模块01集合、常用逻辑用语、不等式（知识回顾+8重难点题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

模块01集合、常用逻辑用语、不等式 题型梳理 题型一 Venn图法解决集合运算问题 题型二 分类讨论法解决元素与集合关系问题 题型三 根据集合包含关系求参数值或范围 题型四 一元二次型不等式恒成立问题 题型五 一元二次不等式能成立问题 题型六 基本不等式中“1”的妙用 题型七 利用基本不等式求参数范围 题型八 作差法比较大小 知识回顾 知识点01．集合 (1)集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A. (2)子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. (3)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 知识点02．全称量词命题、存在量词命题及其否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． (3)命题与其否定真假相反． 知点识03．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 知识点04．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小． 知识点05．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是. 知识点06．分式不等式 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)⇔. 知识点07．基本不等式 (1)基本不等式：≥(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立； ②≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 易错提醒 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集． 2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏∅的情况． 4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论． 6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0. 7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解． 题型方法 【题型一】 Venn图法解决集合运算问题 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 【举一反三】 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】依题意画出Venn图表示出集合间的基本关系，即可判断出元素与集合间的关系. 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 2．（2025·福建厦门·三模）已知全集为，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、对数的运算 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】易知，又，所以， 故选：C. 3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 5．（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 【题型二】 分类讨论法解决元素与集合关系问题 【例2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 2．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、分式不等式 【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 【题型三】 根据集合包含关系求参数值或范围 【例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 【举一反三】 1．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 2．（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元一次不等式 【分析】求出集合，根据，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，因为，则. 故选：A. 3．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 【题型四】 一元二次型不等式恒成立问题 【例4】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 【举一反三】 1．（2025·浙江·三模）“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、根据对数函数的值域求参数值或范围、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、高次不等式 【分析】令，求出方程、的根，假设，结合穿根法可得出，进而得出，分析可知对任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为，则， 令，可得或或， 由于，则， ， 令， 令可得或或， 由于，则， 由可得， 若，取，，， 当时，，，此时，， 当时，由穿根法可知，，矛盾， 所以，，即，则， 所以， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立，则，解得， 因此，. 故答案为：. 3.已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． (1)求证：为奇函数，并求的值； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2)减函数，理由见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）令，可求出的值，再令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立，计算出的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）利用函数单调性的定义可得出结论； （3）将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出对任意的恒成立，利用二次不等式恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】（1）取，则，解得． 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数． 因为，所以． （2）是R上的减函数． 理由：任取，则，则， 所以，故是R上的减函数． （3）因为为奇函数，所以等价于， 即． 因为是R上的减函数，所以，即恒成立． ①时，则，解得，不符合题意； ②当时，则，解得． 综上，实数的取值范围为． 4.设函数 (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型五】 一元二次不等式能成立问题 【例5】（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由一元二次不等式的解确定参数、已知斜率求参数 【分析】分别求出成立时的取值范围，再判断充分必要性. 【详解】对于：关于的不等式无解， 则，即， 对于：直线的斜率非负， 即，得， 所以，但， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【举一反三】 1．已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性； （2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； （2）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 2．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 3．（1）设函数在范围内的最大值为，最小值为，且 ，求实数的取值范围； （2）已知关于的方程在范围内有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）讨论二次函数的对称轴和所给区间的位置关系，即可确定函数的最值，由此可解不等式，即可得答案； （2）讨论方程在范围内有一解还是两解，由此可列出不等式组，即可得求得答案. 【详解】（1）∵，∴函数的对称轴为， ①当时，即时，当时，随增大而增大， ∴，，∴，解得， ②当时，即时，当时，随增大而减小， ∴，，∴，解得， ③当时，即时， ∴，，， 解得，此时， ④当时，即时， ，，， 解得，此时， 综上，的取值范围为． （2）原方程即为，设， 当时，． ①若方程在上有一解，只需时，函数的取值为负即可． ∴．解得：． ②若方程在上有两解，则，即， ． 综上，的取值范围为． 【题型六】 基本不等式中“1”的妙用 【例6】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 【举一反三】 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 2．（多选）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（   ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由数量积的定义即可判断A，由三角形的面积公式即可判断B，由余弦定理以及基本不等式即可判断C，由基本不等式的常数代换，即可判断D. 【详解】对于A，由可得，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据奇函数的性质得到与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小值. 【详解】已知是奇函数，则. 因为，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 由可得. 则. 将展开可得： . 因为，所以，. 根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立. 所以. 故答案为： . 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 而，所以. （2）如图： 由，得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【题型七】 利用基本不等式求参数范围 【例7】（2025·四川·三模）若，，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，转化为，令，结合基本不等式，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，故只需， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以，所以实数的取值范围为． 故答案为：. 【举一反三】 1．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 2．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】将题干中的不等式变形为，令，令导数分析函数在上的单调性，由可得出，即，结合基本不等式可求出实数的取值范围. 【详解】由，得， 即. 令，则，令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以在R上单调递增， 所以，即， 又，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．若，，且，求的取值范围． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】∵，∴， 令，则上式化为解得或（舍）， ∴，即，当且仅当时，等号成立， ∴的取值范围为． 【题型八】 作差法比较大小 【例8】（多选）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 【举一反三】 1．（多选）（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由已知条件判断所给不等式是否正确、构造函数法证明不等式 【分析】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性. 【详解】对不等式进行变形化简得：， 设. 求导得：. 所以函数在上单调递增. 由，且函数单调递增，可得，即. 对于选项A： 因为，所以平方可得即.A正确. 对于选项B： 取反例，当时，，满足题意. 而，所以B错误. 对于选项C： 取反例，当时， 计算选项C的左边为，右边， 此时，C错误. 对于选项D： 令，求导得，可以看出该导数在上小于0. 所以在上单调递减，所以. 因为，所以，所以. 由前面可知，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 2．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用作差法可判断AB，利用不等式的性质判断C，根据作差法及基本不等式判断D. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确. 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B错误. 选项C：因为，所以，， 所以，又，所以，故C正确. 选项D：  ， 当等号成立，但是，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD 3．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 5．已知，若，判断与的大小，并加以证明． 【答案】大小见解析，证明见解析 【知识点】对数的运算性质的应用、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数的运算性质和对数函数的单调性求解即可. 【详解】依题意，，， 由，得， 因此，当且仅当时等号成立， 由对数函数的单调性得，当时，， 当时，. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先，求解集合中关于的不等式，然后求解的并集. 【详解】对于集合，，化简得，所以. 所以集合. 对于集合，，根据指数函数的性质可得. 所以集合. 所以. 故选：A. 2．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， 所以，则. 故选：A 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【详解】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由指数函数的单调性解不等式、根据集合的包含关系求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可. 【详解】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即， 已知二次函数，开口向上，与轴交于， 仅当满足． 故选：D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数的方程组求解，得到集合的元素；方法二：直接利用求根公式解方程得到集合的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根的个数.最后根式集合的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案. 【详解】方法一：由，复数， ，即， ，解得， 所以， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法二：，所以由求根公式得， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根， 所以含有两个元素，所以A的子集有个. 故选：C. 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 二、多选题 7．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 8．（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD. 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 10．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合A，再结合集合并集的概念求解即可. 【详解】由题意知，， 所以． 故答案为： 12．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【详解】可以将不等式的左边视为一元二次函数，对函数求导，判断函数的单调区间，保证该函数在内的最小值大于等于0，就能满足题意，此时可求出的取值范围，进而得出其最小值.根据已知条件，令对任意的成立. 对函数求导得：. 当时，，即， 此时，该函数在上单调递增； 当时，，即， 此时，该函数在上单调递减. 若，即时，该函数在上单调递增，在上单调递减. 此时函数在内的最小值为. 解得：，因为， 所以此时的范围为：. 若，即时，该函数在上的最小值为，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 四、解答题 14．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 15．设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由可得，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）由（1）知，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得． 16．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用正弦定理边化角即可得证； （2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 17．（2025·湖北武汉·三模）用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； (3)若与都是由个实数构成的集合，证明：的充要条件是． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】探求命题为真的充要条件、集合新定义 【分析】（1）根据和集和邻差集定义直接求解即可； （2）考虑，分别讨论和的情况，由集合中元素的性质与和集的定义可得结果； （3）根据与和集的定义易证得充分性；设集合，，其中，，可确定中所有的元素，可证得；推广可得，由此可得必要性. 【详解】（1），，， ，，， ，. （2）考虑，不妨设，则， ①当时，，此时式不成立； ②当时，若，则，此时式不成立； 若，则，此时式也不成立； 若，则取，此时式成立. 由上述分析知：和集中重复的元素个数共个， . （3）充分性的证明： 当时，不妨设， 设集合，，其中，，是公差为的等差数列， ，里面的元素也是公差为的等差数列，； 必要性的证明： 设集合，，其中，， 则，这里共个不同元素， 又，上面为和集中的所有元素， 又，这里共个不同元素，也为和集中的所有元素， ，即， 一般地，由， ， 可得，即， 同理可得：，得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够充分理解和集与邻差集的定义，同时结合集合中元素的性质进行推理证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块01集合、常用逻辑用语、不等式 题型梳理 题型一 Venn图法解决集合运算问题 题型二 分类讨论法解决元素与集合关系问题 题型三 根据集合包含关系求参数值或范围 题型四 一元二次型不等式恒成立问题 题型五 一元二次不等式能成立问题 题型六 基本不等式中“1”的妙用 题型七 利用基本不等式求参数范围 题型八 作差法比较大小 知识回顾 知识点01．集合 (1)集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A. (2)子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. (3)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 知识点02．全称量词命题、存在量词命题及其否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． (3)命题与其否定真假相反． 知点识03．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 知识点04．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小． 知识点05．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是. 知识点06．分式不等式 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)⇔. 知识点07．基本不等式 (1)基本不等式：≥(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立； ②≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 易错提醒 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集． 2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏∅的情况． 4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论． 6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0. 7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解． 题型方法 【题型一】 Venn图法解决集合运算问题 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（2025·福建厦门·三模）已知全集为，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 分类讨论法解决元素与集合关系问题 【例2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三】 根据集合包含关系求参数值或范围 【例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 2．（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 一元二次型不等式恒成立问题 【例4】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【举一反三】 1．（2025·浙江·三模）“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 3.已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． (1)求证：为奇函数，并求的值； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4.设函数 (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【题型五】 一元二次不等式能成立问题 【例5】（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 2．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 3．（1）设函数在范围内的最大值为，最小值为，且 ，求实数的取值范围； （2）已知关于的方程在范围内有解，求实数的取值范围． 【题型六】 基本不等式中“1”的妙用 【例6】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 2．（多选）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（   ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，，求的最小值. 【题型七】 利用基本不等式求参数范围 【例7】（2025·四川·三模）若，，则实数m的取值范围为 ． 【举一反三】 1．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 . 3．若，，且，求的取值范围． 【题型八】 作差法比较大小 【例8】（多选）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（多选）（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，判断与的大小，并加以证明． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 7．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题 10．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则 ． 12．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 13．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 四、解答题 14．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 15．设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 16．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 17．（2025·湖北武汉·三模）用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； (3)若与都是由个实数构成的集合，证明：的充要条件是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$