专题02 平方根和立方根（旧知复习篇）-2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题02 平方根和立方根 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【易错点剖析】 （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：有理数与无理数的混淆 学生常将无限循环小数（如0.333…）误判为无理数，或认为所有带根号的数（如√4）都是无理数，忽略其可能为有理数的情况。 关键区分：无理数是无限不循环小数（如π、√2），而有理数可表示为分数或有限/无限循环小数。 易错知识点02：平方根与算术平方根的混淆 平方根包含正负两个值（如±√9=±3），而算术平方根仅取非负值（如√9=3）。学生易在符号表示和数值个数上出错，例如将“√a”直接等同于平方根。 易错知识点03：立方根的性质误解 立方根可为正、负或零（如³√8=2，³√-8=-2）。学生易忽略负数也存在立方根，或误认为立方根符号（³√a）的结果符号与原数无关。 易错知识点04：非负数的应用错误 如“几个非负数的和为0，则每个非负数必须为0”。例如，若√a + |b| = 0，需同时满足a=0且b=0，学生可能仅关注其中一个条件。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.42（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 2．（本题2分）（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 3．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 4．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 6．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（24-25八年级上·山西太原·期末）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的，流程如下： 下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（   ） A．若输入的值是8，则输出的值是 B．若输出的值是，则输入的值是9 C．若输入的值是64，则输出的值是 D．若输入的值是1，则输不出的值 9．（本题2分）（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 14．（本题2分）（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 15．（本题2分）（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 16．（本题2分）（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 17．（本题2分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 18．（本题2分）（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 19．（本题2分）（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 20．（本题2分）（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 22．（本题6分）（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23．（本题8分）（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 24．（本题8分）（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 25．（本题8分）（24-25七年级下·吉林·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 26．（本题8分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 27．（本题8分）（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 28．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题02 平方根和立方根 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【易错点剖析】 （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：有理数与无理数的混淆 学生常将无限循环小数（如0.333…）误判为无理数，或认为所有带根号的数（如√4）都是无理数，忽略其可能为有理数的情况。 关键区分：无理数是无限不循环小数（如π、√2），而有理数可表示为分数或有限/无限循环小数。 易错知识点02：平方根与算术平方根的混淆 平方根包含正负两个值（如±√9=±3），而算术平方根仅取非负值（如√9=3）。学生易在符号表示和数值个数上出错，例如将“√a”直接等同于平方根。 易错知识点03：立方根的性质误解 立方根可为正、负或零（如³√8=2，³√-8=-2）。学生易忽略负数也存在立方根，或误认为立方根符号（³√a）的结果符号与原数无关。 易错知识点04：非负数的应用错误 如“几个非负数的和为0，则每个非负数必须为0”。例如，若√a + |b| = 0，需同时满足a=0且b=0，学生可能仅关注其中一个条件。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.42（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（本题2分）（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 5．（本题2分）（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 7．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了开平方，开立方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 8．（本题2分）（24-25八年级上·山西太原·期末）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的，流程如下： 下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（   ） A．若输入的值是8，则输出的值是 B．若输出的值是，则输入的值是9 C．若输入的值是64，则输出的值是 D．若输入的值是1，则输不出的值 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断、程序流程图与代数式求值等知识点，正确求得把x的值代入得出输出y的值是解题的关键． 把x的值代入得出输出y的值，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若输入x的值是8，则输出y的值是，故该选项说法错误，不是真命题； B、若输出y的值是，则输入x的值是3，故该选项说法错误，不是真命题； C、若输入x的值是64，则输出y的值是，故该选项说法错误，不是真命题； D、若输入x的值是1，则输不出y的值，说法正确，是真命题． 故选：D． 9．（本题2分）（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 10．（本题2分）（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键． 根据无理数的定义、算术平方根、立方根逐个判断即可． 【详解】解：1是有理数；是有理数；0是有理数；是无理数；是有理数；是有理数，是无理数，（相邻两个3之间依次多一个1）是无理数；总共有3个无理数． 故选B． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴立方根是1， 故答案为：1． 12．（本题2分）（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【答案】32 【分析】本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键． 根据题目提供的方法，类推确定． 【详解】解：由，确定是两位数． 由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2． 如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3． 因此，32768的立方根是32． 故答案为：32． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左或者向右移动2位，算术平方根的小数点向左或向右移动1位，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知： ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴有无数个正数满足；故③错误； ∵， ∴；故④错误； 故正确的个数有2个； 故答案为：2． 14．（本题2分）（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 15．（本题2分）（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 16．（本题2分）（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据例题的方法求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的立方根是， 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 【答案】 3 2024 【分析】本题考查了有理数的定义，算术平方根的求解，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）当时，数列中的10个数，由，， 这个三个有理数即可得出结果； （2）根据，可得出． 【详解】解：（1）当时，数列中有，， 这个三个有理数， 故答案为：3； （2）， 数列中共有44个有理数，则的最大整数值为， 故答案为：2024． 18．（本题2分）（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 19．（本题2分）（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 20．（本题2分）（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】625 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为625后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：625． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据计算即可． 本题考查了立方根，算术平方根，绝对值计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．（本题6分）（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)不能裁出符合条件的长方形．理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． （1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为， 大正方形纸片的边长为， 故答案为：10； （2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 长方形纸片的长是宽的2倍， 设长方形纸片的长和宽分别是，， ， ， ， ， 长方形纸片的长是， ， 沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 23．（本题8分）（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 24．（本题8分）（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)6，1 (2)秒 (3)秒或秒 【分析】（1）根据算术平方根与偶次方的非负性求解即可得； （2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，射线、射线互相垂直于点，过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得； （3）设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，先求出射线到达所需时间为45秒；射线旋转至所需时间为秒，旋转至所需时间为秒，旋转至所需时间为42秒，再分两种情况：①和②，根据平行线的性质可得，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：6，1． （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设射线、射线互相垂直于点， 如图，过点作， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 答：至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， ∵，， ∴， ∴射线到达所需时间为（秒）， ∵， ∴， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，射线旋转至的位置，则， ∴，， ∴射线旋转至所需时间为（秒），旋转至所需时间为（秒），旋转至所需时间为（秒）， 则分以下两种情况： ①如图，当时，射线从的位置转动至，射线转动至， 则，，， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，射线从的位置先转动至，再从转动至，射线转动至， 则，，， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； 综上，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 【考点评析】本题考查了算术平方根与偶次方的非负性、平行线的性质、平行公理推论、垂直、一元一次方程的几何应用等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 25．（本题8分）（24-25七年级下·吉林·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴是两位数， ∵； 猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117， ∵， ∴的十位数字应为4， 于是猜想， 验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； 故答案为：； （2）解：∵， ∴和互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数， 即， ∴，即， ∴当时，得，解得． 时，得，解得； 当时，得，解得； ∴或或． 26．（本题8分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，，， (2) (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点与中间、点在点的上方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， （2）过点作于，      设时间经过秒，， 则，，，， ，， ∵， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 理由如下： 当点在点与中间，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的上方时，过点作，   ， ， ， ， ∵， ， 即， 综上所述，或． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 27．（本题8分）（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【考点评析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 28．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 【答案】(1)两，9，3 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，正确理解题意是解题的关键． （1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴是两位数， ∵的个位上的数是9， ∴的个位上的数字是9， ∵划去59319后面的三位319得到数59， ∴的十位上的数字是3 故答案是：两，9，3； （2）解：∵， ∴ ∴的立方根是两位数 ∵个位数是 5 ∴的立方根个位数是5 ∵划去274625后面的三位625得到数274，且 ∴274625的立方根的十位数是6， ∴274625的立方根65， ∴的立方根是． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$