第01讲 平方根与立方根（6知识点+8大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第01讲 平方根与立方根（6知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点02：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点04：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点05：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点06：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 【题型1 求一个数的算术平方根】 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)2.25； (2)． 【变式1-1】求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4) 【变式1-2】求下列各数的算术平方根： (1)64 (2)0.25 (3) (4) 【题型2与算术平方根有关的规律探索题】 【例2】已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值． （1）_______； （2）____________； （3）_________； （4）______________； （5）___________； （6）_____________． 【变式2-1】已知，则= . 【变式2-2】已知 那么 ． 【变式2-3】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 【题型3 求一个数的平方根】 【例3】求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 【变式3-1】求下列各数的平方根． (1)25； (2)； (3)． 【变式3-2】求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】求下列各数的立方根． (1)216； (2)1； (3)． 【变式4-1】求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【变式4-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 与立方根有关的规律探索题】 【例5】填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ……. … … （1） 数a与它的立方根的小数点的移动有何规律? （2） 根据这个规律，若已知，求a的值． 【变式5-1】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【变式5-2】已知，，，，则 ． 【变式5-3】若，，，则= ． 【变式5-4】若，则与的数量关系是： ． 【变式5-5】若，，则 ， ． 【题型6 化简及求值问题】 【例6-1】求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【例6-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】化简： (1) (2) (3) 【变式6-2】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【变式6-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 利用平方根、立方根解方程】 【例7】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 【变式7-1】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【变式7-2】解方程 (1)； (2)． 【变式7-3】求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【题型8 算数平方根、平方根、立方根综合应用】 【例8-1】计算：． 【例8-2】已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式8-1】计算 【变式8-2】已知的平方根是，的立方根是，求的值． 【变式8-3】已知与互为相反数，求的立方根． 【变式8-4】已知的算术平方根是2，的立方根是， (1)求a，b的值； (2)求的平方根. 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是 B．8的立方根是 C．没有立方根 D．9的平方根是3 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海闵行·期末）方程的解是 ． 7．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 8．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）的平方根是 ． 9．（23-24七年级下·上海·期末）如果，那么 . 10．（22-23七年级下·上海青浦·期中）的立方根是 ． 11．（2024七年级下·上海·专题练习）化简： ． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）的平方根是 ． 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    三、解答题 14．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 15．（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 16．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 17．若和是同一个数的平方根，求这个数． 18．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 19．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 20．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根与立方根（6知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点02：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点03：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点04：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点05：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点06：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 【题型1 求一个数的算术平方根】 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)2.25； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根．一个正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的意义，即可解答； （2）根据算术平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：因为， 所以2.25的算术平方根是1.5，即； （2）解：， 所以289的算术平方根是17，即． 【变式1-1】求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4) 【答案】(1)14 (2) (3)0.2 (4)10 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，根据定义，“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 的算术平方根记为．”掌握算术平方根的概念即可解决问题． 【详解】（1）解： ， 196的算术平方根是14，即． （2）解： ， 的算术平方根是，即． （3）解： ， 的算术平方根是，即． （4）解： ， 的算术平方根是，即． 【变式1-2】求下列各数的算术平方根： (1)64 (2)0.25 (3) (4) 【答案】(1)8 (2)0.5 (3) (4)0.1 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，关键是掌握求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． （1）根据算术平方根的定义解答即可； （2）根据算术平方根的定义解答即可； （3）根据算术平方根的定义解答即可； （4）先把被开方数化为小数，再根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型2与算术平方根有关的规律探索题】 【例2】已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值． （1）_______； （2）____________； （3）_________； （4）______________； （5）___________； （6）_____________． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理． 【变式2-1】已知，则= . 【答案】0.1414 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】直接根据“被开方数的小数点每向左或向右移动两位其算术平方根的小数点向相应的同方向移动一位”这一规律进行解题即可． 【详解】解：∵，的小数点向左移动位变为， ∴， 故答案为：0.1414． 【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，充分理解算术平方根的意义是解本题的关键． 【变式2-2】已知 那么 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ； 故答案为： 【变式2-3】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 【答案】（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】解：（1）x＝0.1，y＝10， 故答案为0.1，10； （2）①∵≈3.16， ∴＝31.6， ②＝1.8， ∴a＝32400， 故答案为：31.6，32400； （4）∵， ∴b＝0.012， 故答案为：0.012 【点睛】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． 【题型3 求一个数的平方根】 【例3】求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据平方根的定义计算即可．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根． 【详解】（1）解： 的平方根为； （2）解：， 的平方根为； （3）解：， 的平方根为． 【变式3-1】求下列各数的平方根． (1)25； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是． 【变式3-2】求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】求下列各数的立方根． (1)216； (2)1； (3)． 【答案】(1)6 (2)1 (3) 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． （1）根据立方根的概念进行计算即可． （2）根据立方根的概念进行计算即可． （3）根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 的立方根是6，即； （2）解：， 的立方根是1，即； （3）解：， ， 的立方根是，即． 【变式4-1】求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【答案】(1)－10 (2)－7 (3) 【知识点】求一个数的立方根 【变式4-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)－1 (2)7 (3)0.3 (4) 【题型5 与立方根有关的规律探索题】 【例5】填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ……. … … （1） 数a与它的立方根的小数点的移动有何规律? （2） 根据这个规律，若已知，求a的值． 【解析】（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点 相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：． 【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式5-1】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【变式5-2】已知，，，，则 ． 【答案】1.285 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．据此进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1.285 【变式5-3】若，，，则= ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式5-4】若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式5-5】若，，则 ， ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查求一个数的立方根，立方根的规律问题．根据被开立方的数的小数点向左每移动3位，则开立方的结果的小数点向左移动1位，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为： ；． 【题型6 化简及求值问题】 【例6-1】求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是求解算术平方根，平方根，直接利用算术平方根与平方根的含义求解即可； （1）由，可得答案； （2）由，结合相反数的含义可得答案； （3）由，可得答案； （4）由，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）， （3）； （4）． 【例6-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查算术平方根与立方根， （1）根据算术平方根的意义求解即可； （2）根据立方根的意义求解即可； （3）根据算术平方根的意义求解即可； 掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【变式6-1】化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】（1）利用算术平方根的性质化简即可； （2）被开方数化成假分数，再利用算术平方根的性质化简即可； （3）利用算术平方根的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 【变式6-2】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据平方根和算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，根据定义内容计算是解题关键． 【变式6-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根； （1）由，结合算术平方根的含义可得答案； （2）由，结合平方根的含义可得答案； （3）由，结合立方根的含义可得答案； （4）由，结合立方根的含义可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 【题型7 利用平方根、立方根解方程】 【例7】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根或立方根解方程， （1）先变形为，然后利用平方根的定义得到x的值； （2）先利用立方根的定义得到，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【变式7-2】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键． （1）直接根据平方根解方程即可； （2）直接根据立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 【变式7-3】求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根，立方根解方程，掌握平方根、立方根的计算是解题的关键． （1）运用平方根的计算可得，由此即可求解； （2）先移项得，等式两边同时除以，再根据立方根的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： 等式两边同时开方得，， 移项得，， ∴； （2）解： 移项、合并得，， 两边同时除以得，， 等式两边同时开立方得 ，， 移项、合并得，， 等式两边同时除以得，． 【题型8 算数平方根、平方根、立方根综合应用】 【例8-1】计算：． 【答案】． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【例8-2】已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【变式8-1】计算 【答案】7． 【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 【变式8-2】已知的平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 【变式8-3】已知与互为相反数，求的立方根． 【答案】2 【详解】解：由题意，得， 的立方根是2． 【变式8-4】已知的算术平方根是2，的立方根是， (1)求a，b的值； (2)求的平方根. 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】（1）4的算术平方根是2，的立方根是，据此即可求解； （2）先求出的值，即可计算． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，. （2）解：∵，，， ∴的平方根为. 【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．熟记相关定义即可． 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 2．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根与立方根，掌握求解算术平方根与立方根的方法是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； 不能化简，故D不符合题意； 故选C 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是 B．8的立方根是 C．没有立方根 D．9的平方根是3 【答案】A 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义进行选择即可． 【详解】A、的平方根是，故A正确； B、的立方根是2，故B错误； C、的立方根是，故C错误； D、的平方根是，故D错误； 故选：A． 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的性质，立方根的性质，一一进行计算与判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海闵行·期末）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了高次方程．由，可得结果． 【详解】解：，， ； 方程的解是． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】0 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据立方根的定义进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：0 8．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先根据算术平方根的意义化简，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴的平方根是 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海·期末）如果，那么 . 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·上海青浦·期中）的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂，求一个数的立方根，由负指数幂求出，由立方根的定义，即可求解；掌握“（）；若，则叫做的立方根，．”是解题的关键． 【详解】解：， ， 的立方根是， 故答案为：． 11．（2024七年级下·上海·专题练习）化简： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求一个数的平方根的运算，根据平方根的意义计算即可． 【详解】解：， 即的平方根是， 故答案为： 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长是，即， 故答案为：． 三、解答题 14．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，准确计算． 15．（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 【答案】，． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，方程两边除以，得到，再根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即，， ∴，． 16．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）若，求的平方根． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：，      ∴， 即的平方根是． 17．若和是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】或． 【知识点】平方根的应用 【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出，然后可求得这个数． 【详解】解：当时， 解得：， ， 则这个数为． 当时，解得， 故， 则这个数为 综上所述，这个数为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 18．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 【答案】49 【知识点】相反数的应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为． 19．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)右，一 (3)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； （3）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； ②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：根据算术平方根的定义得， ， 故答案为：0.1，10； （2）解：由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位， 则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 故答案为：右，一； （3）解：①∵， ∴， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， ∴的值为600． 20．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$