专题06 几何初步知识与限定工具作图-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题06 几何初步知识与限定工具作图 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 限定工具作图 ( 题型01 )几何图形初步 1．（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是先根据平角的定义求出∠3，再根据“两直线平行，同位角相等”即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：C． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图是某种几何体表面的展开图，该几何体是（　　 ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握棱柱展开图的特征是解题的关键． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱． 故选：C． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 4．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 5．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型02 )相交线与平行线 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点 B 恰好落在直线 n上，．若，则等于（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形对角相等是解题关键．由平行四边形可得，由平行线的性质可得，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）沈阳某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型，已知垂直于水平地面，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数和始终为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，过点作，根据平面内平行于同一条直线的两直线互相平行可得，根据两直线平行同旁内角互补可知，根据垂直定义可知，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（2025·辽宁本溪·二模）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，先证明，再利用角的和差可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是先根据平角的定义求出∠3，再根据“两直线平行，同位角相等”即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：C． 5．（2025·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意得出，然后代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选A． 6．（2025·辽宁鞍山·二模）当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质解答即可． 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又， 故， 又， 故， 故选：B． 7．（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 8．（2025·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，，． ∴． 故选：D． 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 10．（2025·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角；由互补关系可分别求得；再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴； 故选：B． ( 题型03 )限定工具作图 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的作法和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由勾股定理可得，由作法可知，垂直平分，进而得到，则，即可求解． 【详解】解：，，， ， 由作法可知，垂直平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为 ． 【答案】/30度 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度、作线段(尺规作图)、等边三角形的判定和性质 【分析】该题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，根据尺规作图得出是等边三角形，得出，根据，即可得出，再利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：连接， 根据尺规作图可得， ∴是等边三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行线的性质与判定等等，由等边三角形的性质得到，，再由角平分线的定义可得，，由作图方法可知，垂直平分，则，则由等边对等角可证明得到，据此可证明，得到；再证明是等边三角形，得到，则可证明，进而得到，根据，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则 ． 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出，得到．此题重点考查角平分线的尺规作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 7．（2025·辽宁营口·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线交边于点．用同样的作图方法得到，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，，， ∴，， 由作图可得：平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线， ∴， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴． 9．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图——复杂作图，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接，由作法得：平分，垂直平分，可得，，从而得到，进而得到，，可证明四边形是菱形，从而得到，再由，可得，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 10．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长 【分析】题目主要考查矩形的性质，尺规作图，解三角形，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 由作图知，，，设，，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，，再由等角的正弦值相等求解即可． 【详解】解：根据题意得，为的角平分线， ∴， ∵， ∴设， ∵矩形， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 12．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质及其尺规作图，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由勾股定理可得，由角平分线的性质可得，根据，可求出的长，则可求出，由作图方法可得垂直平分，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于H， 在中，， ∴ 由作图方法可知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 故答案为：． 13．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、写出直角坐标系中点的坐标、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键． 由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线， ， ， 设， ， ，， ，， ， ，直线所在直线为， 设直线解析式为， ， 解得：， ， 联立， ， 点的坐标为． 14．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】先由平行线性质得到，再根据题中尺规作图-作角平分线得到，结合平行线性质得到，从而由等腰三角形的判定与性质求出，过点作，如图所示，结合尺规作图-作垂线，从而得到，由含的直角三角形性质求出，最后由矩形的判定与性质，数形结合表示出线段代值求解即可得到答案． 【详解】解：在四边形中，，，则， 由题意可知，平分，则， ， ， ， 过点作，如图所示： 由题意可知，， 在中，，，则， ， ， ， ，则四边形是矩形， ， ，为的中点， ，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行线性质、尺规作图-作角平分线、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、尺规作图-作垂线、含的直角三角形性质、矩形的判定与性质、中点定义等知识，熟记相关几何性质，掌握尺规作图-作角平分线、尺规作图-作垂线的操作是解决问题的关键． 15．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据圆周角定理得到，即，根据切线的判定定理得到结论； （2）由（1）知，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形面积计算，掌握切线的判定是解题的关键． 16．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，校园围墙内有一块等腰直角三角形区域，学校想要对此区域进行绿化改造：首先在区域内种植一棵景观树，然后再把区域分成三块分别种上不同花卉. (1)请在内部找一点M，在点M处种植景观树，并到三边距离相等，并分别连接将分为三个三角形（保留作图痕迹，不写画法）； (2)已知学校种植的三种花卉价格不同，第一种花卉需要的资金是a元，第二种花卉需要资金比第一种花卉需要资金的2倍还多100元，第三种花卉的资金是前两种花卉资金的和，若学校计划种植花卉资金不超过800元，试求第一种花卉需要的资金最多是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)第一种花卉需要的资金最多是元 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的作法，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键. （1）根据题意可得点M为三边角平分线的交点，分别作的角平分线，交于点M，连接即可； （2）根据题意求出第二种花卉需要的资金为元，第三种花卉需要的资金为元，由种植花卉资金不超过800元，列出一元一次不等式，求解即可. 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：根据题意：第二种花卉需要的资金为元，第三种花卉需要的资金为元， 则， 解得：， 答：第一种花卉需要的资金最多是元. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何初步知识与限定工具作图 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 限定工具作图 ( 题型01 )几何图形初步 1．（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图是某种几何体表面的展开图，该几何体是（　　 ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． ( 题型02 )相交线与平行线 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点 B 恰好落在直线 n上，．若，则等于（    ）   A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）沈阳某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型，已知垂直于水平地面，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数和始终为（      ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁本溪·二模）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁鞍山·二模）当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° ( 题型03 )限定工具作图 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为 ． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ． 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则 ． 7．（2025·辽宁营口·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线交边于点．用同样的作图方法得到，则的长为 ． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 9．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是 ． 10．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为 ． 13．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 13．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 14．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 ．（用含的代数式表示） 15．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 16．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，校园围墙内有一块等腰直角三角形区域，学校想要对此区域进行绿化改造：首先在区域内种植一棵景观树，然后再把区域分成三块分别种上不同花卉. (1)请在内部找一点M，在点M处种植景观树，并到三边距离相等，并分别连接将分为三个三角形（保留作图痕迹，不写画法）； (2)已知学校种植的三种花卉价格不同，第一种花卉需要的资金是a元，第二种花卉需要资金比第一种花卉需要资金的2倍还多100元，第三种花卉的资金是前两种花卉资金的和，若学校计划种植花卉资金不超过800元，试求第一种花卉需要的资金最多是多少元？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$