg 记作 +0.1 kg，那么 －0.1 kg，0 kg， +0.5 kg 分别表示什么？ 3. 若规定商品涨价为正，则甲商品涨价 10% 可以记作+10%， 乙商品降价 5% 可以记作 . 题型四、产品合格问题： 例4 某饮料公司生产的一种瓶装饮料的外包装上印有“（600±20）mL”字样．（1）请问“±20mL”是什么含义？ （2）质监局对该产品随机抽查了5瓶，容量分别是603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，则抽查产品的容量是否都合格？ （3）如果以标准容量为标准，超过标准容量记“+”，低于标准容量记“－”，那么该种瓶装饮料容量的浮动范围又可以怎样表示？ 【小结】在产品合格问题中，可用正数和负数表示每个产品在质量指标上与标准值的偏差程度. 【针对练习】某品牌酸奶外包装上标明“净含量：300±5mL”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是 口味的酸奶． （五）当堂巩固 1．下列各数中，是负数的为(　 　) A.－5 B．2 C．0 D．6 2．中国是最早用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若某次知识竞赛中，得20分记作＋20分，则－8分表示（　　） A．得8分 B．扣8分 C．得12分 D．扣12分 3．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．若盈利1000元记作+1000元，则－200元表示亏损200元 4．我国古代数学著作《九章算术》中首次正式引入负数，如果支出300元记作－300元，那么收入70元记作 元． 5．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小航把17次记为+2，则小千记为－3是____次． 6．下列有关“0”的说法：①比0大的数是正数；② 0是正数与负数的分界；③一个数不是正数就是负数；④ 0只表示什么都没有；⑤本月结余为0表示本月没有收入．其中正确的是________．(填序号) 7．一批零件，标准直径为300mm,随机抽取4个样品进行检测，把测量结果超过标准直径的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．结果如表，则最接近标准直径的是______ 零件编号 甲 乙 丙 丁 测量结果 +0.02 －0.05 －0.01 0.04 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$