精品解析：福建省泉州市永春侨中中学片区联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年春季永春侨中片区期中联考 八年级数学试题 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 命题人：刘秀真 审阅人：尤培森 一、单选题（共40分） 1. 下列各式：中,是分式的共有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A B. C. D. 4. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，点P在反比例函数图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，已知反比例函数的图像如图所示，将该曲线绕点顺时针旋转得到曲线，点是曲线上一点，点在直线上，连接、，若，的面积为，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（共24分） 11. 计算：______． 12. 若方程有增根，则方程的增根是__________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 14. 在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 15. 已知，则代数式的值为___________． 16. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0．618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，……，则的值为______． 三、解答题（共86分） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程和所用时间之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 ；上述过程中，小西所走的路程为 m； （2）若小西休息后爬山的平均速度是，求a的值． 21. 已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）当时，求的值 22. 已知一次函数． （1）求其图像经过的定点坐标． （2）若函数图像与直线平行，求k的值及此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为13元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进、两款玩偶共100个，且款的数量不小于款的，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 24. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 25. 【综合探究】 （1）如图①，平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季永春侨中片区期中联考 八年级数学试题 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 命题人：刘秀真 审阅人：尤培森 一、单选题（共40分） 1. 下列各式：中,是分式的共有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义可得答案，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：中， 是分式的有：， 共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，弄清分式的定义，注意π为常数是解答此题的关键． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解决此题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：分式有意义， ， ，   故选：A ． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 4. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：． 5. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般的，形如，（k，b为常数）的函数叫做一次函数，根据定义判断即可． 【详解】解：A．，符合一次函数的一般形式，符合题意； B．，自变量次数不为1，故不是一次函数，不符合题意； C．，不符合一次函数的一般形式，不符合题意； D．，不符合一次函数的一般形式，不符合题意； 故选：A． 6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．由中知随的增大而增大即可判断与的大小关系． 【详解】一次函数中， 随的增大而增大 ，中， ． 故选：C． 7. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简，掌握分式的性质，分式加减运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算法则计算即可，在进行分式运算后，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简形式． 【详解】解： ， 故选：A． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 如函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故选：C． 10. 如图，已知反比例函数的图像如图所示，将该曲线绕点顺时针旋转得到曲线，点是曲线上一点，点在直线上，连接、，若，的面积为，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k几何意义，一次函数和反比例函数综合，旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．解题的关键是掌握以上知识点． 将直线和曲线绕点O逆时针旋转，则直线与x轴重合，曲线与曲线重合，即可求解． 【详解】解：∵将直线和曲线绕点O逆时针旋转， 则直线与x轴重合，曲线与曲线重合， ∴旋转后点N落在曲线上，点M落在x轴上，如图所示， 设点M，N的对应点分别是， 过点作轴于点P，连接． ， ， ∴， ∴（舍）或， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 计算：______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据是整数，进行作答即可 【详解】解：， 故答案为： 12. 若方程有增根，则方程的增根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可． 【详解】解：∵方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题． 根据一次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴； 故答案：． 15. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0．618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，……，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，再利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题（共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案。 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程和所用时间之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 ；上述过程中，小西所走的路程为 m； （2）若小西休息后爬山的平均速度是，求a的值． 【答案】（1）5，450 （2） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，弄清各段图象所表示的意义，利用数形结合的思想进行分析解答． （1）根据函数图象中的数据，小西在第10分钟时开始休息，第15分钟时结束休息，故休息用了5分钟，有图象可知所走的路程是多少； （2）由题意根据函数图象中的数据和题干条件，可以计算出a的值． 【小问1详解】 由图象可得：小明中途休息用了，上述过程中，小明所走的路程为， 故答案为：5，450； 【小问2详解】 由题意可得：， 解得，， 即a的值是25． 21. 已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）当时，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案； （2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：与成反比例， 设 与成正比例， 设 ， 当时，，当时，． ，解得 与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 已知一次函数． （1）求其图像经过的定点坐标． （2）若函数图像与直线平行，求k的值及此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1） （2），函数图像与两坐标轴围成三角形面积为 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质，一次函数的和几何综合，求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先将变形为，然后令求解即可； （2）根据题意求出，得到函数表达式为，然后求出与x轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，进而求解即可． 【小问1详解】 令，即，当时， 该函数图像经过的定点坐标为； 【小问2详解】 函数的图像与直线平行 ， 此时函数表达式为 当时， ，即与x轴的交点坐标为 当时，，即与轴的交点坐标为 此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积为． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为13元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进、两款玩偶共100个，且款的数量不小于款的，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元 （2）购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为450元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，则购进款个，先根据“款的数量不小于款的”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， 根据题意，可得，解得 经检验，是该方程的解， ， 答：款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元． 【小问2详解】 解：设购进款个，则购进款个， ∵款的数量不小于款的， ， 解得：， 设总利润为，则 ， 随的增大而减少， 当取得最小整数解25时，取得最大值，最大值为 此时，则 答：购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为450元． 24. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）3，6 （2），4 （3）当时，分式取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，分式加减乘除混合运算，利用二次根式的性质化简，解题关键是理解新定义运算． （1）先设，，可得出，将，，代入后根据当且仅当时式子有最小值，求出及最小值即可； （2）先将已知式子化为，再根据为整数，且为整数，得出关于的方程求解； （3）先将式子化为，再得出，然后根据当且仅当时式子有最小值，求出及原式的最大值． 【小问1详解】 解：设，，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； 小问2详解】 解： 为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：，4； 【小问3详解】 解： ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为6， 当时，分式取到最大值，最大值为． 25. 【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②由于D是正比例函数图象上的动点，根据垂线段最短，当时，取得最小值，利用勾股定理求得，证明，可得； （2）过点作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E,可证得，设，则，，建立方程求得，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （3）设，，过点P作轴于点E，过点Q作于点F，证得，分两种情况：当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，分别求得点Q的坐标即可． 【详解】解：（1）①在中，令，得， 解得：， ∴， 令，得， ∴， 故答案为：，； ②∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴AD的最小值是， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点， ∴，， 将直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图2， 过点B作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， 把，分别代入得， 解得：， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）设，，又， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$