第05讲 二次函数与一元二次不等式（知识清单+易错+2必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第05讲 二次函数与一元二次不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视对二次项系数的分类讨论 题型方法 题型一 解一元二次不等式 题型二 一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围） 知识清单 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 易错分析 【易错点一】忽视对二次项系数的分类讨论 【例1】（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·上海黄浦·一模）设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（    ） A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 题型方法 【题型一】解一元二次不等式 【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【举一反三】【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 【变式2】（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【题型二】一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围） 【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【举一反三】【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式有解，求实数m的取值范围. 【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·浙江绍兴·三模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 7．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 8．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题 10．（2024·山东泰安·二模）设集合，集合，则 . 11．（2023·北京东城·二模）若，则实数的一个取值为 . 12．（2023·陕西榆林·三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ，的最小值为 ． 四、解答题 13．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设，，函数. (1)求关于的不等式解集； (2)若在上的最小值为，求的取值范围. 14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立. (1)求满足条件的实数a，b的所有值； (2)若对恒成立，求实数m的取值范围. 15．（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数的值域 (2)如果对任意的，恒成立，求实数k的取值范围. 16．（2022·江西·模拟预测）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与一元二次不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视对二次项系数的分类讨论 题型方法 题型一 解一元二次不等式 题型二 一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围） 知识清单 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 易错分析 【易错点一】忽视对二次项系数的分类讨论 【例1】（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将代入原不等式，可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，当时，可变为，符合题意； 当时，由，得， 即，解得或且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 【举一反三】【变式1】（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 【变式2】（2023·上海黄浦·一模）设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（    ） A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可. 【详解】由题意知，、、三个都不小于0， 对于①，若、、，则由二次函数的图象与性质可得， 必定存在，使得三个不等式均成立， 不符合题意，所以“、、至少有一个为0”是正确的. 对于②，由题意知，、、三个都不小于0， 当，，时，解集为R，解集为，解集为，所以三个集合交集为； 当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为； 当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为； 同理可得：当，，时，当，，时，当，，时，三个集合交集也是； 当，，时， 若有两个不同的根，设的两根为、，则，，所以且，所以解集为或， 只有一个根时，解集为， 无根时，解集为R， 所以集合的交集为，与题意不符， 综述： 、、中有一个为0且另外两个大于0或、、中有两个为0且另外一个大于0，. 故选：A. 【变式3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 题型方法 【题型一】解一元二次不等式 【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 解题技巧 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【举一反三】【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 【答案】/0.5 【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围. 【详解】由有4个子集，所以中有2个元素， 所以，所以 ， 所以满足，或， 综上，实数的取值范围为，或， 故答案为： 【变式2】（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可； （2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，由， 所以不等式的解集为 （2），该函数的对称轴为， 当时，，不存在实数，使得成立； 当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，所以当时，，故不存在，使得成立； 当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，而 ，所以此时不成立； 当时，即时，要想在有解，只需，或，而， 因此， 当时，即时，要想在有解，只需 ，即， 综上所述：实数的取值范围为. 【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的运算性质即可得答案； （2）根据题意可得 ，结合一元二次不等式的解集讨论集合的取值情况即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题知：当时， ， 又 ， 或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则 ， ， ①当时，集合，满足题意； ②当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得； ③当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得. 综上，实数的取值范围为 【题型二】一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围） 【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C 解题技巧 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【举一反三】【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分类取绝对值，再根据单调性求出最小值，最后把恒成立问题转化为最小值即可求解； （2）根据绝对值三角不等式求出最小值，再把有解问题转化为最小值解一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）设，则， 易知当时，单调递减，当时，单调递增， 故, 要使对任意的恒成立， 需，即，解得， 故实数a的取值范围为. （2），当且仅当时等号成立. 因为有解，所以，解得或. 所以实数m的取值范围是. 【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）把不等式转化为，分类讨论，即可求解； （2）根据分段函数和一次函数的性质，求得函数取得最小值为，根据题意转化为不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数， 不等式，即为． 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，，解得，故． 综上所述，不等式的解集为或. （2）解：由题意，函数， 根据一次函数的性质，可得当时，函数取得最小值，最小值为， 又由不等式恒成立，所以， 即，解得，即m的取值范围为 好题必刷 一、单选题 1．（2025·浙江绍兴·三模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再由交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得：， 所以， 对于A、B，，故A错误，B正确； 对于C、D，，故CD错误； 故选：B. 2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则. 故选：B 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的包含关系求解. 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 4．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 【详解】设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 5．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，，得，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，， 所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项. 故选：A. 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先根据导函数结合余弦函数的范围得出函数单调递增.又，根据已知可推得恒成立，得出，求解即可得出答案. 【详解】由题，， 当时，恒成立，； 当或时，，，所以． 所以在R上单调递增． 又， 所以由恒成立，可得恒成立， 即恒成立， 故，得，所以a的最大值为． 故选：C. 二、多选题 7．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 【答案】BCD 【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于ABC，因为， 所以，即， 所以有个元素，故A错误，BC正确； 对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确. 故选：BCD. 8．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于的不等式在上是否恒成立，即可得解. 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 10．（2024·山东泰安·二模）设集合，集合，则 . 【答案】 【分析】求解一元二次不等式得集合，再进行并集运算. 【详解】根据题意，，或， 则，或. 故答案为： 11．（2023·北京东城·二模）若，则实数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意. 【详解】因为， 且当时，即时，， 当时，即时，才有可能使得， 所以的解集为的子集， 则，所以，所以实数的一个取值可以为. 故答案为: 12．（2023·陕西榆林·三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，要使得对恒成立， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 故答案为：；. 四、解答题 13．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设，，函数. (1)求关于的不等式解集； (2)若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）由题可得，然后分类讨论即得； （2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）因为，又，， 的解集等价于的解集， 当即时，不等式的解集为， 当即时，不等式的解集为， 当即时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为； （2）因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下， 又在上的最小值为， ，即， ，即的取值范围为. 14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立. (1)求满足条件的实数a，b的所有值； (2)若对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入得和得，，联立即可得到答案； （2）由（1）化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案. 【详解】（1）当时,不等式化为,, 所以,① 当时,同理可得,② 联立①和②，解得. 而时,原不等式为 显然恒成立,所以. （2）由（1）知, 所以, 因为,所以,所以在上恒成立. 令,则. 因为, 当且仅当,即时等号成立,所以, 所以,即实数的取值范围为. 15．（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数的值域 (2)如果对任意的，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），，计算得到值域. （2）令，，题目转化为对任意的恒成立， ，计算最值得到答案. 【详解】（1），，， 设，， ，，故函数的值域为. （2），即， 令，，对任意的恒成立. 对任意的恒成立，，设. 设，，故. 实数的取值范围为. 16．（2022·江西·模拟预测）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，和三种情况求解即可， （2）先求出的最小值为3，则问题转化为，从而可求出实数的取值范围 【详解】（1）因为 所以不等式等价于或或 解得 不等式的解集为 （2）由（1）知：当时，；当时，；当时，. 故函数的值域为，即的最小值是3 不等式对一切实数恒成立， ，解得 故实数的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$