串讲 定义、命题、证明（考点串讲，5大考点+6大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 定义 命题 证明 （6考点&9题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：定义的概念 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义(definition)． 有时也说"给概念下定义".根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念. 注意：语言要简单明了、标准清晰，要避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”. 考点透视 考点二：命题的相关概念 可以判断真假的陈述句叫作命题(propo-sition). 注意：陈述句有真有假，其真假性和其本身是否为命题无关. 命题的定义包含两层含义： (1)命题必须是一个完整的陈述句； (2)这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断. 二者缺一不可. 考点透视 数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项． 一般情况下，命题的条件用“如果”“若”等字样引出，命题的结论用“那么”“则”等字样引出. 若命题不具有“如果<m>⋯⋯</m>……，那么……”的形式，则一般先将命题改写成“如果……，那么……”的形式，再来确定命题的条件和结论． 对于条件和结论不明显的命题，在改写时，要适当地补充关联词或其他内容，使改写后的语句通顺、严谨，且意思与原来的语句相同. 考点透视 有些命题，所作的判断是正确的，像这样的命题叫作真命题. （如果条件成立,那么结论成立） 有些命题，所作的判断是错误的，像这样的命题叫作假命题. （条件成立时,不能保证结论总是正确的,也就是说结论不成立） 注意：一个命题要么为真，要么为假，二者必居其一. 考点透视 如果两个命题正好互换了条件与结论的位置，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题. 考点透视 考点三：证明 数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题. 从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等),用“因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明． 考点透视 证明一个命题的一般步骤有哪些? 1. 在“已知”后面写出命题的条件； 2. 在“求证”后面写出命题的结论； 3. 从已知出发，由“因为……，所以……组成一步推理； 4. 从已知和上一步推理的结果出发，通过一系列推理，推出“结论”. “<m>∵”“<m></m>∴”的使用方法： （1）一组“<m>∵”“∴”称为一个推理，证明过程通常包含几个推理. （2）有时“<m>∴”后面会接着一个“<m>∴”，这时前面的“<m>∴”就是后面的条件，相当于“<m>∵”. 考点透视 考点四：定理 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． A B C 符号语言： 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem).定理可以作为证明后续命题的依据. 考点透视 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形内角和定理的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 符号语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠B. D A B C 考点透视 考点五： 多边形内角和、外角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180° ． 把多边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决. 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗？ 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360° ． 考点透视 考点六：反证法 我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法． 反证法是数学中一种基本的证明方法. 考点透视 用反证法证明的一般步骤： (1) 否定结论—先假设命题的结论不成立. (2) 发现矛盾—从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. (3) 肯定结论—由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 考点透视 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 题型剖析 题型一：定义的概念 【例1】说出下列名词的定义: 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. (1) 相反数： (2) 线段的中点： 【变式】自然数6的因数有1，2，3，6，这几个因数具有关系1＋2＋3＝6. 像6这样的数叫作完全数(也称完美数). 判断下列各数是否是“完全数”：(1)8；(2)28. 解：∵(1)自然数8的因数有1，2，4，8，1＋2＋4≠8. ∴8不是完全数. ∵自然数28的因数有1，2，4，7，14，28，1＋2＋4＋7＋14＝28. ∴28是完全数. 解：(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴.  (2)有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.  (3)等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的 方程叫作一元一次方程.  【变式】写出下列概念的定义：数轴；角；一元一次方程． 题型剖析 题型二：命题 (1) 锐角和钝角互补吗？ (2) 如果a＜b、c＞0，那么ac＜bc. (3) 同位角相等，两直线平行. (4) 如果|a|＝|b|，那么a＝b. 【例2】判断下列语句是不是命题，并说明理由. 不是命题，因为不是陈述句. 是命题，因为是可以判断真假的陈述句. 是命题，因为是可以判断真假的陈述句. 是命题，因为是可以判断真假的陈述句. 【变式】把下列命题写成“如果……，那么……”的形式. (1)三个内角都相等的三角形是等边三角形； (2)正方形是轴对称图形. 解：(1)如果三角形的三个内角相等，那么这个三角形是等边三角形. (2)如果一个图形是正方形，那么这个图形是轴对称图形. 题型剖析 题型三：命题的真假 【例3】判断下列命题是真命题还是假命题： (1) 平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2) 如果ab＞0，那么a＞0，b＞0. 解：(1)是真命题； (2)是假命题，例如，当a＝－5，b＝－5时，满足ab＞0， 但a＜0，b＜0. 【变式】根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题： (1) 如果2x＋1＝5，那么__________； (2) 如果a2＋b2＝0，那么______________； (3) 如果两条直线平行，那么______________； (4) 如果平移线段AB得到线段A'B'，那么_____________________. x＝2 a＝0且b＝0 同位角相等 AB＝A'B'且AB∥A'B' 题型剖析 题型四：逆命题 【例4】写出下列命题的逆命题，并判断真假： (1)如果a2＝b2，那么a＝b； (2)末位数字是5的数能被5整除. 解：(1) 逆命题：如果a＝b，那么a2＝b2. 真命题； (2)逆命题：能被5整除的数的末位数字是5. 假命题. ( ) ( ) ( ) ( ) 【变式】说出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假： (1)同旁内角互补，两直线平行； ( ) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真命题 真命题 (2)轴对称图形是等腰三角形； 逆命题：等腰三角形是轴对称图形. 假命题 真命题 (3)同角的补角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角. 真命题 假命题 ( ) 题型剖析 题型五：证明 【例5】证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图，直线a、b、c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b⊥c. 求证：a∥b. a b c 2 1 证明：设这三个自然数分别为k－1，k，k＋1，其中k≥1. 所设三个自然数的和为(k－1)＋k＋(k＋1)＝3k， ∵ 3k能被3整除， ∴ 这三个自然数的和能被3整除. 【变式】证明：三个连续自然数之和能被3整除. 题型剖析 题型六：几何题的证明过程 (1)∵∠1＝∠3(已知)， ∴AB∥DC ( ). (2)∵∠DAE＝∠CBE(已知)， ∴AD∥BC ( ). (3)∵∠CDA＋∠DAB＝180°(已知)， ∴AB∥DC ( ). A B C D E 1 2 4 3 【例6】如图，点A、B、E在一条直线上. 在空格上填写推理的依据. 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【变式】填空，完成下面的证明过程. 已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3 ( )， ∴∠BAD－∠____＝∠DCB－∠____(等式性质)， 即 ∠___＝∠___. ∴AD∥BC ( ). B C D A 1 2 4 3 已知 1 3 2 4 内错角相等，两直线平行 【变式】证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” 已知：如图，已知AB∥CD ，直线AB，CD被直线 EF所截，EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD. 求证：EG∥FH ． A B C D E F G H 题型剖析 题型七：三角形的内角和 【例7】证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. ∴∠ACD＝180°－∠ACB， ∠A＋∠B＝180°－∠ACB (等式性质). ∴∠ACD＝∠A＋∠B (等量代换). 证明：∵∠ACD ＋∠ACB＝180° (平角的定义)， ∠A＋∠B ＋∠ACB ＝180° (三角形内角和定理)， 【变式】已知：如图，D是△ABC内的任意一点. 求证：∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2. A B D C 1 2 P 证明：∵ ∠BDC是△DPC的一个外角(已知) ∴ ∠BDC＝∠DPC＋∠2 (三角形内角和定理的推论 ). 同理可得 ∠DPC＝∠A＋∠1. ∴ ∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2. (等量代换). 【变式】已知：如图，在直角三角形ABC 中∠ACB＝90°，D 是AB 上一点， 且∠ACD ＝∠B ． 求证：CD⊥AB． A B C D 证明： ∵∠ACB＝90° (已知)， ∴ ∠A＋∠B ＝90° (直角三角形的两个锐角互余). ∵ ∠ACD ＝∠B (已知)， ∴∠A＋∠ACD ＝90° (等量代换). ∴ ∠ADC＝90°(有两个角互余的三角形是直角三角形), 即CD⊥AB (垂直定义). 题型剖析 题型八：多边形内角和、外角和定理 【例8】求证：如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为． 证明：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，且这个内角都相等， ∴每个内角的度数是．  【变式】多边形中小于120°的内角最多有几个？ 解：∵多边形的内角小于120°， ∴外角大于60°， ∵多边形的外角和为360°，且＝6， ∴所以多边形的外角大于60°的个数最多有5个， 即小于120°的内角最多有5个. 解：设这个多边形的边数是n， 由题意得(n－2)×180°＝3×360°－180°， 解得n＝7， ∴这个多边形的边数是7. 【变式】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 【变式】如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数是_____⁠.  540°　 E C A G F B D 【变式】如图：△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部. (1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠A的度数； 2 1 B C A′ E D A 解：(1)∵∠1＝40°， ∴∠A′EA＝180°－40°＝140° ∴∠AED＝∠A′EA＝70° ∵∠2＝30° 同理可得∠ADE＝∠A′EA＝75° ∴∠A＝180°－70°－75°＝35° 如图：△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部. (2)探索∠A与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由. (2)2∠A＝ ∠1＋∠2 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°① 在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180 °② 由①、②，得∠B＋∠C＝∠ADE＋∠AED 又在四边形BCDE中 ∠B＋∠C＋∠1＋∠2 ＋∠ADE＋∠AED＝360 °， 所以 ∠1＋∠2 ＋2(180°－∠A)＝360 °， 即 2∠A＝ ∠1＋∠2. 2 1 B C A′ E D A 题型剖析 题型九：反证法 【例9】用反证法证明：△ABC中至少有两个内角是锐角. 证明：假设同一三角形中最多有一个锐角， 那么另外两个内角为直角或钝角， 此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立，即△ABC中至少有两个内角是锐角. 【变式】判断命题“对于任意的有理数a、b，如果a＞b，那么|a|＞|b|”的真假，并说明理由. 解：这是一个假命题. 理由如下： 取a＝1，b＝－2，此时a＞b，但是|a|＜|b|， 所以命题的结论|a|＞|b|不成立. (1) 如果|a|＝|b|，那么a＝b； 【变式】举反例说明下列命题是假命题： 解：(1) 当a＝－3，b＝3时，|a|＝|b|，但a≠b，这个命题是假命题. (2) 任何数的平方都大于0； 解：(2) 0的平方等于0，0不大于0，这个命题是假命题. (3) 两个锐角的和是钝角； 解：(3) 如两个锐角的度数分别为30°、50°，它们的和是80°，但80°的角不是钝角，所以这个命题是假命题. (4) 如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点. 解：(4) 如图，等腰三角形ABC，AB＝AC，但点A不是线段BC的中点，这个命题是假命题. B A C 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25七年级下·江苏是·期中）下列命题中的真命题是（   ） A．两点之间直线最短 B．不相交的两条直线，叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线平行于已知直线 D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 【详解】A．两点之间线段最短，故A不正确； B．在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线，故B不正确； C．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故C不正确； D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则可知这两条直线平行，则同位角也相等，故D正确， 故选D． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若用反证法证明命题“在 中，若 ，则 ”，则应假设（   ） A． B． C． D． 【详解】解：用反证法证明命题“在 中，若 ，则 ”， 第一步应是假设 ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么 ．它们的逆命题是真命题的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 【详解】解：①逆命题为相等的角为对顶角，是假命题； ②逆命题为两直线平行，内错角相等，是真命题； ③逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题； ④逆命题为如果 ，那么a，b都是正数，是假命题． 故它们的逆命题是真命题的是②③． 故选：C 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只举出一个反例，反例中 ． 【详解】解：当 时，符合条件 ， 但 ，与 矛盾， ∴命题“如果 ，那么 ”是假命题． 故答案为： （答案不唯一）． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为 ． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果 那么 ”句式为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知 ， 与 交于点G． (1)根据甲同学的作图及题设，求证： ； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到 ，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题， 如图②， ， ， ． ， ． 即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线不止一条 【详解】解：A、应该是两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、垂线段最短是真命题，故本选项符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、应该是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的有： ．（填序号） 【详解】解：依题意，对顶角相等，故①是真命题； 两直线平行，同旁内角互补，故②不是真命题； 平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③是真命题； 在同一个平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④不是真命题； 故答案为：①③． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，这两条直线相互平行． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知点 、 分别在 、 上，连接 、 交 于点 、 ．有以下三个论断：① ；② ，③ ． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若 ， ，则 ，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若 ， ，则 ，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若 ， ，则 ，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ， ， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ， ， ， ， ，∴ ， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又 ， ． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知 ， ，现有3个条件：① ；② ；③ ． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①； （2）解：选择的条件是①，结论是③，证明如下： ∵ （已知）， ∴ （垂线的定义）， ∴ （余角的定义）， ∵ ， （已知）， ∴ （等量代换）， ∴ （等角的余角相等）， ∴ （同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①，证明如下： ∵ （已知）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ （已知）， ∴ （垂线的定义）， ∴ （余角的定义）， ∴ （等量代换） ∵ （已知）， ∴ （等角的余角相等）． $$