专题04 函数-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题04 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系与函数基础知识 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 题型04 二次函数 ( 题型01 )平面直角坐标系与函数基础知识 1．（2025·辽宁锦州·二模）如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ． 5．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． ( 题型02 )一次函数 1．（2025·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本（单位：元）与产品数量（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量件 … 10 12 16 20 … 生产成本元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)若这种产品每件的售价为30元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 8．（2025·辽宁沈阳·二模）某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表： 锄头（把） 铁锹（把） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求锄头和铁锹的单价； (2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买把，购买这60把锄头和铁锹共需要元，求与的函数表达式． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． (1)求弹簧在不受力时的自然长度； (2)若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 11．（2025·辽宁盘锦·二模）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 13．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 14．（2025·辽宁锦州·二模）为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）某商店以15元每袋的价格购进了某种海产品，经过一段时间的销售，对销售单价和日销售量进行了统计（部分数据），如下表： 销售单价x（元） 18 19 20 25 日销售量y（袋） 34 32 30 20 (1)求y与x之间的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据以上的关系式，小李认为如果日销售量多，日销售利润（其他成本忽略不计）就大，请你通过计算判断小李的说法是否正确． 16．（2025·辽宁大连·二模）甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求B、C两地之间的路程； (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 19．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 20．（2025·辽宁阜新·二模）某公司购进一种家用电器600台进行销售，此种电器可以在实体店直接销售，也可以在网上销售．如果在网上销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图1所示；如果在实体店直接销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图2所示，公司通过以上两种方式将这种电器全部售出． (1)若网上销售数量台，则每台电器的平均利润 元；那么在实体店直接销售的数量 台； (2)若这种电器在网上销售数量为500台，其余电器在实体店直接销售并全部售完，求该公司销售这种电器获得的总利润． ( 题型03 )反比例函数 1．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 3．（2025·辽宁锦州·二模）若点在反比例函数的图象上，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象分别位于第二、四象限 4．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是 ． 10．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在第一象限内作正方形，反比例函数过点，则的值为 ． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    12．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 13．（2025·辽宁丹东·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为1，经过点的直线与轴交于点，则的值为 ． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则 ． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是 ． 16．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 17．（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． ( 题型0 4 )二次函数 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　 　） A． B．3 C． D．5 3．（2025·辽宁沈阳·二模）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　 ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 6．（2025·辽宁营口·二模）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁抚顺·二模）已知二次函数的图象开口向下，则 ． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ． 12．（2025·辽宁本溪·二模）如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是 ． 13．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，经过点，的抛物线．的顶点为点．若是等腰直角三角形，则的值是 ． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 15．（2025·辽宁丹东·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 16．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 17．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 18．（2025·辽宁沈阳·二模）在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0.1 0.3 2 6 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式． 19．（2025·辽宁本溪·二模）某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式； (2)当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 20．（2025·辽宁鞍山·二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米. (1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分. 21．（2025·辽宁沈阳·二模）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜批发价格是每千克4元． (1)经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式； (2)销售此种蔬菜每日可获最大利润为多少元？ 22．（2025·辽宁葫芦岛·二模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况（该基地只种植一种蔬菜），并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的每天销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，每天销售量为1800千克；销售单价为15元时，每天销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出与的函数关系式： 任务二：设计销售方案 （2）市场监督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过每千克19元，据了解该蔬菜基地每天其他正常开支总计1000元，请帮助蔬菜基地设计：该蔬菜的销售单价应定为多少元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为多少元？（注：每天的纯利润每天销售利润其他开支） 23．（2025·辽宁营口·二模）某公司研发了一款成本为11元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）（x为正整数）满足一次函数关系，如图所示． (1)根据图象，写出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 24．（2025·辽宁丹东·二模）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高元， (1)求每天租出的房间数与间的关系式； (2)旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 25．（2025·辽宁铁岭·二模）已知函数是关于自变量的函数，作直线将函数位于直线下方部分沿直线翻折，函数位于直线及上方部分保持不变，形成新的函数，称函数为函数的“关系函数”；例如：令得则为的“关系函数” (1)若求关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)若为的“关系函数”，点在函数上，则的值是 ； (3)若直线交于点A，B，点A在点B的左侧，为的 “关系函数”． ①求线段的长． ②过点作直线，交函数于另外两点．且当点是线段的中点时，求的值． 26．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 27．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 28．（2025·辽宁阜新·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)请求出的面积关于的函数表达式； (3)如果直线与函数的图象有四个交点，从左到右依次记为为，，，，若，为线段的三等分点，求的值． 29．（2025·辽宁沈阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． (1)点的“神秘点”坐标为 ； (2)点的“神秘点”在的图象上，求的值； (3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为． ①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围． 30．（2025·辽宁本溪·二模）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，，则称点是点的“坐标互换点”；若点和点均在函数上，则称函数是关于点和点的“坐标互换函数”． 例如，点，点，则点是点的“坐标互换点”；点与点均在函数上，则函数是关于点和点的“坐标互换函数”． (1)反比例函数的图象经过点，点是点的“坐标互换点”，试说明反比例函数是关于点和点的“坐标互换函数”； (2)点的“坐标互换点”点的坐标为，二次函数是关于点和点的“坐标互换函数”，点在二次函数上，当时，求点的坐标； (3)抛物线始终是关于点和点的“坐标互换函数”． ①请用含有的代数式表示k； ②连接，，若时，请直接写出的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系与函数基础知识 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 题型04 二次函数 ( 题型01 )平面直角坐标系与函数基础知识 1．（2025·辽宁锦州·二模）如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解题的关键． 由题图可知，当时，即与重合，，则，当时，即与重合，，则有，，连接，根据勾股定理求出，再由题图可知，点到的距离为，通过等面积法得出，然后求出的值即可． 【详解】解：由图可知，当时，即与重合，， ∴， ∵是等腰三角形，是底边的中点， ∴， ∴当时，即与重合，， ∴， ∴， 如题图，连接， 有， ∴， ∴， 由题图可知，点到的距离为， ∴， ∴，解得：， 故选：． 2．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，证明四边形是矩形，故有，，通过勾股定理得，则有，从而求出顶点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：． 4．（2025·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的对角线，分别在轴和轴上， ∴， 故答案为：． 5．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，过点B作轴交x轴与点K，连接，根据点B的坐标得出，，利用勾股定理得出，再根据矩形的性质得出即可． 【详解】解：过点B作轴交x轴与点K，连接， ∵点B 的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故答案为： 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 综上，或； 故答案为：或． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． ( 题型02 )一次函数 1．（2025·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， ∴， 故选：C． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选取正确的部分是解题的关键．先求得结合两函数图象，在点P的右边的图象都低于的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集． 【详解】解：将得 解得：， ∴ 根据函数图象可得：不等式的解集是, 故选：C． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积等知识，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．先表示出点A的坐标，继而表示出正方形的边长，求出点B的坐标从而待定系数法求出的解析式，再令，求出点E的坐标，从而得出并表示出直线与围成的阴影三角形的面积，继而列出方程解出m，从而判断，求出AE，继而求出的面积，从而判断C，继而得解． 【详解】解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为， 故选：A． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，利用与y轴正半轴相交可以判断常数项，列出一元一次不等式组，求解从而确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本（单位：元）与产品数量（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量件 … 10 12 16 20 … 生产成本元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)若这种产品每件的售价为30元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 【答案】(1) (2)所生产产品的总售价为元 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求函数关系式中求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 根据题意得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：令，则， 解得：， （元）， 答：所生产产品的总售价为元． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表： 锄头（把） 铁锹（把） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求锄头和铁锹的单价； (2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买把，购买这60把锄头和铁锹共需要元，求与的函数表达式． 【答案】(1)锄头单价为20元，铁锹单价为30元 (2) 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，列出代数式． 【详解】（1）解：设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：锄头单价是20元，铁锹的单价是30元． （2）解：设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，， 整理得． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． (1)求弹簧在不受力时的自然长度； (2)若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式． （1）设一次函数表达式，将两组拉力与弹簧长度数据代入列方程组，求解得到函数关系式，令得出弹簧自然长度． （2）根据弹簧最大长度列出关于拉力的不等式，解不等式求出弹簧所受最大拉力． 【详解】（1）设与的函数关系式为（）． 已知当时，；当时，． 将其分别代入中，得到方程组． 解得： 所以与的函数关系式为． 当时， 答：弹簧在不受力时的自然长度为． （2）由题意得：弹簧最大长度不超过， 即， ， ． 即． 解得． 答：弹簧所受的最大拉力为牛． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10个 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确得出一次函数与一元一次不等式是解此题的关键． （1）观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加，由此即可得出函数解析式； （2）根据题意得出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加， ∴ 整理得 检验：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∵为整数 ∴小圆凳的数量最多为10个． 11．（2025·辽宁盘锦·二模）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关键． （1）设一次函数的关系式为，采用待定系数法即可求解； （2）设当天玩具的销售单位是x元，由题意得，，然后计算即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点把这两点的坐标代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的关系式为． （2）解：不能， 理由：设当天玩具的销售单位是x元， 由题意得，， 化简，得 ∴， ∴方程无解， ∴该玩具的日销售利润不能达到820元． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 【答案】(1) (2)甲、乙两车的行驶时间是或 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求解，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）先确定出点B的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出的解析式，再分情况求出结果即可． 【详解】（1）解：， 点 设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得 ，解得， 线段对应的函数解析式是； （2）设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得，解得， 线段对应的函数解析式是 ①当时， ， 当时，，解得 ②当时， ，解得， 答：当乙车比甲车多行驶时，甲、乙两车的行驶时间是或． 13．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【详解】（1）解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 14．（2025·辽宁锦州·二模）为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； (2)甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． （1）设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个，根据题意列出不等式求解得出，设利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； （2）解：设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个， 由题意得：， 解得， 设利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a为整数， ∴a最大为16，， ∴元， ∴甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）某商店以15元每袋的价格购进了某种海产品，经过一段时间的销售，对销售单价和日销售量进行了统计（部分数据），如下表： 销售单价x（元） 18 19 20 25 日销售量y（袋） 34 32 30 20 (1)求y与x之间的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据以上的关系式，小李认为如果日销售量多，日销售利润（其他成本忽略不计）就大，请你通过计算判断小李的说法是否正确． 【答案】(1) (2)小李的说法不正确．理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求自变量的值或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式并检验即可； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质求出函数最值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为（），把，代入得： ， 解得：， 故y与x的函数关系式为； 经检验符合题意． （2）解：设利润为元，则 ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，w有最大值，． ∴小李的说法不正确． 16．（2025·辽宁大连·二模）甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求B、C两地之间的路程； (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 【答案】(1) (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先求出甲车的速度为，然后求出B、C两地之间的路程即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：；当甲、乙到达C地前，求出两车间距离为时，乙出发的时间，求出乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为：，得出当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲车的速度为：， ∴B、C两地之间的路程为： ； （2）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 乙车从C地到B地所用时间为： ， ， 则点C的坐标为， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当甲、乙到达C地前，根据题意得：， 解得：， ， ∴乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为， 乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为： ， ∴当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为； 综上分析可知：当乙出发后，两车之间的路程为． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案； （2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数关系式为． 根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：能． 由题意，可得， 整理，得， 解得． 答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)销售单价应为14元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售单价应为x元,根据题意得： ， 解得，，， ∵销售单价不得高于22元，即， ∴， ∴销售单价应为14元． 19．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键． （1）利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 开始时甲容器液面高， ， 设， 又时，， ，解得， ， 甲容器向乙容器注水，始终有， ． （2）解：∵甲、乙容器中的液面高度相差， ∴或， ∴或， 解得或， ∴甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或． 20．（2025·辽宁阜新·二模）某公司购进一种家用电器600台进行销售，此种电器可以在实体店直接销售，也可以在网上销售．如果在网上销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图1所示；如果在实体店直接销售，每台电器的平均利润（元）与销售数量（台）的函数图象如图2所示，公司通过以上两种方式将这种电器全部售出． (1)若网上销售数量台，则每台电器的平均利润 元；那么在实体店直接销售的数量 台； (2)若这种电器在网上销售数量为500台，其余电器在实体店直接销售并全部售完，求该公司销售这种电器获得的总利润． 【答案】(1)120，400 (2)该公司销售这种电器获得的总利润为60000元 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，从图象中获取准确的信息是解题的关键． （1）由图象求解即可； （2）当时，设，待定系数法求出，然后将代入求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：由图象得，若网上销售数量时，则每台电器的平均利润（元）； 那么在实体店直接销售的数量（台）； （2）解：当时，设，将，代入得 ，解得 当时，． 当时，（元）， 实体店销售台数（台），则（元） 总利润为（元）． 答：该公司销售这种电器获得的总利润为60000元． ( 题型03 )反比例函数 1．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据正方形的性质求出点坐标，再根据中点公式求出点坐标，最后代入计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的中心为线段的中点，即点， ∴点M坐标为，即， 把代入得，解得， 故选：C． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·辽宁锦州·二模）若点在反比例函数的图象上，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象分别位于第二、四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴，故A错误，不符合题意； ∴函数图象分布在第二、四象限，当时，随的增大而增大，故B错误，不符合题意；D正确，符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故C错误，不符合题意； 故选：D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限， ∴函数的图象与坐标轴的交点个数是 故选：A． 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标，折叠的性质等知识，由矩形的性质得到，，，由的图象经过点，求出点，得到，由折叠可得，，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点， ∴， 由折叠可得：，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 故选：C． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、等边三角形的判定和性质、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数解析式，连接，过点作于点，可得是等边三角形，即得，进而求出点的坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：连接，过点作于点，则， ∵是正六边形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：． 7．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点M作轴于点，且， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴． 故选：C 9．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 先求出、的值，再根据函数图象即可求解． 【详解】∵在函数和函数上， ， 即，， ∵，即， 的范围如图中实线所示：即或． 故答案为：或． 10．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在第一象限内作正方形，反比例函数过点，则的值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合、全等三角形的判定及性质，证出是解题的关键；过点作轴于点，证明，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点 ∵点，点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴, ∴ ∴ ∴ 反比例函数的图象经过点， ． 故答案为：． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．连接，利用三角形面积公式得，再根据反比例函数的几何意义得，在根据图象所在象限，化简绝对值即可． 【详解】解：连接，如图    ∵轴， ∴， ， ∵的面积是， ∴， 解得：， 反比例函数图象在一、三象限， ∴， 故答案为：． 12．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 13．（2025·辽宁丹东·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为1，经过点的直线与轴交于点，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查求反比例函数的解析式．根据题意求得点的坐标为，再代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， 将其代入，得：， 故答案为：2． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，面积问题，理解题意，综合运用两个函数的性质是解题关键．设直线的解析式为，交y轴于点，根据题意得出点C为A、B中点，设，确定，再由面积得出，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，交y轴于点， ∵， ∴点C为A、B中点， 设， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴即， ∴的面积为：， ∴， 由图象得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是 ． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了已知面积求值，根据边轴，边轴，得到，根据题意，得到，根据面积公式，列出方程进行解答即可． 【详解】解：∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，的面积是6， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：24． 16．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，矩形的性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 设，则，，由此得到，，，然后利用四边形的面积为18求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴，即， 解得，． 故答案为：6． 17．（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【难度】0.65 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． ( 题型0 4 )二次函数 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　 　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对③进行判断；利用可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的交点坐标在轴上方， ∴，所以①正确； 当时，函数的最大值为：，故②正确； 由对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故③正确； 当时，， 所以，， 即，故④错误， 综上可知，正确的是①②③， 故选：C． 4．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 5．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、二次函数图象与各项系数符号 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 6．（2025·辽宁营口·二模）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的图象与轴没有公共点，可得一元二次方程没有实数根，根据根的判别式可得；由函数解析式得出抛物线对称轴及开口方向，再根据抛物线的增减性得出a的取值范围，取交集即可． 【详解】解：二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点， 一元二次方程没有实数根， ， 解得； 二次函数的图象的对称轴为：直线，开口向上， 当时，随的增大而增大， ， 实数的取值范围是， 故选A． 7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①，由二次函数图象经过点，可判断②，由，得到，代入，可判断③，求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴可分解因式为， ∴，即， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：B． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可． 【详解】解：∵， 解得或， ∵点，在抛物线上，且， ∴是方程的两个根， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（2025·辽宁抚顺·二模）已知二次函数的图象开口向下，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴． 故答案为：． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， 因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， 所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， 所以，足球从踢出到落地所需的时间是， 故答案为：4 12．（2025·辽宁本溪·二模）如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．先求出，当抛物线经过时，解得，满足题意；当抛物线经过时，，此时抛物线与等边三角形的边有且只有一个公共点，结合图象即可得到答案． 【详解】解：∵顶点C的坐标为． ∴， ∵等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴关于y轴对称， ∵抛物线关于y轴对称， 当抛物线经过时，， 解得，，满足题意； 当抛物线经过时，， 此时抛物线与等边三角形的边有且只有一个公共点， 结合图象可知，当时，抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点， 综上可知，c的取值范围是或， 故答案为：或 13．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，经过点，的抛物线．的顶点为点．若是等腰直角三角形，则的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，先求出点和点坐标是解题关键．过作轴于，交于，先求出抛物线的对称轴，再根据正方形和为等腰直角三角形可求出点和点坐标，从而求出抛物线解析式，求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为，且经过点、， 抛物线的对称轴是直线，且、关于直线对称， 过作轴于，交于， 为等腰直角三角形， ， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 把、的坐标代入得：， 解得： ， 故答案为：． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 15．（2025·辽宁丹东·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点进行推理是解题的关键．根据图象与轴交于、两点，可得对称轴为直线，可判断①；将点坐标代入解析式并结合①中结论，可判断②；由等腰三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断③；由直角三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴交于、两点， 对称轴为直线， ， ，故①正确； ②图象经过点， 将点代入，得 由①中可知， ， ，故②正确； ③当时，， 由①②可知，， ， 二次函数的图象与轴交于点， ， 、， ，， 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 方程无解； 当是等腰三角形，的值有2个，故③正确； ④由①③可知，， 二次函数， 顶点的坐标为， ，， ，，， 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 方程无解； 当时直角三角形是，或，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 16．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 17．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 18．（2025·辽宁沈阳·二模）在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0.1 0.3 2 6 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，解题的关键是： （1）设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为，把，；，代入求解即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：把，代入，得 ， 解得， ∴． 19．（2025·辽宁本溪·二模）某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式； (2)当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 【答案】(1) (2)该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车，见解析 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）得：，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， 答：关于的函数解析式为； （2）该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车， 由（1）得：， ， 抛物线开口向下， 对称轴是， 当时，汽车行驶距离最大，此时， 米米. 答：该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车． 20．（2025·辽宁鞍山·二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米. (1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分. 【答案】(1) (2)这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∴这名同学实心球成绩不能得满分． 21．（2025·辽宁沈阳·二模）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜批发价格是每千克4元． (1)经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式； (2)销售此种蔬菜每日可获最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)120 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题是一次函数与二次函数实际应用的综合题，掌握待定系数法求一次函数的步骤及二次函数求最值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先设利润为，根据利润等于（售价成本）数量建立函数关系式，再由二次函数性质求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 代入,得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：设利润为，由题意得：， ∵， ∴当时，每日可获最大利润为120元． 22．（2025·辽宁葫芦岛·二模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况（该基地只种植一种蔬菜），并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的每天销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，每天销售量为1800千克；销售单价为15元时，每天销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出与的函数关系式： 任务二：设计销售方案 （2）市场监督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过每千克19元，据了解该蔬菜基地每天其他正常开支总计1000元，请帮助蔬菜基地设计：该蔬菜的销售单价应定为多少元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为多少元？（注：每天的纯利润每天销售利润其他开支） 【答案】（1）；（2）这种蔬菜的销售单价应定为19元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为8900元 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查函数解应用题，涉及待定系数法确定一次函数关系式、二次函数求最值等知识，读懂题意，找准关系得到函数表达式是解决问题的关键． （1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）设每天的纯利润为元，根据题意，可得，由二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：（1）设与的函数关系式为， 将点代入， 可得， 解得， ； （2）设每天的纯利润为元，根据题意，可得： ， ， 该函数图象开口向下， 对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取最大值，元， 答：这种蔬菜的销售单价应定为19元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为8900元． 23．（2025·辽宁营口·二模）某公司研发了一款成本为11元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）（x为正整数）满足一次函数关系，如图所示． (1)根据图象，写出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 【答案】(1) (2)销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）设该公司每天获得的利润为w元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把和代入得：， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：设每天获得的利润为w， 则， ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值， ∵x为正整数， ∴当或21时，w取得最大值，最大值为或 答：销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． 24．（2025·辽宁丹东·二模）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高元， (1)求每天租出的房间数与间的关系式； (2)旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】(1)； (2)旅馆将每间客房的日租金提高到元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入是元． 【难度】0.65 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用． （1）根据题意可直接写出每天租出的房间数与间的关系式； （2）设客房日租金的总收入为元，根据题意得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每间客房日租金提高元，则每天租出的房间数为： ； （2）解：设客房日租金的总收入为元，则： ， ∵，开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时客房日租金为元， 答：旅馆将每间客房的日租金提高到元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入是元． 25．（2025·辽宁铁岭·二模）已知函数是关于自变量的函数，作直线将函数位于直线下方部分沿直线翻折，函数位于直线及上方部分保持不变，形成新的函数，称函数为函数的“关系函数”；例如：令得则为的“关系函数” (1)若求关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)若为的“关系函数”，点在函数上，则的值是 ； (3)若直线交于点A，B，点A在点B的左侧，为的 “关系函数”． ①求线段的长． ②过点作直线，交函数于另外两点．且当点是线段的中点时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【难度】0.65 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数，反比例函数，二次函数的性质，中位线的性质与判定，中点坐标公式，理解新定义是解题的关键； （1）根据题意，令得，进而写出函数解析式，即可求解； （2）根据反比例函数的性质得出，令，即可求解； （3）①当时，，解方程，即可得出，即可求解； ②根据题意得出，作关于的对称点则在上，过点作于点，过作于点，作关于的对称点，根据中位线的性质可得，则，得出，根据中点坐标公式可得，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 令得， ∴ （2）解： ∴ 当时，代入，解得： 当时，代入，解得： 点在函数上，则的值是 故答案为：． （3）解： 当时， 解得： ∴ ∴ ②∵ ∴顶点坐标为 关于的对称点为即 ∴关于对称的函数解析式为 当时， ∴ 如图，作关于的对称点则在上，过点作于点，过作于点，作关于的对称点， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∴ ∵，则， ∴， ∴① 又∵是的中点， ∴② 联立①②，解得：或（舍去） ∴ 26．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点，理由见解析 (3)①；②或；③或 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，新定义函数，掌握新定义函数的概念和数形结合思想是解题的关键． （1）根据“递美函数”的定义直接求解即可； （2）先求出函数的“递美函数”，把原点代入函数分析即可； （3）①根据“递美函数”的定义和待定系数法求解即可； ②先求出的函数式，联立得出其交点，画出函数与的图象，根据图象，联立求函数与分析求解即可； ③根据函数与函数的图象交于三点，画出符合要求的图象，分情况分析，求出函数与函数，联立函数，求出交点坐标，再根据勾股定理求出线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解∶ 根据题意，得， 即． （2）解∶ 不存在．理由如下： 由，得， 若的图象经过原点，则，即，此时方程无解， 不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点． （3）①解∶ 将点代入，得， ， 由题意，得，将点代入，得，解得， 函数的表达式为； ②解∶ 由①，得， 联立，解得， 函数，的交点的坐标为， 作出函数与的图象，如图 1 所示， 联立，得， 解得， 由图象可知交点在直线的左侧， ， 联立， 得，解得， 由图象可知交点在直线的右侧， ， 的值为或； ③解：当函数的图象经过点时，作出函数与函数的图象如图 2 所示，此时函数的表达式为，联立， 得，解得，， ， 根据勾股定理，得， ，； 当函数与函数只有一个交点时，作出函数与函数的图象，如图 3 所示． 联立，得，令，得， 此时方程有两个相等的根，即， ， 联立，得，解得，，， 由勾股定理，得，， 同理，， ，， 综上所述，的值为或． 27．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或2 ②；存在，面积的最大，最大值为 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解； （2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解； ②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：①∵点重合，， ∴， 把代入，得， 把代入，得， ∴， 化简整理，得， 解得：，． ∴m的值为或2， ②把代入，得， ∴， ∵轴交函数的图象于点， ∴， ∵轴交函数图象于点， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴ ∵， ∴当时， ，， ∵，， ∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为， 此时，面积的最大，最大值； 当时， ， ， ∵，，对称轴为直线， ∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，都取得最大值， 最大值为2，最大值为6， ∴此时，面积的最大，最大值， ∵， ∴存在，面积的最大，最大值为． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 28．（2025·辽宁阜新·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)请求出的面积关于的函数表达式； (3)如果直线与函数的图象有四个交点，从左到右依次记为为，，，，若，为线段的三等分点，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先求得点A、B、C的坐标，再利用坐标与图形性质求解面积即可； （2）先用m表示点A、B、C的坐标，再分①当点在轴下方时；②当点在轴上方时，结合坐标与图形性质求解面积即可； （3）设与轴交于点，根据已知得到，设，则，进而根据E、F的纵坐标相等列方程求得即可求解． 【详解】（1）解：当时，表达式为， 当时，，． 当时，，， ，，． 则． （2）解：， 当时，，， ，， ． 当时，，则． ①当点在轴下方时， ． ②当点在轴上方时， ． ∴． （3）解：，为线段的三等分点， ． 设与轴交于点，则， 设，则， 则，解得． ． 29．（2025·辽宁沈阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． (1)点的“神秘点”坐标为 ； (2)点的“神秘点”在的图象上，求的值； (3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为． ①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①当时点对应的“神秘点”的坐标为；②的取值范围为或 【难度】0.4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键． （1）由“神秘点”的定义解答即可； （2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值； （3）①先求出直线的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标； ②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴点的“神秘点”坐标为， 故答案为：． （2）解：当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； 当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； ∴综上，． （3）解：①设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 点在直线上，当时，， 解得：，即， ∴点的坐标为， ∵， ∴点对应的“神秘点”的坐标为； ②点对应的“神秘点”的坐标为， 点对应的“神秘点”的坐标为， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， ∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形， 由和， 得：和， 如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 如图，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 如图，当抛物线 过点时， ， 解得：， 综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时，的取值范围为或． 30．（2025·辽宁本溪·二模）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，，则称点是点的“坐标互换点”；若点和点均在函数上，则称函数是关于点和点的“坐标互换函数”． 例如，点，点，则点是点的“坐标互换点”；点与点均在函数上，则函数是关于点和点的“坐标互换函数”． (1)反比例函数的图象经过点，点是点的“坐标互换点”，试说明反比例函数是关于点和点的“坐标互换函数”； (2)点的“坐标互换点”点的坐标为，二次函数是关于点和点的“坐标互换函数”，点在二次函数上，当时，求点的坐标； (3)抛物线始终是关于点和点的“坐标互换函数”． ①请用含有的代数式表示k； ②连接，，若时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)①；②值为或 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的性质，理解新定义是解题的关键； （1）根据反比例函数的定义，根据点是点的“坐标互换点”得出，结合“坐标互换函数”，即可求解； （2）根据点是点的“坐标互换点”得出，进而待定系数法求解析式，以为对角线构建正方形，得到，，则的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解； （3）①根据“坐标互换函数”的定义，将点和点代入函数解析式，即可得出，即可求解； ②由（2）可得点和点关于对称，且，进而得出或，结合①的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ ∴ ∵点是点的“坐标互换点”， ∴， ∵ ∴在上， ∴反比例函数是关于点和点的“坐标互换函数”； （2）解：点的“坐标互换点”点的坐标为， ∴ ∵二次函数是关于点和点的“坐标互换函数”， ∴，在上 ∴ 解得： ∴二次函数关系式为， 以为对角线构建正方形，则，， ∴的解析式为， ∵ ∴为直线和抛物线的交点 由 解得： ∴， （3）①∵抛物线始终是关于点和点的“坐标互换函数” ∴ ∴ ∵，的横坐标和纵坐标不相等 ∴ ∴ ②如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点和点 ∴， 由（2）可得点和点关于对称，且 ∴或 ∴或 由①可得 ∴或 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$