12.3.2 二次根式的加减（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

12.3.2 二次根式的加减 ——二次根式的化简求值、应用 题型一 二次根式的化简求值——直接化简求值 1．已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知a1，b1，则　　． 3．如果，那么　　． 4．已知a为有理数，求的值为　　． 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a1，b1时，求M的值． 题型二 二次根式的化简求值——利用公式法化简求值 1．已知x1，y1，则x2﹣y2＝　　． 2．已知：，，则x2﹣2xy+y2＝　　． 3．已知，那么的值为　　． 4．已知，则代数式a2+2a+6的值为　　． 5．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为　　． 6．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是　　． 7．已知，则a﹣b＝　　． 8．已知x+y＝﹣6，xy＝6．求的值． 9．已知：x，y，求的值． 题型三 二次根式的化简求值——整数与小数问题 1．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 2．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是　　． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值． 3．已知：，． （1）求a2+b2﹣ab的值； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 4．已知． （1）求x+y和xy的值； （2）求x2+y2﹣3xy的值； （3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值． 题型四 二次根式的实际应用 1．南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》一书中，给出了“秦九韶公式”，也叫“三斜求积术”，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．设△ABC的三边长分别为1，2，，该△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，一根细线上端固定，下端系一小球，让小球来回自由摆动，来回摆动一次所用时间t（单位：s）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，当细线长度为0.1m时，小球来回摆动一次所用的时间是　　.（结果保留π） 3．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是　　． 4．如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为　　． 5．某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地ABCD的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 6．如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是　　； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为4：3且面积为360cm2？ 7．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：m/s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2），已知小亮家所住楼层的高度是15m． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 8．数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平分后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： （1）填空：　　，（）2＝　　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 1．已知m、n是两个连续的偶数（0＜m＜n），且a＝m﹣2，b＝n+2，，则下列对c的表述中正确的是（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 2．像•2：（1）（1）＝2：（）（）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝3326﹣22．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）23的有理化因式是　　； （2）化简：； （3）化简：． 3．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：　　； （2）比较大小：　　；（用“＞”、“＝”或“＜”填空） （3）设有理数a、b满足：，则a+b＝　　； （4）已知，求的值． 4．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a2，a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　　； （2）计算：⋯　　； （3）若a，求3a2﹣12a﹣1的值． 5．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式 ∴ ∴分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵（）2+（）2＝（）2+2 ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最小值　　． 6．已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）． （1）若． ①直接写出n的值为　　； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 7．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中.请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，那么它的面积为　　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，AC＝7． ①△ABC的面积为　　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 8．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4，则． 例如：当a＝1，b＝3时，． 根据以上材料解答下列问题： （1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　　，S4﹣S3＝　　． （2）把边长为的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，请你从（1）中的计算结果，猜想Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3.2 二次根式的加减 ——二次根式的化简求值、应用 题型一 二次根式的化简求值——直接化简求值 1．已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵a+b＝﹣5，ab＝2， ∴a＜0，b＜0， ∴． 故本题选：B． 2．已知a1，b1，则　　． 【详解】解：， ∵a1，b1， ∴原式． 故本题答案为：2． 3．如果，那么　　． 【详解】解：∵， ∴a﹣3＝0，2﹣b＝0 ∴a＝3，b＝2 ∴． 故本题答案为：． 4．已知a为有理数，求的值为　　． 【详解】解：由题意可知：， ∴a＝0， ∴原式＝2+3＝5． 故本题答案为：5． 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a1，b1时，求M的值． 【详解】解：（1）由题意可知：b＜﹣2，0＜a＜2， ∴a﹣2＜0，b+2＜0， ∴ ＝﹣（a﹣2）+（b+2）﹣a ＝﹣2a+b+4； （2）由（1）可知：M＝﹣2a+b+4， ∵，， ∴ ． 题型二 二次根式的化简求值——利用公式法化简求值 1．已知x1，y1，则x2﹣y2＝　　． 【详解】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝22＝4． 2．已知：，，则x2﹣2xy+y2＝　　． 【详解】解：∵，， ∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（11）2＝22＝4． 故本题答案为：4． 3．已知，那么的值为　　． 【详解】解：（）（） ＝25﹣m2﹣（15﹣m2） ＝25﹣m2﹣15+m2 ＝10， ∵， ∴5． 故本题答案为：5． 4．已知，则代数式a2+2a+6的值为　　． 【详解】解：∵， ∴a2+2a+6 ＝a2+2a+1+5 ＝（a+1）2+5 ＝2+5 ＝7． 故本题答案为：7． 5．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为　　． 【详解】解：由条件可得：， ∴， ∴， ∴a+1＝0，n﹣2＝0， ∴a＝﹣1，n＝2， ∴当x＝﹣a时，． 故本题答案为：3． 6．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是　　． 【详解】解：当x＝0时，0﹣3×0﹣1＝﹣1≠0， ∴x≠0， ∴x2﹣3x﹣1＝0两边同时除以x得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故本题答案为：2． 7．已知，则a﹣b＝　　． 【详解】解：已知a+b＝3， 两边同时平方并整理得：（a+b）2＝14+6， ∵ab＝3， ∴（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝14+612 ＝14﹣6 ＝（3）2， ∴a+b＝3或3， 故本题答案为：3或3． 8．已知x+y＝﹣6，xy＝6．求的值． 【详解】解：∵x+y＝﹣6，xy＝6， ∴x＜0，y＜0， ∴ ＝x•y （） ， 当x+y＝﹣6，xy＝6时， 原式4． 9．已知：x，y，求的值． 【详解】解：原式， ∵x，y， ∴原式． 题型三 二次根式的化简求值——整数与小数问题 1．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 【详解】解：（1）∵42＜17＜52， ∴45， ∴a4； ∵62＜39＜72， ∴67， ∴b＝6； ∴a+b4+62； ∴的值为2； （2）∵22＜5＜32， ∴23， ∴14＜1215， ∴x＝14，y2， ∴x﹣y＝14﹣（2）＝16， ∴x﹣y的值为16． 2．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是　　． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值． 【详解】解：（1）∵3， ∴的整数部分为3，小数部分为：3； 故本题答案为：3； （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ∴a，b＝2， ∴ ＝1； （3）∵，其中x是一个正整数，0＜y＜1， ∴x＝8+1＝9，y1， ∴ ＝2×9+（ ＝18+（﹣1）2025 ＝18﹣1 ＝17． 3．已知：，． （1）求a2+b2﹣ab的值； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴原式＝（a2+b2+2ab）﹣3ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝20﹣3 ＝17； （2）∵， ∴， ∴，， ∵m为a的整数部分，n为b的小数部分， ∴， ∴48． 4．已知． （1）求x+y和xy的值； （2）求x2+y2﹣3xy的值； （3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值． 【详解】解：（1）∵， ∴，； （2）由（1）得：x+y＝4，xy＝1， ∴x2+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣5xy＝42﹣5×1＝11； （3）∵1＜3＜4， ∴，即， ∴， ∴， ∵x的小数部分是a， ∴， ∵，y的整数部分是b， ∴b＝3， ∴． 题型四 二次根式的实际应用 1．南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》一书中，给出了“秦九韶公式”，也叫“三斜求积术”，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．设△ABC的三边长分别为1，2，，该△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，， 将a＝1，b＝2，c代入S中得， S1． 故本题选：A． 2．如图，一根细线上端固定，下端系一小球，让小球来回自由摆动，来回摆动一次所用时间t（单位：s）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，当细线长度为0.1m时，小球来回摆动一次所用的时间是　　.（结果保留π） 【详解】解：将l＝0.1m代入t＝2π得：t＝2π2π（s）． 故本题答案为：s． 3．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是　　． 【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为：147﹣27﹣48＝72． 故本题答案为：72． 4．如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为　　． 【详解】解：在△ABC中，设AB，BC，CA， 如图，过A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，AD＝h， 则AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴13﹣x2＝10﹣（x）2，解得：x， ∴h， ∴S△ABC5.5． 故本题答案为：5.5． 5．某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地ABCD的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【详解】解：（1）（米）， ∴长方形ABCD的周长为米． （2）（平方米）， 则56×55＝3080（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 6．如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是　　； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为4：3且面积为360cm2？ 【详解】解：（1）设大正方形的边长为a cm， 则， ∵a＞0， ∴a＝20， 答：大正方形的边长为20cm； （2）∵长方形纸片的长宽之比为4：3， ∴设长方形纸片的长为4x cm，宽为3x cm， 则4x•3x＝360，解得：x2＝30， ∵x＞0， ∴， ，， ∵大正方形的边长为20cm，202＝400，，400＜480， ∴， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2． 7．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：m/s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2），已知小亮家所住楼层的高度是15m． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【详解】解：（1）把g＝10m/s2，h＝15m，代入得： v10（m/s）， ∴该楼层落地时的速度为10m/s； （2）不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴h小明＝2×15＝30m， 将h小明＝30m代入公式得：v小明10（m/s）， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， ∴小明的说法不正确． 8．数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平分后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： （1）填空：　　，（）2＝　　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 【详解】解：（1）2+23＝5+2，（）2＝5； 故本题答案为：5+2，5； （2）①△ABC是直角三角形，理由如下： ∵（）2+（）2＝（）2， ∴△ABC是直角三角形； ②根据三角形的三边关系可得：． 1．已知m、n是两个连续的偶数（0＜m＜n），且a＝m﹣2，b＝n+2，，则下列对c的表述中正确的是（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【详解】解：∵a＝m﹣2，b＝n+2， ∴ ， ∵m、n是两个连续的偶数（0＜m＜n）， ∴n＝m+2， ∴c ＝m+2+m ＝2m+2 ＝2（m+1）， ∴c总是偶数． 故本题选：B． 2．像•2：（1）（1）＝2：（）（）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝3326﹣22．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）23的有理化因式是　　； （2）化简：； （3）化简：． 【详解】解：（1）23的有理化因式是23， 故本题答案为：23； （2）原式 2 ； （3）原式 11 ＝2． 3．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：　　； （2）比较大小：　　；（用“＞”、“＝”或“＜”填空） （3）设有理数a、b满足：，则a+b＝　　； （4）已知，求的值． 【详解】解：（1）原式， 故本题答案为：； （2）∵，， ∵， ∴； 故本题答案为：＜； （3）∵， ∴（1）a+（1）b＝﹣64， ∴（a+b）a+b＝﹣64， ∵a，b是有理数， ∴a+b＝﹣6，﹣a+b＝4． 故本题答案为：﹣6； （4）∵， ∴， ∴， ∴3． 4．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a2，a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　　； （2）计算：⋯　　； （3）若a，求3a2﹣12a﹣1的值． 【详解】解：（1）1， 故本题答案为：； （2）原式...... 1...... 1 ＝10﹣1 ＝9， 故本题答案为：9； （3）∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2． 5．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式 ∴ ∴分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵（）2+（）2＝（）2+2 ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最小值　　． 【详解】解：（1）设x+1＝t， ∴x＝t﹣1， ∴原式 ＝t1 ＝x+11 ＝x； （2）设2x+1＝t， ∴x（t﹣1）， ∴原式t3 ＝2x+13 ＝2x4， 当2x+1＝±1时，该分式的值为整数， ∵x是整数， ∴x＝0或﹣1； （3）由题意可得：x2+11． ∵x2+1（）2+2， ∴x2+11＝（）2+3． ∴当且仅当时，即x＝0，代数式的最小值为3， 故本题答案为：3． 6．已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）． （1）若． ①直接写出n的值为　　； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 【详解】解：∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）， ∴m＝a+b，n＝ab， （1）∵， ∴，， ①n＝ab＝1； ② ＝1； ③ ＝2025． （2）∵m＝a+b，n＝ab， ，n＝|m|，即ab＝|m|， ∴ ， 当m＞0时， ＝m2﹣2m﹣1 ＝（m﹣1）2﹣2， 此时式子的最小值是﹣2； 当m＜0时， ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2 此时最小值是0， ∵ab≠0， ∴最小值不为0； 综上，式子的最小值是﹣2． 7．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中.请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，那么它的面积为　　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，AC＝7． ①△ABC的面积为　　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 【详解】解：（1）S2， ∴S， 故本题答案为：； （2）①∵AB＝5，BC＝6，AC＝7， ∴p＝9， ∴S△ABC6， 故本题答案为：6； ②∵S△ABC＝66AD， ∴AD＝2； （3）∵， ∴S2 [（b+a）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2] （b2+a2+2ab﹣c2）（﹣a2﹣b2+c2+2ab） [（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2] [a2b2﹣（）2]， ∴这两个公式本质上是一样的． 8．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4，则． 例如：当a＝1，b＝3时，． 根据以上材料解答下列问题： （1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　　，S4﹣S3＝　　． （2）把边长为的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，请你从（1）中的计算结果，猜想Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值． 【详解】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a）2 ＝a2+4a4b﹣a2﹣2ab ＝2a3b， 当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2； S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2 ＝a2+6a9b﹣a2﹣4a4b ＝2a5b， 当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2； 故本题答案为：9+2；15+2． （2）Sn+1﹣Sn＝2a（n+2）b，证明如下： Sn+1﹣Sn＝[a+（n+1）]2﹣（a+n）2 ＝[a+（n+1）a﹣n][a+（n+1）an] [2a+（n+2）] ＝2a+（n+2）b； （3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50 ＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50 ＝S51﹣S1 ＝（1+50）2﹣1 ＝7500+100． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$