专题05 二元一次方程组的应用（旧知复习篇）-2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题05 二元一次方程组的应用 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理02：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点02：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点03：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点04：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.40（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·重庆渝北·期中）我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键． 先计算出绢与布的单价，设绢有匹，布有匹，根据“绢与布30匹，卖得570贯钱”列出两个方程，联立即可． 【完整解答】解：根据“2匹绢价45贯，3匹布价50贯”得：绢价为贯每匹，布价为贯每匹． 根据“绢与布30匹”可得：； 根据“卖得570贯钱”可得：； 联立可得：． 故选：D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【完整解答】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·期中）王同学带了元去市场买水果，她买了1千克的哈密瓜，2千克的葡萄，还剩30元．设哈密瓜单价为每千克元，葡萄的单价每千克元，则下列说法中，①由题意可得，②1千克葡萄的价格可以是36元，③若1千克哈密瓜的价格是16元，则1千克葡萄的价格是27元，④若是方程的解，则，都可以表示哈密瓜、葡萄的单价．其中正确的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程，解题的关键是读懂题意，列出方程． 由元买了1千克的哈密瓜，2千克的葡萄，还剩30元可得来判断①，由来判断②，令代入来求解③，根据二元一次方程的解的概念来求解④． 【完整解答】解：元买了1千克的哈密瓜，2千克的葡萄，还剩30元， ，故①正确； 由不能得到，故②正确； 在中，令可得，故③正确； 若是方程的解， 当，时，，都可以表示哈密瓜、葡萄的单价，故④正确， 所以正确的个数为4． 故选：D． 4．（本题2分）（2025·广东广州·一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了张，乙种票买了张，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．利用总价单价数量，结合40名员工购买电影票共用去1550元，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：共40名员工去看电影， ， 该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，且购票恰好用去1550元， ， 则根据题意可列出方程组：． 故选：B． 5．（本题2分）（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【思路引导】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 6．（本题2分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）2025年4月1日，开封清明文化节在清明上河园开幕，其间开展了清明踏春巡游、文艺展演等丰富多彩的群众文化活动．开封某校组织七年级的三个班参加清明踏春巡游活动，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100，则三个班的总人数为（    ） A．150 B．300 C．180 D．70 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解，掌握整体思想是解题的关键． 【完整解答】解：设一班为人，二班有人，三班由人， 则：， 方程组可化为： ， ①②③得：， ， 故选：A． 7．（本题2分）（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组． 设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【完整解答】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． 8．（本题2分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用二元一次方程组解决几何问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 对各正方形进行编号，假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，表示出所有正方形的边长，找出等量关系，列出二元一次方程组进行求解即可． 【完整解答】解：如图所示，对各正方形进行编号，    根据题意可得： 正方形①的边长为： 假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，则， 则正方形④的边长为， 正方形⑥的边长为， 正方形⑦的边长为， 正方形⑤的边长为， 正方形⑧的边长为， 正方形的边长为和，则， ∴， 解得， ∴最大正方形的面积为， 故选：A． 9．（本题2分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钠笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【完整解答】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 10．（本题2分）（24-25七年级下·天津·阶段练习）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元，根据小月与售货员的对话信息列出二元一次方程组，求出即可． 【完整解答】解：设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元， 根据题意得：， 得：， ， 即购买一支签字笔和一本笔记本应共付12元， 故选：B． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个小长方形花圃的长为，宽为，根据图示可知2个小长方形的长加上1个宽等于20米，1个小长方形的长加上2个宽等于16米，据此建立方程组求解即可． 【完整解答】解：设每个小长方形花圃的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴每个小长方形花圃的面积是， 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·天津西青·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 【答案】 3 7 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，根据已知列方程是解题的关键． （1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值． 【完整解答】解：（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少， ∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得： ， 解得：， ∴商品A的标价为90元，商品B的标价为120元， 设商品A享受打m折优惠，根据题意得： ， 解得：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，坐标与图形，设小长方形的长为a，宽为b，根据点A的坐标结合图形可得方程组，解方程组即可得到答案． 【完整解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 【答案】①③/③① 【思路引导】本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由乙、丙两位同学三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分列二元一次方程，可判断①说法；根据题意得出乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分，列二元一次方程组求解，可判断②说法；在②的基础上，计算出甲的折算后总分，可判断③说法． 【完整解答】解：由题意可知，乙、丙两位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，但折合后总分相差分，即三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分， 设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和， 则， 即，①说法正确； 若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和， 则乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分， 由题意得：，解得：， 每个项目得分的折算百分比之和为1， 七巧拼图和数独比拼两项的折算百分比之和为，②说法错误； 由②可知，，， 则， 即甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖，③说法正确； 故答案为：①③ 15．（本题2分）（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了球场上的积分问题，设设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据题意列方程组即可解题． 【完整解答】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场， 列方程为：， 故答案为：． 16．（本题2分）（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂线段最短，利用三角形面积比例关系和已知条件，通过设未知数和建立方程来求解的最小值，设，，，根据已知条件可知，，列出，可得出，由已知条件可得出，，，进而可得出，由垂线段最短可知，进而可求出的最小值． 【完整解答】解：设， ∵， ∴， ， 设， ∵， ∴，， 设， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 由垂线段最短可知当时，的面积最小， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 17．（本题2分）（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 【答案】17 【思路引导】4月份销售每套该款时装的出厂价为元，则每件的成本为元，5月份每套该款时装的利润为，设4月份销售该款时装件，则5月份销售件，等量关系为：4月份的总利润增长率）月份的总利润，把相关数值代入求解即可．考查三元一次方程的应用，得到每个月份每件衣服的利润和卖出件数是解决本题的突破点；注意一些必须的量没有时可设其为未知数，在解答过程中消去． 【完整解答】解：设增长率为，4月份每套该款时装的出厂价为元，5月份每套该款时装销售件， ， 解得， 故答案为：17 18．（本题2分）（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【思路引导】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 【完整解答】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 19．（本题2分）（23-24七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值 【完整解答】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 20．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 【答案】 3081 7182 【思路引导】本题考查新定义下的二元方程组运算以及整式的加减运算．根据题意所给出的“中二倍数”的定义是解题的关键．本题利用数的位值原理得出方程组求解即可得出，然后依据是一个“中二倍数”以及能被19整除，进行整式的运算，过程中涉及不等式限定范围以及不定方程的求解，进而即可分类讨论得出当最大值时m的值． 【完整解答】解：两个四位自然数，是“中二倍数”， 根据“中二倍数”的定义可得， 解得：， ∴； 是一个“中二倍数”， ， 能被19整除， ， 是正整数， 是正整数， 是整数， ， ， 各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，有，（舍去）； 当，有，，此时（舍去）； 当，有，，此时； 当，没有满足条件的； 当，有，，此时； 当，有，，此时； 当，有，，此时； ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 最大值为，此时m的值为． 故答案为：；． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·甘肃天水·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）运用消元法求解即可，本小题的技巧是直接相减就可以消去x和分母； （2）运用消元法求解即可，本小题的技巧是可以消去y，考虑倍数即可． 【完整解答】（1）解：得： 整理得：， 解得：， 将带入得：， 解得：， ∴原方程组的解是：； （2）解：得： 解得：， 将带入得：， 解得：， ∴原方程组的解是：； 22．（本题6分）（2025七年级下·河南·专题练习）某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型大米 20 30 B型大米 30 45 (1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？ 【答案】(1)A型大米购进50袋，B型大米购进40袋 (2)购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A型大米购进袋，B型大米购进袋，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋，根据题意列出二元一次方程，整理得到，然后根据均为正整数求解即可． 【完整解答】（1）解：设A型大米购进袋，B型大米购进袋， 依题意得， 解得． 答：A型大米购进50袋，B型大米购进40袋． （2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋， 依题意得， 化简得 ． 又均为正整数， 既是3的倍数，又是11的倍数，是3的倍数， 或． 当时，；当时，． 答：购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋． 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【完整解答】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 24．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【思路引导】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【完整解答】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 25．（本题8分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）100；（2）元；（3）， 【思路引导】（1）由关于m，n的方程组，利用可求出，进而可得出，此问得解； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，根据“买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元：买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，将其拆解换元后可得出关于m，n的二元一次方程组，利用可求出m的值，及的值，此题得解． （3）先求出，把代入②求出，把代入③求出，把，代入②求出，把，，代入①求出即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴得：， 解得：，即， 答：第三次购买红、黄、蓝啦啦球各一个共需100元； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 设，，上述方程组又可化为：， 得：， 即， 答：只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本共需元． （3）关于m，n的方程组的解与有相同的解， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 把，，代入①得：， 解得：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，利用换元法将原三元一次方程组转化为二元一次方程组是解题的关键． 26．（本题8分）（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【完整解答】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 27．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点N为“k级健康点”；若点的坐标满足，则称M为“k级快乐点”．例如：点为1级健康点，点为3级快乐点． (1)若点既是“2级健康点”，又是“2级快乐点”，求点A的坐标： (2)点B是x轴上的“2级健康点”，点C是y轴上的“2级快乐点”，如果E为y轴上一点，且三角形等于三角形面积的一半，求点E的坐标． (3)在上述条件下，直线与x轴所夹的锐角为a，直线与y轴所夹的钝角为β，则与和之间的数量关系是___________．（直接写出答案） (4)若点是“级健康点”，点是“级快乐点”，则的值是___________（直接写出答案） 【答案】(1)点的坐标为 (2)点或 (3) (4) 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中根据新定义列方程求解点的坐标以及平行的性质、代数式求值，解题的关键是准确理解“k级健康点”和＂级快乐点”的定义并据此列出方程． （1）根据点既是“2级健康点”又是＂2级快乐点”列方程组求解坐标； （2）先根据定义求出坐标，再根据三角形面积关系求出坐标； （3）过作轴交于，过作轴，得到，，找出与的数量关系即可； （4）根据点的定义列方程求解的值． 【完整解答】（1）点既是“2级健康点”，又是“2级快乐点”，根据定义可得： 解得．， 点的坐标为； （2）点是轴上的“2级健康点”，设，则，解得， ． 点是轴上的“2级快乐点”，设，则，解得， ． ， 为轴上一点，设， ， ， 当时，； 当时，， 或； （3）． 理由如下：过作轴交于，过作轴， ， ， ， ； ； （4）点是“级健康点”， ； 点是“级快乐点”， ． 解得，， ． 28．（本题8分）（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 【答案】(1)1，2 (2)不变，135° (3)（i）；（ii）①③④ 【思路引导】（1）构建方程组即可解决问题；（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可解决问题；（ⅱ）结论：①③④正确．根据角平分线的定义，三角形内角和定理一一证明即可； 【完整解答】（1）由题意：，解得，故答案为1，2． （2）解：不变化．．理由：如图2， ∵直线直线， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴度数不变化，总是等于． （3） （i）由题意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°−α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°−α，∴∠APB＝180°−（45°−α）＝135°＋α故答案为：． （ii）①∠APB与∠Q互补；正确．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°−(∠QAB＋∠QBA)＝180°−[(180°−∠OAB)＋(180°−∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°−(90°＋α)]＝45°−α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°−α＝180° ②∠M−∠Q为定值．错误．理由：∵∠Q＝45°−α，∴∠M＝90°−∠Q＝45°＋α，∴∠M−∠Q＝α，不是定值． ③∠APB−∠M为定值；正确．理由：同法可证：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB−∠M＝90°为定值．④∠Q与∠M互余；正确．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案为①③④ 【考点评析】本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题05 二元一次方程组的应用 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理02：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点02：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点03：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点04：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.40（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·重庆渝北·期中）我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 3．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·期中）王同学带了元去市场买水果，她买了1千克的哈密瓜，2千克的葡萄，还剩30元．设哈密瓜单价为每千克元，葡萄的单价每千克元，则下列说法中，①由题意可得，②1千克葡萄的价格可以是36元，③若1千克哈密瓜的价格是16元，则1千克葡萄的价格是27元，④若是方程的解，则，都可以表示哈密瓜、葡萄的单价．其中正确的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题2分）（2025·广东广州·一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了张，乙种票买了张，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（本题2分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）2025年4月1日，开封清明文化节在清明上河园开幕，其间开展了清明踏春巡游、文艺展演等丰富多彩的群众文化活动．开封某校组织七年级的三个班参加清明踏春巡游活动，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100，则三个班的总人数为（    ） A．150 B．300 C．180 D．70 7．（本题2分）（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 8．（本题2分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 9．（本题2分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钠笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 10．（本题2分）（24-25七年级下·天津·阶段练习）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积是 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·天津西青·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 15．（本题2分）（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 16．（本题2分）（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ． 17．（本题2分）（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 18．（本题2分）（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 19．（本题2分）（23-24七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 20．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·甘肃天水·期中）解下列方程组 (1) (2) 22．（本题6分）（2025七年级下·河南·专题练习）某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型大米 20 30 B型大米 30 45 (1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？ 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 24． （本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 25．（本题8分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 26．（本题8分）（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 27．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点N为“k级健康点”；若点的坐标满足，则称M为“k级快乐点”．例如：点为1级健康点，点为3级快乐点． (1)若点既是“2级健康点”，又是“2级快乐点”，求点A的坐标： (2)点B是x轴上的“2级健康点”，点C是y轴上的“2级快乐点”，如果E为y轴上一点，且三角形等于三角形面积的一半，求点E的坐标． (3)在上述条件下，直线与x轴所夹的锐角为a，直线与y轴所夹的钝角为β，则与和之间的数量关系是___________．（直接写出答案） (4)若点是“级健康点”，点是“级快乐点”，则的值是___________（直接写出答案） 28．（本题8分）（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$