专题09 几何综合解答题压轴（2个压轴题型）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（四川专用）

专题09 几何综合解答题压轴 题型概览 题型01几何综合之三角形相关问题 题型02几何综合之四边形关问题 几何综合之三角形相关问题题型01 1．（2025·四川资阳·二模）如图，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接． (1)求证∶ ； (2)如图2， 当时， 求 的长； (3)点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）解直角三角形得到，由，推出得到，由，得到，即可求出AE； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，过点作于点，过点作于点，于点，则，由得到，推出，得到，再利用等腰三角形的性质求出的长即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）过点作于点. 在中，设，则， 由勾股定理，得， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得， 过点作于点，过点作于点，于点， 则， 四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，由勾股定理，得， ，， ． ， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， 又， ， ， 所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时． 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，． (1)求证：． (2)如图①，当时，求的长． (3)如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，过点C作于点H，过点B作于点G．先求得，，推出，又，得到，据此求解即可； （2）连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．令，，设．求得，∴，推出，证明，推出，，在中，解直角三角形，得到，，，在等腰三角形中，列式，计算即可求解； （3）在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．求得，在中，解直角三角形得，推出，，．再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G． ∵，， ∴． ∴，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接． 令，， 设．由（1）可得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，即， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴，，． 在等腰三角形中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得， 即当时，的长为； （3）解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在中，由（2）可得． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，∠B=90°，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作△ADE，使得． 【初步感知】 （1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作于，则，证明，求出，，，再证明，设，则，求出或，最后由正切的定义计算即可得解； （3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出，即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，即， ∴； （2）如图，作于，则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， 经检验，当或是所列分式方程的解，且符合题意， ∴或， ∴， ∴的值为或； （3）如图，连接， 由（1）可得， ∴， ∵P为的中点． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， 设，则，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 4．（2025·四川成都·二模）在平行四边形中，，点是对角线上一动点（点不与点，点重合），点是边上一动点（点不与点，点重合），且，连接，． (1)将沿对角线翻折后，发现点与点重合，连接，且与交于点，如图所示，求证：； (2)如图2所示，在（1）的条件下，当点，点移动到某个位置时，连接，若，点在线段上，且．求证：是线段中点； (3)如图3所示，在（1）的条件下，分别取，的中点，，连接交于点，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或，理由见解析 【分析】（1）根据翻折的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，证明得出，进而根据三角形的外角的性质得出，进而证明； （2）延长至点，使，连接，，证明，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，设，则，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，勾股定理求得设，则，勾股定理求得，根据，利用余弦的定义得出，进而勾股定理求得的长，求得，即可求解． （3）延长至点使，连接，，取中点，连接，，，证明是等边三角形，证明，得出，根据，，等量代换可得． 【详解】（1）证明：由翻折可知， 又∵四边形是平行四边形，， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长至点，使，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 设，则，， 在图中，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 设，则，由勾股定理可得， ，， ∴， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是线段的中点； （3）或， 理由如下： 延长至点使，连接，， 取中点，连接，，， 由（）得， 是等边三角形， ，分别是，的中点，， ， ， 是等边三角形， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的中点， ∴即 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又， 垂直平分， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 又，有， ，， ， ， 又，， ∴． 5．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当，时，连接； 若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数： 当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)；或 【分析】（1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）连接，过点作于点，先得出和是等腰直角三角形，利用，求得，可知点，，共线，设，利用，求出，得，解可得，则，可得，即可求解； 设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， 得出，，，，分两种情况：①当点在轴右侧时， 得出，设，则，证明，得出，，则可得，求出直线解析式为，由在直线上，得出，求解得出，得出，，即可求解；②当在轴左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴点，，共线， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， ∵，， ∴，，，， 当点在轴右侧时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵为的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 代入， 得， ∴直线解析式为， ∵在直线上， ∴， 化简得， 解得：（负值舍）， ∴，， 则； 当在轴左侧时，如图， 同理求得， 同理得，， 则； 综上所述，或． 6．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3）存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 【分析】（1）根据等边对等角推出后可证，由相似三角形的性质可得，代入，即可得解； （2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，再结合勾股定理求出，即可得，推得，再由等腰直角三角形的性质推得，列出方程后求出、，最后结合勾股定理即可得解； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时． 【详解】解：（1）如图，当点和点重合时， 根据题意得， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点， 设， ， ， 在中， 在中， 在中， ， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点，设交于点， 设， 分两种情况讨论： ①如备用图，点，在异侧时，若， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中； ②如备用图，点，在同侧时，若， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中， 综上所述，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 7．（2025·四川达州·二模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【答案】(1)，(2)或(3) 【分析】（1）证明，相似比为，可以看做绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出长，即可求出； （3）延长到G使得，连接，，则为等腰直角三角形，求出，证明，根据三角形三边关系求出取值范围，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形， ∴，，， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴当时，、、三点在一直线上时， 在中，∵， ∴， 如图2，当点在线段上时， ， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上所述，当时，线段的长为或； （3）解：延长到G使得，连接，， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵M为中点，F为中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 8．（2025·四川·二模）如图1，在△ABC中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解；(2)①证明见详解；②或或． 【分析】（1）由等边对等角可得：，，，继而得到，再由三角形内角和定理得到，然后得到，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①由翻折可知：，，再结合已知条件可得到，再令，，由翻折可知：，，继而得到，即可证明； ②分三种情况：，，进行讨论，通过角度之间的转换得到边相等，进而求出的长． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）①证明：由翻折可知：，， ，， ，， ， 令，， ，， ， ， 由翻折可知：，， ， ， ， 又， ； ②是等腰三角形， 可以分为三种情况，分别是：，，， 第一种情况： 当时，， ， ∵四边形是平行四边形， 点、、分别是、、的中点，此时点与点重合， ； 第二种情况： 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图3： 在中，， ， ， ， 在中，， ； 第三种情况： ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图4： 在中，， ， ， ， 综上所述：的长为或或． 9．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 【答案】(1)证明过程见详解(2)(3) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意是等边三角形，由旋转的性质得到， ，，，，由此即可求证； （2）根据题意可得，，，，，，，，，，由此即可求解； （3）作于点G，可证，，，，，当最小时，此时，作于点H，，，可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， 平分， ， ，， ， ，， ，，， ，， ； （2）解：由（1）得， ，， ，， ，， ，，， ，     ， ， ， ； （3）解：作于点G， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，     当最小时，此时，作于点H， ，， ，， ， ， ∴． 几何综合之四边形关问题题型02 1．（2025·四川乐山·二模）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到； （2）根据等腰三角形 到现在得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （3）在上截取，由四边形是平行四边形，得到，求得，同（1）（2）题证明得． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 证明：（2）， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同（1）（2）题证明得． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）证明四边形是矩形得，再根据三角函数和勾股定理求出，进而得解； （2）连接，设与交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而求出和，从而得解； （3）由是等腰三角形，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，点和点重合， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，设与交于点， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的值是； （3）①当时，如图，连接，交AC于， 由（2）知：四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，作射线， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，当时，最小， 此时四边形仍为菱形， 由①知：， ∴， ∴， ∴不成立； ③当时，点在CD的垂直平分线上， 如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴点在上， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 3．（2025·四川眉山·二模）已知点E正方形内部一点，且 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点P，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点F，当点F是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点F，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）可得出，，从而得出结论； （2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得， 从而得出； （3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点E作作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 设，则， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即； （3）解：如图， 当时，则， 设， 分别延长，，分别交于，交于， ， 、、、共圆， ， ； ∵， ∴， 又∵ ， ， ， ， ，即； 当时，则， 同理可得：， ， 同理可证明 ， ， ，即 综上所述：的值为或． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，连接．若点由点出发以每秒个单位长度的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒． (1)当点在边上（含端点）时，求的取值范围； (2)当时，求的值； (3)如图②，当时，过点作，与交于点，在射线上有一动点，连接，当时，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（）由题意可得动点的移动路程是，即得，解不等式即可求解； （）分点在上、点在上和点在上三种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解； （）当点在上时，可得，由得，即得，解得，得到当时，，此时，即为的中点，由平行线等分线段定理得，即得，作点关于直线对称的点，连接交于点，则，过点作，垂足为，连接交直线交于点，设与相交于点，可知当点与点重合时，有，即得当时，，利用求得，得到，再分别利用和求出和即可求解； 本题考查了不等式的应用，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，动点的移动路程是， 当点在上时，则有， 解得； （2）解：由题意得，点的移动路程为，点的移动路程为， 当点在上时，则，即时，如图③， 若，则有， ∴， 即， 解得， ∵， ∴此情况不成立； 当点在上时，即，即时， 如图④，过点作，垂足为， ∴， ∴, 若，则有， ∴， 即， 解得， ∵， ∴符合题意； 当点在上时，不能与垂直； 综上所述，当时，； （3）解：当点在上时，， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，，此时，即为的中点， ∴， ∴， 如图⑤，作点关于直线对称的点，连接交于点，则， 过点作，垂足为，连接交直线交于点，设与相交于点， 当点与点重合时，有， ∴当时，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 5．（2025·四川绵阳·三模）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． (1)求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）． (2)当时，求的长． (3)试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)或(3)的值不变，为 【分析】（1）根据正方形的性质得，，，进而得，即可证明，得，再得，再根据平行线的判定定理可得结论； （2）分两种情况：①如图1，证明，得，即可求的长；如图2，同理证明，可求的长； （3）如图1，连接，由和，证明，得；利用图2，同理可以求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， 分以下两种情况： ①如图1，∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ②如图2，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 综上所述，或； （3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化． 如图1，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 如图2，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，的值不变，为． 6．（2025·四川南充·二模）如图1，在正方形中，为射线上一动点，，，与关于对称，与相交于点． (1)当在线段上时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）连接交于T，由轴对称的性质可得，，再由正方形的性质可得到，则，根据等边对等角和三角形内角和定理可导角得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，证明，得到，设，则，由勾股定理得；过点D作于H，由等面积法可得，则，即可得到； （3）分点E在线段上和在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于T， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点E在线段上时，， ∴， ∵，且， ∴，即， ∵，， ∴， ∴点E必须在中点的右侧或中点处， ∴此时， ∵点E在点A时，有最大值，有最小值， ∴此时最大值为， ∴此情形下，一定不能满足； 当点E在线段的延长线上时， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，． 7．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F； ①求证：； ②当时，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3）C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或 或 【分析】（1）先判定，进而由相似三角形对应边成比例求解． （2）①由可得，进而证明A、D、F、E四点共圆．从而得到，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证得结论； ②由可得，进而得出，证得，再由为梯形的中位线，在中由勾股定理求出的长度． （3）绕点A逆时针旋转，则点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动，在旋转角不大于时，分三种情况：①时，②时，③当时，分别 求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，． 在和中，，， ∴． ∴； （2）①证明：连接． ∵ ∴． 在四边形中，． ∴A、D、F、E四点共圆． ∴， ∵是等腰三角形， ∴． ②如图，作交于点F．由于，则． 由可得， 又∵， ∴， ∴， 由①知点F为中点， ∴为梯形的中位线， ∴，． 在中，． （3）∵ ∴， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动， 由（2）①知：， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 在旋转角不大于时，分三种情况： ①时，连接，过点D作于N，过点E作交延长线于M，如图， ∵ ∴ ∴A、B、C、F四点共圆， ∴ ∵ ∴ ∴即， 设，则，， ∵，， ∴， 由（2）①知：， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴； ②时，如图，连接， 则 由（2）①知：， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴A、D、C三点共线， ∴ ∴ ∴； ③当时，过点C作于P，过点E作交延长线于Q如图， ∵，， ∴ ∴，即， 设，则，， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 在中，由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴； 综上，C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或 或． 8．（2025·四川成都·二模）关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在△ABC中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：△BCF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）是定值， 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，得出，得出，再证明，利用，求出，设，则，利用，求出，则可求出，利用，求出，则可求出，最后利用勾股定理即可求解； （3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，证明四边形是矩形，得，证明，可得，证明，可得，再证明，求得，则可得，利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 得：， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值． 9．（2025·四川达州·二模）探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． (1)【特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； (2)【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； (3)【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】(1)(2)；见解析(3)(4)或 【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （2）猜想，如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）当时，在上取一点，使得，则是等边三角形．先证明得出，进而根据证明，根据相似三角形的性质，即可求解，，当时，同理根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵当四边形是正方形，． ∴． ∴． 又∵． ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：猜想，证明如下： 如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． （3）解：如图，延长，使． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． （4）如图，当时，在上取一点，使得， ∵平行四边形中，是边的中点， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 解得：， ∴， 如图所示，当时，则 过点F作，垂足为J，则， ． ∴， ． ∵ ∴即， ∴, ∵． ∴ ．即， ∴， ， ∴． ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长度为或． 10．（2025·四川绵阳·二模）如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点． (1)当与△ABC相似时，求的值． (2)记的面积为，求关于的函数解析式． (3)如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断，利用二次函数的解决实际问题，翻折问题，全等三角形的判定，三角函数比等知识点，解题的关键是正确理解题意，列出关系式，作出辅助线． （1）利用三角形的相似即可解答此题； （2）分情况讨论点的位置，利用相似三角形的性质，表示出关于的函数解析式； （3）作出辅助线，利用全等三角形和三角函数比即可求解． 【详解】（1）解：要使与相似，还需． ∴当点运动到时，． 此时， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，当点在上运动，即时， 由可得， ∴， ∴（当时也符合此式）． 如图2，当点在上运动，即时，． 此时，由可得， ∴． ∴． 又， ∴（当时也符合此式）． ∴ （3）解：存在． 当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3． 由对称性可知：，． 在和中， ∴， ∴，即是的中点， ∴此时点与点重合，． 由得， ∴． 当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻． 综上所述，． 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何综合解答题压轴 题型概览 题型01几何综合之三角形相关问题 题型02几何综合之四边形关问题 几何综合之三角形相关问题题型01 1．（2025·四川资阳·二模）如图，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接． (1)求证∶ ； (2)如图2， 当时， 求 的长； (3)点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，． (1)求证：． (2)如图①，当时，求的长． (3)如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，∠B=90°，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作△ADE，使得． 【初步感知】 （1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 4．（2025·四川成都·二模）在平行四边形中，，点是对角线上一动点（点不与点，点重合），点是边上一动点（点不与点，点重合），且，连接，． (1)将沿对角线翻折后，发现点与点重合，连接，且与交于点，如图所示，求证：； (2)如图2所示，在（1）的条件下，当点，点移动到某个位置时，连接，若，点在线段上，且．求证：是线段中点； (3)如图3所示，在（1）的条件下，分别取，的中点，，连接交于点，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 5．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当，时，连接； 若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数： 当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值． 6．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 7．（2025·四川达州·二模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 8．（2025·四川·二模）如图1，在△ABC中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 9．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 几何综合之四边形关问题题型02 1．（2025·四川乐山·二模）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 3．（2025·四川眉山·二模）已知点E正方形内部一点，且 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点P，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点F，当点F是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点F，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，连接．若点由点出发以每秒个单位长度的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒． (1)当点在边上（含端点）时，求的取值范围； (2)当时，求的值； (3)如图②，当时，过点作，与交于点，在射线上有一动点，连接，当时，求的取值范围． 5．（2025·四川绵阳·三模）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． (1)求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）． (2)当时，求的长． (3)试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 6．（2025·四川南充·二模）如图1，在正方形中，为射线上一动点，，，与关于对称，与相交于点． (1)当在线段上时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 7．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F； ①求证：； ②当时，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 8．（2025·四川成都·二模）关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在△ABC中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：△BCF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 9．（2025·四川达州·二模）探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． (1)【特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； (2)【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； (3)【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 10．（2025·四川绵阳·二模）如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点． (1)当与△ABC相似时，求的值． (2)记的面积为，求关于的函数解析式． (3)如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $$