第04讲 基本不等式（知识清单+易错+4必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第04讲 基本不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视基本不等式成立的条件而致误 题型方法 题型一 利用基本不等式求最值 题型二 重要不等式链 题型三 对勾函数的应用 题型四 柯西不等式 知识清单 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 易错分析 【易错点一】忽视基本不等式成立的条件而致误 【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 【举一反三】【变式1】（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 【变式2】（多选）（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确. 对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确. 对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确. 对于D选项，， 当且仅当，即无解，故D不正确. 故选：BC. 【变式3】（多选）（2022·海南·模拟预测）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B．（为锐角） C． D． 【答案】AB 【分析】利用基本不等式求最值的使用条件来加以判断，即可得到选项. 【详解】对于A，因为，所以，则由基本不等式得， 当且仅当，即时，此时取等号，即选项A正确； 对于B，因为为锐角，所以，则由基本不等式得， 当且仅当，即时，此时取等号，即选项B正确； 对于C，由于，则由基本不等式得， 当且仅当，而，此时等号不成立，即选项C错误； 对于D，因为，所以，即，所以它的最小值不可能是2， 即选项D是错误的； 故选:AB. 题型方法 【题型一】利用基本不等式求最值 【例1】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 解题技巧 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 【变式3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【题型二】重要不等式链 【例2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确； 对于B：因为，所以当且仅当时取等号 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于C: ，当且仅当时取等号，错误； 对于D:因为，所以 又，所以成立，正确 故选：ABD 【举一反三】【变式1】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】BCD 【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD. 【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误， 对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确， 对于C，由于，所以 ，所以，故C正确， 对于D, 由于 ，，故D正确， 故选：BCD 【变式2】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数，，．则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A、D利用换元整理，，，再结合基本不等式；对于B根据，代入整理；对于C，结合计算处理． 【详解】∵，则 ∴，当且仅当即时等号成立 A正确； 令，则 ，当且仅当即时等号成立 D正确； ∵，即，则，当且仅当时等号成立，B正确； ∵，当且仅当时等号成立 ，C不正确； 故选：ABD． 【题型三】对勾函数的应用 【例3】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 【举一反三】【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可． 【详解】在等比数列中，由，得，即， 则，则， 当且仅当，即时取等号，此时，而， 由对勾函数的性质知，当时，； 当时，，又， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的单调性可得，解不等式即可得答案. 【详解】由于，当且仅当时等号成立. . 由于对勾函数在上单调递减，上单调递增， 若取最小值时有，则，即. 解得， 又由于，所以的取值范围是. 故答案为:. 【变式3】（2021·全国·模拟预测）已知等差数列满足，. (1) 求数列的通项公式； (2) 若等差数列的前项和为，数列的前项和为，求的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】(1)根据已知等式及等差数列的通项公式求出数列的公差，即可得数列的通项公式；(2)根据(1)得到，进而得到数列的通项公式，并利用裂项相消法求出，进而得到，最后借助对勾函数的单调性求得的最大值. 【详解】(1) 设等差数列的公差为，. 因为，， 所以，解得， 所以，. (2) 由(1)可知，， 于是， 所以， 则， 由对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【题型四】柯西不等式 【例4】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 【举一反三】【变式1】（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 【变式2】（2021·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是 【答案】 【分析】法一：设，，直接利用柯西不等式求解；法二：设，，则，，两式相乘得到，再由，利用柯西不等式求解； 【详解】法一：设，，由柯西不等式可知 . 法二：设，，则，. ， 所以， 则， 由柯西不等式可知， 所以， 所以， 的最大值是. 故答案为： 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明： (1)； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得. （2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得. 【详解】（1）由均为正实数，得，又， 则 ，当且仅当时取等号， 所以. （2）当时，由（1）得：， 因此，当且仅当时取等号， 则，由，即得取等号， 所以. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 3．（2025·全国·模拟预测）若，则在的展开式中（    ） A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值 C．的系数有最小值 D．的系数有最小值 【答案】A 【分析】分别求出展开式中、、、的系数即可得出结果. 【详解】的展开式的通项公式为，， 展开式中的系数为 ， 因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的系数有最小值， 展开式中的系数为， 当时，，该系数趋近于，但无最小值. 展开式中的系数为， 当时，该系数趋近于，无最小值. 展开式中的系数，为， 当时，该系数趋近于，无最小值. 综上，的系数有最小值. 故选：A. 4．（2021·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，则，进而由柯西不等式可得最大值. 【详解】由可得，即. 由可知，所以. 由，可得， 由柯西不等式得 ， 所以，当即时，取等号. 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在得出之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值. 二、多选题 5．（2021·江苏南通·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以， 从而，正确. 对于B，因为，所以，解得， 所以，正确. 对于C，令()，，在为增函数， 所以在上单调递增，从而，即，错误. 对于D，因为，所以，正确. 故选：ABD 6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（    ） A．0<a<1 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围； BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可. 【详解】 函数的图象如上所示， 方程的解可以转化为函数与图象交点的横坐标，由图可知，故A正确； 由题意可知，即，解得，由图可知，所以，令，则函数在上单调递增，当时，，时，，所以的范围为，故B错； 函数的对称轴为，所以，又，所以，函数在上单调递增，，，所以，故C正确； ，函数在上单调递减，上单调递增，，，，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 9．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【详解】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 10．（2024·河南·模拟预测）如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为 . 【答案】 【分析】将六边形的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可. 【详解】设六边形的面积为， 再设 那么……① 对①式使用柯西不等式有(对①式使5维基本不等式有)： 取等条件：……② 由题知：……③ 联立②③解得：. 故答案为：. 【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值. 四、解答题 11．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式直接求解； （2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证. 【详解】（1）由柯西不等式得：， 即，故， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值为. （2）要证：， 只需证：， 只需证：， 即证：， 由a，b均为正实数，且满足可得， 当且仅当时等号成立，即， 设，则设， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 即. 12．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)当时，求外接圆的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理的推论求得，进而求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而得解； （2）利用余弦定理，结合基本不等式并检验即可得解. 【详解】（1）因为，，则， 所以， 又，所以， 设外接圆的半径为，则，故， 所以外接圆的面积为. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，满足，即为直角三角形， 所以的最小值为. 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)解不等式； (2)记（1）中不等式的解集为，中的最大整数值为，若正实数，，满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式； （2）先得到，，利用基本不等式得到，相加后得到答案. 【详解】（1）， 当时，，解得，故此时解集为， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 综上，不等式的解集为 （2）由（1）可得， 满足要求的最大整数为， 故， 为正实数，故， 当且仅当时，等号成立， 故， 故的最大值为. 14．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角； （2）根据余弦定理，利用重要不等式求出的范围，通过换元，借助对勾函数在的单调性，即可求出的最大值. 【详解】（1）设， ， ， ， ，， ，，； （2）由余弦定理知， ，， 又，当且仅当时，等号成立． ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，此时，即，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视基本不等式成立的条件而致误 题型方法 题型一 利用基本不等式求最值 题型二 重要不等式链 题型三 对勾函数的应用 题型四 柯西不等式 知识清单 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立． (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． (2)＋≥ (a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥ (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 易错分析 【易错点一】忽视基本不等式成立的条件而致误 【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2022·海南·模拟预测）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B．（为锐角） C． D． 题型方法 【题型一】利用基本不等式求最值 【例1】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 解题技巧 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【变式3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【题型二】重要不等式链 【例2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【变式2】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数，，．则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】对勾函数的应用 【例3】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 【变式3】（2021·全国·模拟预测）已知等差数列满足，. (1) 求数列的通项公式； (2) 若等差数列的前项和为，数列的前项和为，求的最大值. 【题型四】柯西不等式 【例4】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 【举一反三】【变式1】（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2021·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明： (1)； (2)若，则． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）若，则在的展开式中（    ） A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值 C．的系数有最小值 D．的系数有最小值 4．（2021·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2021·江苏南通·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（    ） A．0<a<1 B． C． D． 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 9．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 10．（2024·河南·模拟预测）如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为 . 四、解答题 11．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 12．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)当时，求外接圆的面积； (2)求的最小值. 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)解不等式； (2)记（1）中不等式的解集为，中的最大整数值为，若正实数，，满足，求的最大值. 14．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$