第08讲 二次函数的概念与y=ax²的图象和性质（2知识点+4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第08讲 二次函数的概念与y=ax²的图象和性质 （2知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点02：二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 【题型1 列二次函数关系式】 【例1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 【变式1-2】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知长方形的边长分别为6厘米、8厘米，如果将它的长和宽都增加厘米，那么它增加的面积关于的函数解析式为 平方厘米． 【变式1-3】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【题型2 二次函数的识别】 【例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据二次函数的定义求参数】 【例3】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【变式3-3】已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式3-4】已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【题型4 y=ax²的图象和性质】 【例4-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果的图像是抛物线，那么 ． 【例4-2】（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 【例4-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 【例4-4】抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标． 【例4-5】观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”） 【变式4-4】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【变式4-5】已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式4-6】如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 1、判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑： ①二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数； ②将解析式化简后再进行判断； ③对于二次项中含有字母的，一定要考虑二次项系数不等于零的限制条件． 2、对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围． 3.二次函数的图像： （1）一般地，二次函数 （其中a是常数，缺a≠0）的图像是抛物线 ．这时， 是这条抛物线的表达式． （2）抛物线 的特征：抛物线 （其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线，，共有的性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同 3．（2024·上海普陀·一模）下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 4．（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 二、填空题 6．（2023·上海宝山·一模）如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 7．已知二次函数，当时，函数的值是 ． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 10．（2022·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 11．函数与的图象关于 轴对称，也可以认为是函数的图象绕 旋转 得到的． 三、解答题 12．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 13．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 15．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数的概念与y=ax²的图象和性质 （2知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点02：二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 【题型1 列二次函数关系式】 【例1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式1-2】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知长方形的边长分别为6厘米、8厘米，如果将它的长和宽都增加厘米，那么它增加的面积关于的函数解析式为 平方厘米． 【答案】/ 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先表示出边长增加后的长方形的长宽，计算出边长增加后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：边长增加后的长方形的长为：厘米，宽为厘米， 边长增加后的长方形的面积为： 平方厘米， 原长方形的面积为：平方厘米， 它增加的面积为：， 它增加的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积． 【变式1-3】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【题型2 二次函数的识别】 【例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 【变式2-1】（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（为常数且）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是二次函数，故该选项不符合题意； B． ，不是二次函数，故该选项不符合题意； C． 是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； D． 是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，故不符合题意； B、是二次函数，故符合题意； C、不是二次函数，故不符合题意； D、是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 【题型3 根据二次函数的定义求参数】 【例3】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 【答案】8 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 【变式3-4】已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数、求一元一次不等式的解集、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可． （2）形如 （为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：若函数为一次函数， 则有， 解得， 所以，当时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得且， 所以，当且时，此函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义、解一元二次方程及解不等式等知识，理解并掌握一次函数和二次函数的定义是解题关键． 【题型4 y=ax²的图象和性质】 【例4-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果的图像是抛物线，那么 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 【例4-2】（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 【例4-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．先判断出点也在函数的图像上，再利用二次函数的增减性判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴时的函数值等于时的函数值，即点也在函数的图像上， ∵二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点、、在函数的图像上，， ∴， 故答案为：． 【例4-4】抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标． 【答案】或 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】将代入求解即可． 【详解】∵抛物线上一点到轴的距离为8，则点纵坐标为， 把代入得、． ∴该点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是把代入求解． 【例4-5】观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 【变式4-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意可知，在对称轴左侧y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 【变式4-4】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、y=ax²的图象和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 【变式4-5】已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 【变式4-6】如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】y=ax²的图象和性质、求一次函数解析式 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 1、判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑： ①二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数； ②将解析式化简后再进行判断； ③对于二次项中含有字母的，一定要考虑二次项系数不等于零的限制条件． 2、对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围． 3.二次函数的图像： （1）一般地，二次函数 （其中a是常数，缺a≠0）的图像是抛物线 ．这时， 是这条抛物线的表达式． （2）抛物线 的特征：抛物线 （其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键．直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】A．不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是一次函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是二次函数，故本选项符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．抛物线，，共有的性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线，开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键． 3．（2024·上海普陀·一模）下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：抛物线和抛物线， 它们的对称轴都是轴，故选项A不符合题意； 抛物线在轴左侧的部分是下降的，抛物线在轴左侧的部分都是上升的，故选项B符合题意； 它们的开口方向相反，故选项C不符合题意； 顶点都是原点，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随的值增大而增大，不符合题意； C. ，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 5．（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 二、填空题 6．（2023·上海宝山·一模）如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象可进行求解． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．已知二次函数，当时，函数的值是 ． 【答案】-1 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将x的值代入计算即可； 【详解】解：当时 ==-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】解：二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的， 抛物线开口向下， ∴， ， 故答案为：． 10．（2022·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解． 【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为， ∴二月份的为 三月份的为 第一季度的总产值为（亿元），则 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 11．函数与的图象关于 轴对称，也可以认为是函数的图象绕 旋转 得到的． 【答案】 原点 /180度 【知识点】y=ax²的图象和性质、坐标与图形变化——轴对称、根据旋转的性质求解 【分析】由函数与的图像开口方向相反，顶点坐标为原点即可求解． 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中画出函数与的图像，    由函数与的图像开口方向，顶点坐标可得， 函数与的图像关于轴对称， 也可以确定函数的图像是由函数的图像绕原点旋转得到， 故答案为：，原点，． 【点睛】本题考查了抛物线在平面直角坐标系中的几何变换，熟练掌握轴对称、旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 12．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 13．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 14．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【详解】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2； (2)由题意得，3a-2＜0，解得； (3)由题意得，，解得，； (4)由题意得，， 解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0， ∴a＝1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值. 15．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 【详解】（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$