专题05 二次函数综合压轴题-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题05 二次函数综合压轴题 题型概览 题型01 二次函数综合压轴题 ( 题型01 )二次函数综合压轴题 1．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1)（或） (2)是，理由见解析 (3)或 (4)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”； （3）当时，把点代入二次函数  可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数    的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数  图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为或； （4）当时，抛物线开口向上，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，抛物线开口向下，①当，点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，知，②当，即时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，有，分别解方程并检验可得答案． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下： 把点代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数    是正方形的“函数”； （3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为， 把点代入二次函数    中得：， ， ， 该函数图象的顶点坐标为， 在中，令得， 点在函数    的图象上， 函数    是正方形的“函数”，其图象经过点，， ①当时，抛物线顶点在轴上方， ， 解得， ； ②当时，函数  图象经过点，，则函数  一定是正方形的“函数”； 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，有，，抛物线开口向上， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点， ， 整理得：， 解得：，  （舍去）； 当时，抛物线开口向下， ①当，即时，有，， 点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点， ， 整理得  ，此方程无实数根，的值不存在； ②当，即时，有， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是点， ， 整理得， 解得； 综上所述，的值是或． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二次函数综合)、实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据新定义列二元一次方程组求解即可； （2）由新定义求得从而得点对应的“生成点”即再利用待定系数法即可得解； （3）由新定义得，点，，进而求得顶点的轨迹为：，由，得，把代入一次函数为常数），得当与只有相切时，解得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵点是“初始点”，且点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵点是“初始点”， 点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ∴ ∴点对应的“生成点”即 ∵在反比例函数的图象上， ∴， （3）解：∵点是“初始点”， ∴即， ∴点， ∴点对应的“生成点”是点即， ∴， ∴二次函数为常数）化为， ∴为常数）的顶点， ∴顶点的轨迹为：， ∵， ∴， 中，当时，， 把代入一次函数为常数）得 解得 当与只有相切时， ∴， ∴， 解得 如图， 由图形可得 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程根的情况，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． (1)如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． (2)若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． (3)如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②等腰直角三角形；③存在，或 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、根据等角对等边证明等腰三角形、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】题目主要考查二次函数及反比例函数的性质，新定义理解，特殊四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，当时，设函数表达式为，利用待定系数法代入确定，再由对偶点的定义得出的对偶点为，代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，求解即可； （3）①先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标为，根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变，即可确定函数解析式；②由①得，利用两点之间的距离公式及勾股定理判定即可；③根据平行四边形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， ∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∵的对偶点为， ∴当时，函数表达式为， ∴“偶函数图象”的表达式为： ； （2）∵点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”， ∴， 解得：， ∴或； （3）①∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变， ∴当时， ②如图，由①得， ∴， ∵， ∴是以C为直角顶点的等腰直角三角形； ③存在，理由如下： 由②得， 设点， 当为对角线时，点D与点C关于AB对称， ∴在y轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 综上可得：点D的坐标为或． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标，我们称这个点为平衡点． 【概念理解】 （）若双曲线上存在两个平衡点，，且，则的值是____________； 【概念应用】 （）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为． ①当时，求图象上的平衡点的坐标； ②若图象上存在两个平衡点，求值． 【答案】（）；（）①；②，或 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（）设，则，利用两点间距离公式可得，即得，即可求解； （）①由翻折可得的解析式为，再把代入的解析式求出的值即可求解；②分别把代入和解答即可求解； 本题考查了反比例函数和二次函数的综合应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∴的解析式为， 将代入，整理得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去 ， ∴平衡点的坐标为， 将代入，整理得， ∵， ∴上没有平衡点， 综上，图象上的平衡点的坐标为； ②将代入，整理得， 解得，， ∴和时图象上存在两个平衡点和 ，如图1，图 ； 如图，的解析式为， 当直线与抛物线有唯一公共点时，图象上 存在两个平衡点， 将代入，整理得， ∵， ∴， 将代入，得， 解得或， ∵， ∴； 综上，或或． 5．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或1 (3)①t的值为；②或 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． （1）根据“变换函数”的定义即可得解； （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将分别代入其关联函数解析式中求解； （3）①将点和他关于x轴的对称点为代入，求解即可； ②作线段关于x轴对称的线段，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：反比例函数的变换函数为； （2）解：令，解得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． ∵， ∴抛物线的开口向上． ∴变换函数为． 将点代入，得． 解得，． 将点代入，得． 解得． ∴a的值为或1； （3）解：①由题意，得，点关于x轴的对称点为， ∴将点代入，得； 将点代入，得． 综上所述，t的值为； ②∵， ∴抛物线的开口向上，顶点的坐标为，对称轴为直线． 如图，作线段关于x轴对称的线段． ∵点，关于直线对称， ∴抛物线过点M时必过点N．同理可得抛物线过点时必过点． 如图1，当抛物线过点和点时，有2个交点，由①知． 如图2，当抛物线过点M和点N时，有4个交点，由①知． ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图3所示）． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得． 当时，． ∵，∴此时有3个交点． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得．此时有1个交点， ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图4所示）． 综上所述，t的取值范围为或． 6．（2025·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． (1)如图1，求的长． (2)点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； (3)约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或； (3)当或时，使得． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）①利用平移的性质求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式为，再求得，，连接，作轴于点，根据旋转的性质结合解直角三角形求得点，据此即可证明结论成立； ②先求得，同理求得，判断出点的运动轨迹为，联立，计算即可求解； （3）分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）①证明：∵将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， 连接，作轴于点， ∵以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∵当时，， ∴点在该反比例函数图象上； ②∵线段与抛物线有公共点，点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， 由旋转的性质得， ∴点的运动轨迹为， 联立， 解得，， 即，， 解得，， 结合图象得或； （3）解：由题意，点，，，， 对于抛物线， 顶点坐标为，对称轴为直线， 对于点，， ∵， ∴， 当即时， ， 当即时，， 对于点，， 当点在点左侧时，，即， 当点在点右侧时，，即， 当时，， 当时，， 当时，若有， 则，解得； 当时，若有， 则， 整理得，，方程无解， ∴当时，不存在的值，使得； 当时，若有， 则， 解得（舍去），； 综上，当或时，使得． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程的求解，旋转的性质等．分类讨论是解答本题的关键． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”． 例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”． (1)若，求与的“界距离”； (2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示； ①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围； ②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①当或时，，当时，；②或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案； （2）①先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴与的“界距离”为； （2）解：①联立，解得或， ∴， 由函数图象可得，当或时，，当时，， 在中，当时， 在中，当时，， ∴当或时，， 当时，； ②如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意； 如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时， ∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时， 同理可得点N的坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵当和时，点P和点Q重合， ∴， ∴当时，与有交点； 如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时， 同理可得倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，与有交点； 综上所述，当或时，与有交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)2 (3)存在，点的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值、利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，将代入中，解方程即可求解； （2）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，由，得，进而可得，，对于，当时，当时， ，当时，，根据题意得方程，求解即可； （3）写出函数的“对称平移函数”的表达式，函数的“对称平移函数”的表达式，对于函数，当时，可得点的坐标为，①当时，设点的坐标为，建立方程得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程得点的坐标为；②当时，过点作轴的垂线，垂足为，证明，得，设点的坐标为，同法建立方程可得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 经过原点， 将代入中， 即， 解得； （2）解：， 函数的“对称平移函数”的表达式为， ， ， 解得； ，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取最小值， 当时，取最大值，， ， 解得，（舍）， ； （3）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 函数的“对称平移函数”的表达式为， 对于函数， 当时， 点的坐标为， ①如图1， 当时， 设点的坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， ， 解得，（舍）， 点的坐标为； ②如图2， 当时，过点作轴的垂线，垂足为， ， ， ， ， 即， 设点的坐标为， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， 即， 解得，（舍）， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，涉及新定义，二次函数的图像与性质，二次函数与特殊三角形的存在性问题，理解题意，做到数形结合、分类讨论并准确计算是正确解答此题的关键． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1)； (2)①点的纵坐标为；②的值为或；③，有最大值为． 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）先求得点，推出，利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①设与轴交于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用平移的性质求解即可； ②同理求得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，根据题意列式，据此计算即可求解； ③先求得直线的解析式，得到，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点是函数的图象的点， ∴，， ∴点， ∵是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到， ∴四边形是平行四边形，且， ∵四边形的面积为18， ∴， 解得； （2）解：①设与轴交于点， ∵为等腰直角三角形，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵在抛物线上， ∴， 解得或， ∴， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的纵坐标为； ②同理， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位，向右平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析式为，即点的坐标为， 对于， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵为大于零的常数， ∴的值为或； ③∵在②的条件下且时， ∴， ∴平移变换后得到“系二次函数”为，点的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵当点到达原点时，两点停止运动， ∴， ∴当时，有最大值． 10．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【难度】0.15 【知识点】面积问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、等边三角形的性质、动点问题的函数图象 【分析】（1）①先求出，，再利用勾股定理求出，最后根据等边三角形的面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，再利用面积公式列关系式即可； （2）根据图象设二次函数为：，代入，即可得到函数关系式，再进一步求解即可； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，可得，结合以及对称性可得答案；②由的对称轴为直线：；可得，结合，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是动态几何的函数图象，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解图象的含义是解本题的关键. 11．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：已知是的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求直线上存在的“美点”； (2)求抛物线上存在的“美点”； (3)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求的值； (4)若关于的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或或 【难度】0.15 【知识点】一次函数与几何综合、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了“美点”的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与几何综合，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，得到直线上存在的“美点”是； （2）根据题意得 ，即，解得或，即可得到答案； （3）根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，推出两个“美点”的坐标分别为，得到，求出； （4）根据题意求出，，求出分三种情况讨论，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：， 直线上存在的“美点”是； （2）解：根据题意得 ，即， 解得：或， 抛物线上存在的“美点”是或； （3）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根， ， ，， 两个“美点”的坐标分别为， 两个“美点”之间的距离为， ； 解得：； （4）解：根据题意得方程，即方程只有一个根， ， 解得， ， ，即 解得：， ， ，， ，，， ，， 是直角三角形， ， 为的中点， ， ， 如图，点在中位线上时，作 ，， ， 根据旋转的性质得， ， 点到的距离为； 当点在中位线上时， 点到的距离为； 如图，当点在中位线上时， 点到的距离为， 综上所述，点到的距离为或或． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 【答案】(1) (2)①；②或 (3)2个公共点：或；3个公共点：或 【难度】0.15 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到，根据两点之间距离公式得到，由分类讨论去绝对值，将化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案；②由①知，，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得；令得； ， 将代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①如图所示： ∵点为线段上一点，设其横坐标为，则， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随着的增大而增大， 则此情况； 当时，，则； 综上所述，当的长度随的增大而增大时，的取值范围是； ②由①知，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或， 则或， 解得或或或， ， ∴点的横坐标为或； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 如图所示： 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当与相切时，只有一组公共解， 即方程的判别式为， ∴，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数综合压轴题 题型概览 题型01 二次函数综合压轴题 ( 题型01 )二次函数综合压轴题 1．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． (1)如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． (2)若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． (3)如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标，我们称这个点为平衡点． 【概念理解】 （）若双曲线上存在两个平衡点，，且，则的值是____________； 【概念应用】 （）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为． ①当时，求图象上的平衡点的坐标； ②若图象上存在两个平衡点，求值． 5．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 6．（2025·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． (1)如图1，求的长． (2)点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； (3)约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”． 例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”． (1)若，求与的“界距离”； (2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示； ①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围； ②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围． 8．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 10．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：已知是的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求直线上存在的“美点”； (2)求抛物线上存在的“美点”； (3)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求的值； (4)若关于的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$