1.1多项式的因式分解（教学课件）数学湘教版2024八年级上册

湘教版2024·八年级上册 1.1 多项式的因式分解 第1章 因式分解 学 习 目 标 1 2 3 了解因式分解的意义，理解因式分解的概念 能够根据因式分解的概念找出多项式的因式 掌握因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(相反变形)，并能运用这种关系解决因式分解的相关问题 知识回顾 1.多项式的乘法有几种形式？ 单项式乘以多项式： 多项式乘以多项式： 2.乘法公式有哪些？ 平方差公式： 完全平方公式： （x+y）(x-y)=x2-y2 (x+y)2=x2+2xy+y2 (x-y)2=x2-2xy+y2 a(m+n)=am+an (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 做一做 新知探究 （1）因为（x+1）2＝_______,所以x2+2x+1= （x+1）( ) (2) 因为 x(x－) ＝_________,所以 x²－x = x( ). (1)（x+1）2＝ x2+2x+1 x2+2x+1= （x+1）2 = （x+1)( x+1) (2)x（x-）＝ x2- x2- x（x-） 等式的左边到右边的变形属于什么运算？变形的结果是和的形式还是积的形式？ 整式乘法 和 整式乘法 和 等式的左边到右边的变形的结果是和的形式还是积的形式？ 积 积 那它属于什么变形呢？ 新知探究 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 抽 象 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ x2+2x+1= （x+1）2 x2- x（x-） x+1是多项式x2+2x+1的因式 乘积的形式 x和x－都是多项式x2-的因式 乘积的形式 新知探究 总结归纳 多项式的因式分解： 一般地，把一个多项式表示成________整式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。 若干个 多项式= 因式分解 1、因式分解的对象是一个多项式，而不是一个单项式。 2、因式分解的结果是几个整式的乘积形式。 3、每个因式必须是整式. 4、因式分解是恒等变形。 提分笔记 典例分析 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3) = x²－5x＋6， 因此三个空格都填写 x²－5x＋6. 方法技巧 解题的关键： 理解多项式的因式分解的概念：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式。 新知探究 议一议 多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法。 x2 － y2 = ( x + y )( x － y ) ( x + y )( x － y )= x2 － y2 整式的积 多项式 整式乘法 多项式 整式的积 因式分解 互逆关系 典例分析 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x(x－2y) = x2－2xy； (2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1； (3) 3x2－x = x(3x－)； (4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1). 方法技巧 解题的关键： 理解因式分解的概念：1、因式分解的对象是一个多项式，而不是一个单项式。 2、因式分解的结果是几个整式的乘积形式。 3、每个因式必须是整式. 4、因式分解是恒等变形 不是乘积的形式 是乘积的形式，也是恒等变形 典例分析 例2 解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法. (2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. (4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1. (3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－. 新知应用 基础巩固题 1、 填空： 因为(x－4)(x+5) = ， 所以 = (x－4)(x+5) 是多项式 的因式分解. x²+x-20 x²+x-20 x²+x-20 解：(x－4)(x+5) = x²－4x+5x＋(－4)×5 = x²+x-20， 因此三个空格都填写 x²+x-20. 新知应用 基础巩固题 2、判断哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1) a2+2ab+b2=(a+b)2 ( ) (2) m2+m-4=m(m+1)-4 ( ) (3) am+an+a=a(m+n) ( ) (4) 4a2-b2=(2a+b)(2a-b) ( ) (5) 24x2y=3x ·8xy ( ) (6) x2+x=x2(1+ ) ( ) 方法技巧 解题的关键： 理解因式分解的概念：1、因式分解的对象是一个多项式，而不是一个单项式。 2、因式分解的结果是几个整式的乘积形式。 3、每个因式必须是整式. 4、因式分解是恒等变形 × × × × 不是乘积的形式 不是恒等变形，左右两边不相等 因式分解的对象是多项式，不是单项式 每个因式必须是整式 新知应用 基础巩固题 3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 把积化为和 把和化为积 整式乘法 因式分解 基础巩固题 新知应用 4.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 整式乘法 因式分解 互逆关系 新知应用 基础巩固题 5、检验下列因式分解是否正确. （1）x2+xy=x( x+y )； （2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)； （3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ). 解：（1）因为x( x+y )=x2+xy。所以（1）正确； （2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确； （3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2， 所以（3）不正确. 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。我们利用整式的乘法可以验证因式分解是否正确. 新知应用 基础巩固题 6、 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)(x+1)(x+2)=x2+3x+2； (2)2x2y+4xy2 = 2xy(x+2y) (3) x2-2 = (x+1)(x-1)-1； (4) 4x2-4x+1= (2x－1)2. 不是乘积的形式 不是乘积的形式 新知应用 基础巩固题 6、解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法. (2) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 2xy(x+2y) =2x2y+4xy2 ，因而符合因式分解的定义. 2x2y+4xy2 的因式为 2xy 和 x+2y. (4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (2x－1)2=4x2-4x+1 ，因而符合因式分解的定义. 4x2-4x+1 的因式为2x-1. (3) 不是因式分解. 理由：等式右边不是两个多项式的乘积形式. 新知应用 能力提升题 1、已知多项式可分解为 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn 根据题意可得 n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6 所以m=-2,n=3 新知应用 能力提升题 2. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为 ( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15. 新知应用 能力提升题 3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$