专题04 用坐标描述几何图形及坐标的应用（旧知复习篇）-2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题04 用坐标描述几何图形及坐标的应用 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面:直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【易错点剖析】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【易错点剖析】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：平移变换坐标处理不当 易错表现： 左右平移时，横坐标加减方向错误（如向左平移3单位应“x-3”，而非“x+3”） 上下平移时，混淆纵坐标增减规则（如向上平移2单位应“y+2”） 示例：点A（1，2）向右移4单位得（5，2），向下移3单位得（5，-1）。 易错知识点02：平行于坐标轴的直线特征混淆 核心规律： 平行x轴的直线：所有点纵坐标相同（如y=5） 平行y轴的直线：所有点横坐标相同（如x=-2） 易错题：直线y=3上两点A（2，3）与B（-1，3）的距离应为|2 - (-1)|=3，而非纵坐标差25。 易错知识点03：面积计算常见错误 易错类型： 1. 忽略绝对值：计算底或高时未取坐标差的绝对值 2. 割补法应用错误：对不规则图形未合理分割或补形 例题解析：已知A（1，2）、B（4，5）、C（3，0），求△ABC面积。需用“水平宽×铅垂高”法或坐标系面积公式。 易错知识点04：中点坐标公式误用 公式：两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的中点坐标为（(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2） 易错点： 未考虑负坐标符号，如A（-2，3）、B（4，-1）中点应为（1，1） 线段端点含未知数时处理不当（如已知中点求端点）。 易错知识点05：动点问题分类不全 典型错误： 未考虑动点在不同象限的可能性 未讨论移动后的坐标边界情况 示例：点P从（0，0）出发，每秒向右移2单位，求t秒后坐标。答案应为（2t，0），但当t为负数时需说明其无意义。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.42（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级下·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 3．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 5．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为6 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上 6．（本题2分）（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，长方形的边、分别在轴、轴上，点的坐标为．点，分别在，边上，．沿直线将翻折，点落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（本题2分）（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为6，则点的坐标为或；④若点不在直线上，面积为面积为，四边形面积为，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．（本题2分）（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题： ①若轴，则； ②若轴，则； ③若，则A、B、C三点在同一条直线上； ④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为． 其中真命题有 （填序号）． 12．（本题2分）（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知，，线段交轴于点，求的坐标 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较大值，称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”．若，两点为“等距点”，则的值是 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 15．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 16．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 17．（本题2分）（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为 ． 18．（本题2分）（24-25八年级上·河北保定·期中）平面直角坐标系中，我们将点坐标进行坐标变换．第一次将P向右平移1个单位得到，第二次将关于y轴对称得到，第三次将向上平移1个单位得到，第四次将关于x轴对称得到；依次重复上面的4种坐标变换得到、、、……；若点P的起始位置从改为，则坐标为 ． 19．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 20．（本题2分）（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知点，，，其中点的位置如图所示． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形； (2)平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求出此时点的对应点的坐标并画出平移后的三角形． 22．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，将三角形ABC平移后得到三角形，它们的各顶点坐标如下表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： 三角形向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度可以得到三角形； (2)在平面直角坐标系中画出三角形及平移后的三角形． 23．（本题8分）（2025七年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点 (1)求点A、B的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使三角形的面积和三角形的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由 24．（本题8分）（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，且满足． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点分别是线段的延长线，轴负半轴上的动点，过点作，交轴于点，连接分别平分．求证：； (3)点为直线上一点（不与点重合），若，利用图2求的取值范围． 25．（本题8分）（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题8分）（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 27．（本题8分）（2025七年级下·广东·专题练习）在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且a，b满足．将线段沿x轴向右平移得到线段，平移后点A，C的对应点分别为M，N，且点．记为，为． (1)直接写出点C的坐标： ； (2)①如图1，当点M在线段（不包含线段的端点A，O）上时，直接写出： （度）； ②如图2，连接，当三角形的面积为时，求m的值，并求出此时与的数量关系； (3) 作直线，在直线上有动点P（点P不与C重合），点P的横坐标为n，连接．若的面积不大于6，直接写出n的取值范围． 28．（本题8分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题04 用坐标描述几何图形及坐标的应用 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面:直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【易错点剖析】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【易错点剖析】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：平移变换坐标处理不当 易错表现： 左右平移时，横坐标加减方向错误（如向左平移3单位应“x-3”，而非“x+3”） 上下平移时，混淆纵坐标增减规则（如向上平移2单位应“y+2”） 示例：点A（1，2）向右移4单位得（5，2），向下移3单位得（5，-1）。 易错知识点02：平行于坐标轴的直线特征混淆 核心规律： 平行x轴的直线：所有点纵坐标相同（如y=5） 平行y轴的直线：所有点横坐标相同（如x=-2） 易错题：直线y=3上两点A（2，3）与B（-1，3）的距离应为|2 - (-1)|=3，而非纵坐标差25。 易错知识点03：面积计算常见错误 易错类型： 1. 忽略绝对值：计算底或高时未取坐标差的绝对值 2. 割补法应用错误：对不规则图形未合理分割或补形 例题解析：已知A（1，2）、B（4，5）、C（3，0），求△ABC面积。需用“水平宽×铅垂高”法或坐标系面积公式。 易错知识点04：中点坐标公式误用 公式：两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的中点坐标为（(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2） 易错点： 未考虑负坐标符号，如A（-2，3）、B（4，-1）中点应为（1，1） 线段端点含未知数时处理不当（如已知中点求端点）。 易错知识点05：动点问题分类不全 典型错误： 未考虑动点在不同象限的可能性 未讨论移动后的坐标边界情况 示例：点P从（0，0）出发，每秒向右移2单位，求t秒后坐标。答案应为（2t，0），但当t为负数时需说明其无意义。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.42（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级下·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可，掌握平移规律是解题的关键． 【完整解答】解：∵点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N， ∴点N的坐标是，即， 故选：D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】题目主要考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键 根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可. 【完整解答】解：根据图象得，①是以每个方格1个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ②是以每个方格2个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确； ④是在当表示天安门的点的坐标为，每个小方格表示的单位长度为3，在①基础上，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确． 故选：D 3．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了坐标系内点的平移运动，将各选项的点平移几次后可得规律进行判断即可． 【完整解答】解：A. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； B. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为5或6，故连续平移后不可能得出点； C. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； D. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； 故选：B． 4．（本题2分）（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到与的有关系，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【完整解答】解：∵将线段平移至，点，点，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为6 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上 【答案】C 【思路引导】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【完整解答】解：A．∵，， ∴点一定在第四象限， 故本选项不符合题意； B．点到轴的距离为6， 故本选项不符合题意； C．若中，则或， 即点在轴或轴上，本说法错误， 故本选项符合题意； D．若，则， 则点一定在第一，第三象限的角平分线上， 故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（本题2分）（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，长方形的边、分别在轴、轴上，点的坐标为．点，分别在，边上，．沿直线将翻折，点落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形综合，折叠问题等知识点，解题的关键是利用折叠的隐含条件得到相等的线段，然后利用线段的长度即可确定点的坐标． 首先根据已知条件可得，，，，然后根据折叠可得，，，，，于是可得是正方形，进而可得轴，轴，然后求出和，即可确定的坐标． 【完整解答】解：长方形的边、分别在轴、轴上，点的坐标为， ，，， 又， ， 根据折叠可得：，，，，， ，，， 是正方形， ∴轴，轴， ，， 的坐标为． 故选：B． 7．（本题2分）（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查的是添加一个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．根据轴对称的定义分析即可． 【完整解答】解：如图所示， C点的位置为，，A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形为轴对称图形； C点的位置为，x轴是对称轴， C点的位置为，直线为对称轴 满足的有：，，，． 故选：D 8．（本题2分）（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【完整解答】解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 故选：A． 9．（本题2分）（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为6，则点的坐标为或；④若点不在直线上，面积为面积为，四边形面积为，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，根据，两点坐标求出，即可判断；如图，延长交于点利用平行线的性质，三角形的外角的性质判断即可；设，则根据三角形的面积公式列出方程，解方程，可得结论；分两种情判断即可． 【完整解答】解： ， 由平移性质得：， ， 故正确， 如图，延长交于点． ∵， ， ， ， ， 故正确 ， ∵ 设，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段， ∴到的距离为， 则有， 解得或， 则点或；故正确， 结论错误， 理由：当点在的上方或的下方时，结论成立， 当点在与之间时，则有 故正确的有：， 故选：A 10．（本题2分）（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，矩形的周长为，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可． 【完整解答】解：由图可知，矩形的周长为， ∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒， ∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，…… ∴相遇点每3次为一个循环， ∵， ∴第2024次相遇地点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题： ①若轴，则； ②若轴，则； ③若，则A、B、C三点在同一条直线上； ④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为． 其中真命题有 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】根据平行x轴的点的坐标特点，平行y轴点的坐标特点，点与直线的关系，坐标与图形的面积关系，解答即可． 【完整解答】解：，， ∵轴， ∴， ∴， 故①正确； ∵轴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴，， ∴在直线上，不在上面； 故③错误； ∵，，， ∴在直线上，，， ∴， 点A到直线的距离为， ∵三角形的面积等于8， ∴， 解得， 故点C的坐标为 故④正确； 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了平行x轴的点的坐标特点，平行y轴点的坐标特点，点与直线的关系，坐标与图形的面积关系，熟练掌握坐标的特点是解题的关键． 12．（本题2分）（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知，，线段交轴于点，求的坐标 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形，设，利用面积相等即可求解． 【完整解答】解：设，则； ∵，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较大值，称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”．若，两点为“等距点”，则的值是 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了点到坐标轴的距离，解绝对值方程，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值分两种情况：且或且，据此讨论求解即可． 【完整解答】解：∵，两点为“等距点”， ∴且或且， 当且时， 解得或； 当且， 解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，或 故答案为：或． 14．（本题2分）（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【完整解答】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确； ②∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，故说法②正确； ③∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法③错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， ∴，故说法④正确； 综上可知，说法①②④正确； 故答案为：①②④． 15．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移规律是解题关键．利用已知对应点平移距离进而得出答案． 【完整解答】解：∵线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，点A的对应点的坐标为， ∴点A向右平移5个单位，向下平移1个单位， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 【完整解答】解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是 …… ∵ ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 首先由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积” 的最小值． 【完整解答】解：对于点，，， 其“水平底” ， 根据题意得：的最小值为：1， ，，三点的“矩面积”的最小值为4． 故答案为：4． 18．（本题2分）（24-25八年级上·河北保定·期中）平面直角坐标系中，我们将点坐标进行坐标变换．第一次将P向右平移1个单位得到，第二次将关于y轴对称得到，第三次将向上平移1个单位得到，第四次将关于x轴对称得到；依次重复上面的4种坐标变换得到、、、……；若点P的起始位置从改为，则坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标的规律型，坐标与图形变化—平移，坐标与图形变化—对称，观察出每8次变换为一个循环组依次循环是解题的关键，根据题意，观察发现，每8次变换为一个循环组依次循环，用2025除以8，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【完整解答】解：点经过第一次变换后得到， 第二次变换得到， 第三次变换得到， 第四次变换得到， 第五次变换得到， 第六次变换得到， 第七次变换得到， 第八次变换得到， 以此类推，每8次变换为一个循环组依次循环 ∵ ∴点的坐标与的坐标相同， ∵点P的起始位置从改为， ∴坐标为， 故答案为：． 19．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【完整解答】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 20．（本题2分）（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 【完整解答】解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知点，，，其中点的位置如图所示． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形； (2)平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求出此时点的对应点的坐标并画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)或，见解析 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系，平移作图． （1）根据A的位置建立平面直角坐标系，找到B、C的位置，画三角形即可； （2）分情况画出图形，根据图形即可求出的坐标． 【完整解答】（1）建立平面直角坐标系及画三角形如图所示． （2）平移后的三角形和三角形如图所示．由图可知点的对应点的坐标为或． 22．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，将三角形ABC平移后得到三角形，它们的各顶点坐标如下表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： 三角形向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度可以得到三角形； (2)在平面直角坐标系中画出三角形及平移后的三角形． 【答案】(1)右，4，上，2 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图-平移变换． （1）观察表中各对应点坐标的变化即可得出答案； （2）根据平移的性质找出对应点即可求解. 【完整解答】（1）根据A，B两点的坐标变化，可知三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度可以得到三角形． 故答案为：右，4，上，2 （2）画出三角形及平移后的三角形如答图． 23．（本题8分）（2025七年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点 (1)求点A、B的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使三角形的面积和三角形的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】本题主要考查非负数的性质、用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积． （1）根据非负数的性质求出a，b的值的即可； （2）先求出三角形的面积，设，则，由列出方程，求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得， 解得， ，； （2）解：，， ， ， 设，则， ， 若三角形的面积和三角形的面积相等， 则， 解得或． 或． 24．（本题8分）（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，且满足． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点分别是线段的延长线，轴负半轴上的动点，过点作，交轴于点，连接分别平分．求证：； (3)点为直线上一点（不与点重合），若，利用图2求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)且 【思路引导】（1）由被开方数及绝对值的非负性，可求出的值，进而可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可求出三角形的面积； （2）由平行线的性质可得出，再利用角平分线的性质，通过设未知数，即可求解； （3）过点作轴于点，作轴于点，如图所示，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，进而可得出之间的关系，由点的坐标，利用勾股定理可求出之间的关系，再结合，即可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围． 【完整解答】（1）解：∵满足， ∴， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）证明：设， ∵平分， ， ，则， ∵平分， ， 则， ， ，即； （3）解：过点作轴于点，作轴于点，如图所示： 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， 同理可得：， 和等高， ，即， 解得， 的取值范围为：且． 【考点评析】本题考查了绝对值及被开方数的非负性、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、待定系数法求一次函数解析式（相似三角形的性质）以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用被开方数及绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）利用平行线的性质及角平分线的性质，导角即可；（3）利用勾股定理及，找出． 25．（本题8分）（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【思路引导】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 26．（本题8分）（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【思路引导】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 27．（本题8分）（2025七年级下·广东·专题练习）在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且a，b满足．将线段沿x轴向右平移得到线段，平移后点A，C的对应点分别为M，N，且点．记为，为． (1)直接写出点C的坐标： ； (2)①如图1，当点M在线段（不包含线段的端点A，O）上时，直接写出： （度）； ②如图2，连接，当三角形的面积为时，求m的值，并求出此时与的数量关系； (3)作直线，在直线上有动点P（点P不与C重合），点P的横坐标为n，连接．若的面积不大于6，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①90；② (3)或 【思路引导】本题考查了非负性，平移的性质，平行线的判定和性质，不等式，坐标和图形，灵活运用知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①由平移可得，得到，结合，即可求解； ②连接，并延长交y轴于点D，由，可得，结合平移的性质可得，进而得到，然后根据列方程即可求出m，由可得，结合，可得到α与β的数量关系； （3）分为：当时，过点P作轴于点E，根据求解；当时，，求解即可． 【完整解答】（1）解：∵点，且a，b满足， ∴ 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：①由平移可得， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：90； ②如图，连接，并延长交y轴于点D， ∵，， ∴， 由平移可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即； （3）解：当时，如图，过点P作轴于点E， 根据题意得， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴； 当时，此时， 则， 解得， ∴， 综上所述，n的取值范围是和． 28．（本题8分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②图见解析，或 【思路引导】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案； （3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）①当时，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$