专题03 实数及其简便运算（旧知复习篇）-2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题03 实数及其简便运算 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 1.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 2.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：运算法则中符号处理错误 在绝对值、相反数、倒数等运算中，学生易忽略符号变化。例如，|−a|不一定等于a，需先判断a的正负；负数的倒数符号易漏写。 易错知识点02：运算顺序与律法误用 复杂运算中易混淆运算顺序（如先乘除后加减），或错误使用分配律（如将a(b+c)误拆为ab+c） 易错知识点03：平方根与立方根运算混淆 例如，√(a²)=|a|（需分情况讨论a的正负），而³√(a³)=a（无论a正负）。学生可能将两者规则混用。 易错知识点04：数轴上的点对应错误 实数与数轴一一对应，但学生可能在表示无理数（如√2）时位置偏差，或误判线段长度（如将正方形边长与面积混淆导致坐标计算错误）。 易错知识点05：绝对值化简错误 例如，化简|c−a|−|b+a|时，需根据数轴上点的位置判断符号。若未正确分析a、b、c的大小关系，易导致结果错误。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.39（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．（本题2分）（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·陕西延安·期中）下面命题中，是真命题的是（　　） A．在同一平面内，两条直线不相交，则这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无理数不能用数轴上的点表示 D．非负数都有两个平方根 5．（本题2分）（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）如图，数轴上有、、、四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 7．（本题2分）（24-25七年级下·天津南开·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是数轴上唯一一个距离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若，则整数a的值为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 8．（本题2分）（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题2分）（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（本题2分）（23-24七年级下·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 12．（本题2分）（2025·陕西西安·三模）如图，数轴上点，表示两个连续的整数，点表示的数是，则点表示的数是 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南南阳·期中）定义新运算：，例如：，．若，则的值为 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 15．（本题2分）（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出50653的立方根是 ； 16．（本题2分）（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 17．（本题2分）（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 18．（本题2分）（24-25七年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是 ． 19．（本题2分）（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根 ． 20．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）在，，和这四个数中，位于2和4之间的数是 ． 三、解答题（共64分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2) 22．（本题6分）（24-25七年级下·重庆·期中）已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 23．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 24．（本题8分）（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 25．（本题8分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 26．（本题8分）（24-25七年级下·云南昆明·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 27．（本题10分）（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 28．（本题10分）（22-23七年级上·福建莆田·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方” 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______； （2）关于除方，下列说法错误的是______ .任何非零数的圈次方都等于 .对于任何大于等于的整数， . .负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方乘方幂的形式. （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______； （2）计算：． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优精讲练（旧知复习篇） 专题03 实数及其简便运算 模块一 资料简介 同学你好，该套讲义结合人教版数学七年级下册同步内容进行汇编整理，主要用于暑期学习预习使用，结合几何与代数内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：平行线的判定与性质；平方根与立方根；实数及其简便运算；用坐标描述几何图形及坐标的应用；二元一次方程组的应用；用一元一次不等式（组）解决问题等六个专题。对相关专题进行知识梳理，主要精选近两年各地名校期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！ 模块二 重点知识梳理精讲 1.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 2.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 模块三 易错考点点拨 易错知识点01：运算法则中符号处理错误 在绝对值、相反数、倒数等运算中，学生易忽略符号变化。例如，|−a|不一定等于a，需先判断a的正负；负数的倒数符号易漏写。 易错知识点02：运算顺序与律法误用 复杂运算中易混淆运算顺序（如先乘除后加减），或错误使用分配律（如将a(b+c)误拆为ab+c） 易错知识点03：平方根与立方根运算混淆 例如，√(a²)=|a|（需分情况讨论a的正负），而³√(a³)=a（无论a正负）。学生可能将两者规则混用。 易错知识点04：数轴上的点对应错误 实数与数轴一一对应，但学生可能在表示无理数（如√2）时位置偏差，或误判线段长度（如将正方形边长与面积混淆导致坐标计算错误）。 易错知识点05：绝对值化简错误 例如，化简|c−a|−|b+a|时，需根据数轴上点的位置判断符号。若未正确分析a、b、c的大小关系，易导致结果错误。 模块四 优选真题培优百分练 检测时间：100分钟 试题满分：100分 试题难度系数：0.39（较难） 一、选择题（共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了无理数的估算，实数的运算的规律，实数与数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键．先由题意可得，点的数为2，再整理得表示的数为，故表示的数为，，同理得，即可作答． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得；； 故选：D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法． 分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可． 【完整解答】解：∵，即， ，即， ，即， ∴，即 ∴， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【完整解答】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 4．（本题2分）（24-25七年级下·陕西延安·期中）下面命题中，是真命题的是（　　） A．在同一平面内，两条直线不相交，则这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无理数不能用数轴上的点表示 D．非负数都有两个平方根 【答案】A 【思路引导】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉这些性质定理．根据无理数的定义、平方根的概念、平行公理、同位角的概念判断即可． 【完整解答】解：A、在同一平面内，两条直线不相交，则这两条直线平行，故A是真命题，符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故B是假命题，不符合题意； C、无理数能用数轴上的点表示，故C是假命题，不符合题意； D、正数都有两个平方根，故D是假命题，不符合题意； 故选：A． 5．（本题2分）（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【思路引导】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义，再估算出，则，据此可判断①；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，据此可判断②；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，因为，故，同理得到的范围，进而得到的范围，据此可判断③． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设n为一个正整数，则，即， ∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s， ∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化， ∴正整数进行4次操作后变为1， ∴， ∴． ∴， ∴ ∴． ∴， 同理可得， ∴ ∵是正整数． ∴的最大值为65535．故③不正确； 故选：B。 6．（本题2分）（24-25七年级下·北京·期中）如图，数轴上有、、、四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】B 【思路引导】本题考查了实数与数轴，立方根，无理数的估算等知识，正确估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可求解． 【完整解答】解：A．，点表示的数大于，故选项说法错误，不符合题意； B． ，点表示的数在1和2之间，故选项说法正确，符合题意； C．，点表示的数在和3之间，故选项说法错误，不符合题意； D．，点表示的数大于4，故选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 7．（本题2分）（24-25七年级下·天津南开·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是数轴上唯一一个距离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若，则整数a的值为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【思路引导】本题主要考查的是估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据绝对值的定义、无理数的概念，依据夹逼法估算无理数大小的方法、依据算术平方根的定义进行判断即可． 【完整解答】解：A、轴上距离原点个单位长度的点表示的数是，所以说法错误，故此选项符合题意； B、是一个无理数，所以说法正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，所以整数a的值为3，所以说法正确，故此选项不符合题意； D、∵，∴可以表示面积为10的正方形的边长，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．（本题2分）（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【完整解答】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 9．（本题2分）（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【完整解答】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 10．（本题2分）（23-24七年级下·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可； 【完整解答】①，， ，故①错误； ②， ， 则或，故②错误； ③，， 则所有可能的值为，，，故③正确； ④， ， 即， ， ， ，故④错误； 综上所述；只有一个正确， 故选：A 二、填空题（共20分） 11．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【完整解答】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出结果为； 故答案为：． 12．（本题2分）（2025·陕西西安·三模）如图，数轴上点，表示两个连续的整数，点表示的数是，则点表示的数是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点，表示两个连续整数即可解答． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·河南南阳·期中）定义新运算：，例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了新定义，根据新定义可得当时，，当时，，解方程即可得到答案． 【完整解答】解；∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：或． 14．（本题2分）（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【完整解答】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 15．（本题2分）（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出50653的立方根是 ； 【答案】37 【思路引导】本题考查了立方根，无理数的估算及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【完整解答】解：，， ， 能确定50653的立方根是个两位数． ∵50653的个位数是3， 又∵， 能确定50653的立方根的个位数是3． 如果划去50653后面的三位653得到数50， 而， 则， 可得， 由此能确定50653的立方根的十位数是3， 因此50653的立方根是37， 故答案为：37． 16．（本题2分）（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 【答案】11或35 【思路引导】此题考查了平方根定义，立方根定义及无理数的估算，正确掌握各定义并利用进行计算是解题的关键． 根据平方根定义，立方根定义及无理数的估算，分别求出m、n、p，由此计算． 【完整解答】解：∵正数m的平方根为和， ∴， 解得或； ∴或 ∵是n的立方根， ∴，解得， ∴， ∴，即2是n的立方根， ∴； ∵p是的整数部分，， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或35． 故答案为：11或35． 17．（本题2分）（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键． 根据新定义得到，，，再根据a，b是两个连续的正整数，结合无理数的估算得到，再代入求值． 【完整解答】解：∵，． ∴，． ∵a，b是两个连续的正整数．，， ∴，． ∴． 故答案为：3． 18．（本题2分）（24-25七年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，根据作图得出的长，再求出点D到原点的距离，即可得出点D表示的数． 【完整解答】解：由题意得， ∵点A表示的数是1， ∴点D到原点的距离是， ∵点D在数轴的负半轴， ∴点D表示的数是． 故答案为：． 19．（本题2分）（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：3． 20．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）在，，和这四个数中，位于2和4之间的数是 ． 【答案】， 【思路引导】本题考查无理数的估计，解题的关键在于掌握无理数的估算方法．利用无理数的估算方法估算出，，的取值范围，即可解题． 【完整解答】解：， ， ， ， ， ， 位于2和4之间的数是，， 故答案为：，． 三、解答题（共64分） 21．（本题6分）（24-25七年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 22．（本题6分）（24-25七年级下·重庆·期中）已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【完整解答】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 23．（本题8分）（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，将所得的4个等腰直角三角形拼成一个大正方形． ①求正方形的边长； ②如图2，在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，交数轴的负半轴于点，直接写出点表示的实数． （2）请你参照（1）的方法，解决下面的问题： ①如图3，把5个边长为1的正方形排成一个长方形，将图3的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，并求出大正方形边长的值（图4中小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）； ②在①的条件下，数轴上点表示的数为，在图5的数轴上标出点． 【答案】（1）①；②；（2）①，图见解析；②见解析 【思路引导】此题考查了实数和数轴，算术平方根的应用， （1）①设正方形的边长为，根据题意得到，然后求解即可； ②根据点M的位置和的长度求解即可； （2）①根据题意得到，求出； ②根据在图5的数轴上标出即可． 【完整解答】解：（1）①设正方形的边长为，根据题意得，， ∵， ∴， ∴正方形的边长为； ②． （2）①在图3中画出裁剪线，在图4中画出大正方形如图所示； 根据题意，得， ∵， ∴； ②在数轴上标出点如图5所示． 24．（本题8分）（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 【答案】(1)①② (2)见解析 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根的应用，实数的大小比较等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意分析即可求解； （2）设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得，解得（舍负），那么长方形的宽为，分别计算方法①和方法②即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，两种方法均正确， 故答案为：①②； （2）解：选择①，他的想法可行，理由如下： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ， 解得（舍负）． 所以长方形的宽为． 设圆的半径为，根据题意得，， 解得， 所以该圆的直径． 因为，， 所以他的想法可行． 或选择②：他的想法可行，理由为： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ． 解得（舍负）， 所以长方形的宽为． 以为直径的圆的面积为． 因为，所以他的想法可行． 25．（本题8分）（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【思路引导】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【完整解答】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 26．（本题8分）（24-25七年级下·云南昆明·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)4；；8 (2) 【思路引导】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）结合阅读材料可求出m和n的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a和b的值，再结合阅读材料可求出c的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【完整解答】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为是4，小数部分为， ∴． （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴． ∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵，即， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 27．（本题10分）（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)①4；②2 (2)1，511 (3)存在，x的值为4或9 【思路引导】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算． （1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可； （2）根据立方根的定义列式求解即可； （3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【完整解答】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 28．（本题10分）（22-23七年级上·福建莆田·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方” 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______； （2）关于除方，下列说法错误的是______ .任何非零数的圈次方都等于 .对于任何大于等于的整数， . .负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方乘方幂的形式. （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______； （2）计算：． 【答案】，，；，， 【思路引导】初步探究：（1）利用除方的定义解答即可；（2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可；深入思考：（1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可；（2）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可． 【完整解答】解：初步探究： （1）， ，故答案为：，； （2）、，即任何非零数的圈次方都等于，故选项正确； 、，故选项正确； 、， ， ，故选项错误； 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，故选项正确， 故选：； 深入思考： （1）， ， 故答案为：，； （2） ． 【考点评析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$