第07讲 解直角三角形（2知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第07讲 解直角三角形（2知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01;解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点02：解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 【变式1-4】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中，，点是BC边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，如果，那么点到直线的距离是 ． 【变式1-5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． (1)如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； (2)如图②，锐角中，，，，的面积为S．求证：； (3)如图③，锐角中，，，，是的平分线，运用（2）结论，求的长． 【题型2 解非直角三角形】 【例2-1】在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 【例2-2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 【例2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【变式2-1】等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 【变式2-2】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【变式2-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【变式2-4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【题型3 仰角俯角问题】 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小进利用无人机来测量广场、两点之间的距离，如图所示，小进在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是．此时从无人机测得广场处的俯角为，小进抬头仰视无人机时，仰角为，若小进的身高，（点、、、在同一平面内）．（参考数据：，，，） (1)求仰角的正弦值； (2)求、两点之间的距离．（结果精确到）． 【变式3-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 【变式3-2】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【变式3-3】（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【变式3-4】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【题型4 方位角问题】 【例4】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，、为一公司的两个分部，为了方便，两分部的联系和沟通，现准备在距离的，两分部之间修筑一条笔直的公路（如图中的线段，经测量，在地的北偏东方向，地的北偏西方向的处有一半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 【题型5 坡度坡比问题】 【例5】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 【变式5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6米，如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为6米，则相邻两树间的坡面距离是 米． 【变式5-3】（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【变式5-4】（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 【变式5-5】（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直）， (1)古树的高度约为多少米？ (2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计） （参考数据：， 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（    ） A．9米 B．米 C．米 D．米 3．（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 4．（2025·上海虹口·二模）如图1，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（　　） A．6 B．6.4 C．8 D．10 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连交于点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④；⑤点到的距离为．其中正确结论个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2025·上海闵行·三模）在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)． 8．（2025·上海普陀·二模）如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么 ． 9．（2025·上海崇明·三模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ． 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么 ． 12．（2025·上海奉贤·三模）在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时 ． 三、解答题 13．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 15．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 16．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 17．（24-25九年级下·上海·开学考试）如图，在梯形中，，是该梯形中位线． (1)若求四边形的面积． (2)连接． ①若求的值． ②若的一条对称轴交梯形的底(不包括两端点)于点P，求的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 解直角三角形（2知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01;解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点02：解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，    ， 在中，， ． 故选：D． 【例1-2】（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值，再进行判断即可，熟知三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，也考查了等腰三角形的性质．过A作于D点，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，而，在中，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D点，如图， ， ， ∴． 在中， ， 故答案为：．    【变式1-3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 【答案】6 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键． 先解求出，再利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式1-4】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中，，点是BC边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，如果，那么点到直线的距离是 ． 【答案】或 【知识点】点到直线的距离、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形的应用，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，先证明，再以点为圆心，为半径画圆于交于，过作于，得到，，设，由求出，最后在中利用勾股定理求出未知数求出m的值，从而得解．利用得到，从而将二倍角转化为角度相等关系是解题的关键． 【详解】 由题知：，， ∴， ∴， 又∵， ，， 以点为圆心，为半径画圆于交于，过作于，即， ∴，， ，， 设，则 ，即， ∴， 在中，，即， 解得：， 或． 故答案为：或． 【变式1-5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． (1)如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； (2)如图②，锐角中，，，，的面积为S．求证：； (3)如图③，锐角中，，，，是的平分线，运用（2）结论，求的长． 【答案】(1)4 (2)见详解 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积； （2）过点作交于点，再根据可以求出高的代数式，进而证明结论； （3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、的面积代数式，再根据求出的长度； 【详解】（1）解：在中，， ， ， 故答案为：4； （2）证明：过点作交于点， ， ， ． （3）解：∵是的平分线， ， 由（2）中的证明可知：， ， ， ， ． 【题型2 解非直角三角形】 【例2-1】在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 【例2-2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b． 由题意四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°， ∵∠BCF＝∠DCF＝∠D， 又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°， ∴∠D＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型． 【例2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解非直角三角形 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 【变式2-1】等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 【答案】30° 【知识点】三线合一、解非直角三角形 【分析】作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角． 【详解】如图 ∵△ABC的周长为，腰长为1， ∴AB=AC=1,BC=， ∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=， 在Rt△ABD中, ， ∴∠B=30°， 故填30°. 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形. 【变式2-2】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、勾股定理与折叠问题、等边对等角 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式2-4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 【题型3 仰角俯角问题】 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小进利用无人机来测量广场、两点之间的距离，如图所示，小进在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是．此时从无人机测得广场处的俯角为，小进抬头仰视无人机时，仰角为，若小进的身高，（点、、、在同一平面内）．（参考数据：，，，） (1)求仰角的正弦值； (2)求、两点之间的距离．（结果精确到）． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． （1）过点作的平行线，作直线，垂足为点，利用四边形为矩形得到，，，然后根据正弦的定义求解； （2）记从无人机测得广场处的俯角为，在中利用余切的定义计算出，在中，勾股定理求得，然后计算即可． 【详解】（1）过点作的平行线，作直线，垂足为点， 延长交直线于点． 由题意得，为，四边形为矩形， ，，，， 在中，． （2）记从无人机测得广场处的俯角为， 由题意得，，， 在中，，． 即， 在中，，，， 解得，得． 故． 【变式3-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，可得米，，，解，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得米，， ∴ ∴米 故选：A． 【变式3-2】（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 【变式3-3】（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解． 【详解】解：设米． 在中，， ， 在中，， ， ， ， ∴， 答：塔的高度约为米． 故答案为：． 【变式3-4】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】两直线平行内错角相等、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及俯角问题，读懂题意，数形结合，准确选择三角函数求解是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，在中，解直角三角形求出，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，则（米）， 答：点到地面的距离为米； （2）解：延长交于点，如图所示： 在中，，则（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，，则（米）， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 【题型4 方位角问题】 【例4】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，、为一公司的两个分部，为了方便，两分部的联系和沟通，现准备在距离的，两分部之间修筑一条笔直的公路（如图中的线段，经测量，在地的北偏东方向，地的北偏西方向的处有一半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 【答案】不会，理由见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是作出辅助线，构造直角三角形．本题要求的实际上是到的距离，过点作于，就是所求的线段，由于是条公共直角边，可用表示出，，然后根据的长，来求出的长． 【详解】解：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下： 过点作于， 由题可知：， 设，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 则， ， ， ． 计划修筑的这条公路不会穿过公园． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【答案】/ 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 【题型5 坡度坡比问题】 【例5】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 【答案】(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度，理由见解析 (2)45平方米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题： （1）计算最大高度为：（米），由表格查对应的坡度为：； （2）作，求出的长度即可得解． 【详解】（1）解：选择坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的，理由如下： ∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米， ∴最大高度为（米）， 由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是； （2）解：如图，过B作于点G， 由1可知米，坡度是， ∴，即， ∴（米）， ∴（平方米）． 即第一层的台阶坡道建造需要规划45平方米的用地． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6米，如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为6米，则相邻两树间的坡面距离是 米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出，得到答案．掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 的坡度为， ，即， 解得， 由勾股定理得，米， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】3 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为x米， 根据题意得：，解得：， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为3米． 故答案为：3． 【变式5-4】（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． 【变式5-5】（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直）， (1)古树的高度约为多少米？ (2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计） （参考数据：， 【答案】(1)古树的高度约为 (2)绳至少为 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，勾股定理等知识，掌握坡比是解题的关键． （1）延长交点H，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． （2）过B点作与交与M， 则，由平行线的性质得出，即可得出，同（1）解出，，进而可求出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：解：如图，延长交点H，则，   山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， 在中，， 答：古树的高度约为 （2）解：过B点作与交与M， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：绳至少为 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（    ） A．9米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 3．（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，再利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形的特征值求出三角形的两的角的度数，或根据等腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断各选项的正误即可． 【详解】解：A选项：当时，可设腰长为，则底长为， ， △是直角三角形是直角三角形， 故 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过作于点， ， 设，则， ，且， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，，， ， ， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为时，由选项可知，此时， 当顶角为时， 如下图所示，，， 过作于点， 在△中，设，则，， ， 在△中，， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（2025·上海虹口·二模）如图1，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（　　） A．6 B．6.4 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长 【分析】如图所示，过点B作交于点G，解直角三角形求出，然后利用角平分线和平行线得到，即可得到． 【详解】如图所示，过点B作交于点G ∵与之间的距离为， ∴ ∴ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的基本作图，解直角三角形，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连交于点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④；⑤点到的距离为．其中正确结论个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】由由正方形的性质易得，，，，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作，交的延长线于点H，如图所示： ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤共4个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 6．（2025·上海闵行·三模）在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 【答案】D 【知识点】折叠问题、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况画出图形，①如图1，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；②如图2，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 【详解】解：①如图1，当时． 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． ； ②如图2中，当时，连接，作交的延长线于． ，， ， ， 将沿直线翻折， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 综上，的长为2或． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了三角函数的应用；由题意得米，米，过点作于点，过点作于点，则，，四边形和四边形均为矩形，，得出米，，，，推出，再由锐角三角函数的定义求出米，易证是等腰直角三角形，得出米，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：米，米， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴，，四边形和四边形均为矩形，， 米，，，， 为的中点， ， ， 在中，（米）， （米）， 米， ，， 是等腰直角三角形， 米， （米）， 故答案为：． 8．（2025·上海普陀·二模）如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据等边三角形的判断得的等边三角形，所以，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·上海崇明·三模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接，先由菱形性质可得对角线与交于点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点， 、、三点在同一直线上， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，掌握“弦图”的特点是解题的关键．过点作交延长线于点，由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是4个全等的直角三角形，根据题意设正方形的边长为，则正方形的边长为，设，，由“弦图”列出关于的方程组，求出的值，利用勾股定理求出，再利用等腰三角形的性质求出，在中利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是4个全等的直角三角形， ，， 正方形与的边长之比为， 设正方形的边长为，则正方形的边长为， 设，， 由“弦图”可得， 解得：或（舍去）， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及正切的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，对点在延长线和延长线上的情况进行分类，再结合正切的定义进行计算即可解决问题． 【详解】解：当点在延长线上时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ，， ， ， ． 令 由旋转可知，，， ，． 在中， 解得： 在中， 同理可得， 当点在延长线上时， 综上所述， 故答案为：． 12．（2025·上海奉贤·三模）在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、勾股定理与折叠问题 【分析】根据，，求得，再证出得到，，然后借助勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作交于点F，过点D作交于点E，连接， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质得， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 13．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 【答案】， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和等腰三角形的性质．连接，，作于点，根据等腰三角形的性质得，，，解直角三角形和勾股定理即可求出，根据尺规作图和等腰三角形的性质得，，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，作于点， ，点为边的中点， ，，， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ， 以为圆心，以为半径作弧交边于点， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 【答案】塔高约为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，如图：过点作 ， 垂足为点，设，则，然后解直角三角形即可解答；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解∶ 过点作 ， 垂足为点． 由题意，得 ． 设，则． 在中，，， ∴， ． 在 中，． ∴，即：， 解得： 故塔高约为米． 15．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，向量的线性运算，难度较大，正确表示出与的数量关系是解题的关键． （1）先解直角三角形求出，过点E作于点，则， 通过，得到，继而再利用向量的加减法即可求解； （2）求出，则，继而可进行等角转化求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案； （2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解析：，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ； （2）解：为中线， 为中点， ，， ∴， ∴， ∴ 为中点， ， 同理可得，， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意找到直角三角形，合理的应用三角函数． 17．（24-25九年级下·上海·开学考试）如图，在梯形中，，是该梯形中位线． (1)若求四边形的面积． (2)连接． ①若求的值． ②若的一条对称轴交梯形的底(不包括两端点)于点P，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②或； 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据三角函数的定义求出梯形的高，进而求出梯形的面积即可； （2）①先根据题意算出需要的边长，进而得到对应线段成比例，可证，再根据勾股定理算斜边长，即可得到答案； ②先根据题意判断出是等腰三角形，再分情况讨论，再根据算三角形面积的公式，需要先求出高和边，一步步求出即可解答； 【详解】（1）解：如图，作，垂足为H． 由题意得：四边形是矩形， ∴． ∴． ∵为中位线． ∴． ∴． ∴． ∴ （2）解：①∵，是该梯形中位线． ∴，， 又 ∴，． ∴． 又 ∴． 在中， ∴， ∴， 在中 ∴， ∴． ②由题意得是等腰三角形． (i)为底边，舍去． (ii)为底边，有． 根据题意画出如图，，垂足为O．交于G，交于P，连接． 由题意易得：， ∵是该梯形中位线， ∴， ∴， 可设． ∴． 作，垂足为H． 由上可得：， ∴ ∴ 解得（舍负）． ∴ 即， 连接 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（舍负）， ∴． (iii)为底边，同上可得 综上或 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是要作出合理的辅助线． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 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