12.3.1 二次根式的加减（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

12.3.1 二次根式的加减 ——同类二次根式、加减、混合运算 题型一 同类二次根式的概念辨析与求参 1．下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若与是同类二次根式，则a的值可以是（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 3．最简二次根式与可以合并，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　　． 5．已知是最简二次根式，且与可以合并． （1）求x的值； （2）求与的乘积． 题型二 二次根式的加减 1．下列运算正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4 B． C． D． 2．读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　　． 3．计算：　　． 故本题答案为：2． 4．计算：2（）． 5．计算：（2）． 题型三 二次根式的混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 3．计算的结果是　　． 4．计算： （1）． （2）． 5．计算： （1）（23）||； （2）． 6．计算： （1）； （2）； （3）4； （4）． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 8．计算： （1）（3）×（32）； （2）（1）×（1）； （3）62x（x＞0）； （4）•（）÷3（x＞0，y＞0）． 1．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝　　，b＝　　； （2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根； （3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根． 2．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“两倍数”． （1）﹣2与　　是关于1的一组“两倍数”； （2）与　　是关于3的一组“两倍数”； （3）若，，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 3．像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：　　； （2）计算：　　； （3）已知有理数a、b满足，则a＝　　，b＝　　． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3.1 二次根式的加减 ——同类二次根式、加减、混合运算 题型一 同类二次根式的概念辨析与求参 1．下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】解：A、，，∴与是同类二次根式，故符合题意； B、ab，∴与不是同类二次根式，故不合题意； C、2a，∴与不是同类二次根式，故不合题意； D、，ab，∴与不是同类二次根式，故不合题意． 故本题选：A． 2．若与是同类二次根式，则a的值可以是（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【详解】解：A、当a＝9时，，与不是同类二次根式，故不合题意； B、当a＝12时，，与是同类二次根式，故符合题意； C、当a＝18时，，与不是同类二次根式，故不合题意； D、当a＝24时，，与不是同类二次根式，故不合题意． 故本题选：B． 3．最简二次根式与可以合并，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∴a+b＝4． 故本题选：C． 4．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　　． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴12﹣5m＝7，解得：m＝1． 故本题答案为：1． 5．已知是最简二次根式，且与可以合并． （1）求x的值； （2）求与的乘积． 【详解】解：（1）由题意可知两个根式是同类二次根式， ∵， ∴x+1＝10， ∴x＝9； （2）当x＝9时，， ∴与的乘积为：5． 题型二 二次根式的加减 1．下列运算正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4 B． C． D． 【详解】解：A、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，正确． 故本题选：D． 2．读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　　． 【详解】解：由题意可得：． 故本题答案为：． 3．计算：　　． 【详解】解：原式＝32 2． 故本题答案为：2． 4．计算：2（）． 【详解】解： ． 5．计算：（2）． 【详解】解：（2）． （）+2 ＝3． 题型三 二次根式的混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、3与不能合并，故错误； B、，故错误； C、，正确； D、，故错误． 故本题选：C． 2．已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【详解】解：分母有理化得：a＝2，b＝2， ∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝2，故A错误； a+b＝（2）+（2）＝4，故B错误； ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，故C正确； ∵a2＝（2）2＝4+43＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D错误． 故本题选：C． 3．计算的结果是　　． 【详解】解： ． 故本题答案为：． 4．计算： （1）． （2）． 【详解】解：（1） 4 ＝23+4 ＝63； （2）（2） ＝2aaa ＝0． 5．计算： （1）（23）||； （2）． 【详解】解：（1）（23）|| ＝（4）（3﹣2） ＝33+2 ＝93+2 ＝113； （2） a ． 6．计算： （1）； （2）； （3）4； （4）． 【详解】解：（1）原式＝3+4﹣3 ＝4； （2）原式＝1 ＝1﹣6 ； （3）原式＝42 ＝3； （4）原式＝5﹣21 ＝5﹣21 ＝6． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1） ＝2 ； （2） 2+9﹣3 4； （3） ＝[（）][（）] ＝3﹣（）2 ＝3﹣（2+25） ＝﹣4﹣2； （4） ． 8．计算： （1）（3）×（32）； （2）（1）×（1）； （3）62x（x＞0）； （4）•（）÷3（x＞0，y＞0）． 【详解】解：（1）（3）×（32） ＝329+6 ＝612﹣9+3 ＝921； （2） ＝321 ＝6﹣222； （3）62x ＝232 ＝3； （4）•（）÷3 3 ＝﹣xy2． 1．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝　　，b＝　　； （2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根； （3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根． 【详解】解：（1）∵，其中a、b为有理数， ∴a＝﹣2，b＝3， 故本题答案为：﹣2，3； （2）由条件可知：a+b＝4，2b﹣a＝5，解得：a＝1，b＝3， ∴a+8b＝1+24＝25， ∴a+8b的算术平方根为5； （3）由条件可知：，解得：， ∴a+b＝1或﹣9， ∴a+b的立方根为1或． 2．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“两倍数”． （1）﹣2与　　是关于1的一组“两倍数”； （2）与　　是关于3的一组“两倍数”； （3）若，，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【详解】解：（1）由条件可知：b＝2k﹣a， ∴当a＝﹣2，k＝1时，b＝2×1﹣（﹣2）＝4， 故本题答案为：4； （2）由条件可知：b＝2k﹣a， ∴当，k＝3时，， 故本题答案为：； （3）a2与b2是关于整数3的一组“两倍数”，理由如下： ∵a1，b1， ∴ ＝3， ∴a2与b2是关于整数3的一组“两倍数”． 3．像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：　　； （2）计算：　　； （3）已知有理数a、b满足，则a＝　　，b＝　　． 【详解】解：（1）， 故本题答案为：； （2） ＝21 ＝1， 故本题答案为：1； （3）∵ ＝﹣a（）+b（） ＝（b﹣a）（2a+b）， ∴，解得：a＝﹣1，b＝1， 故本题答案为：﹣1，1． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$