专题07 三角形-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题07 三角形 题型概览 题型01 与三角形的线段、角有关的试题 题型02 与全等三角形有关的试题 题型03 与等腰三角形有关的试题 题型04 与直角三角形有关的试题 ( 题型01 )与三角形的线段、角有关的试题 1．（2025·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　 　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 6．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接．若四边形的面积为16，则的面积为 ． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． ( 题型02 )与全等三角形有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·二模）如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是 ． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为 ． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则 . 6．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 8．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 9．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． 12．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，分别以B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，作直线分别交、于点F、G，连接．若，则的长为 ． ( 题型03 )与等腰三角形有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·辽宁大连·二模）如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（   ） A． B．2 C．3 D．6 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 5．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为 ． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． ( 题型0 4 )与直角三角形有关的试题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的高为（   ） A． B．6 C． D．8 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，与交于点O，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，D，E是斜边的三等分点，若，，点P在的直角边上，则满足的点P的个数是（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 11．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 14．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为 ． 15．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，在上取点，使得，连接；以点为圆心作弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径，在点的异侧作弧交于点，射线交于点，连接，则的长为 ． 16．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 17．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为 ． 19．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 20．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，对角线相交于点，将菱形绕点逆时针旋转至的位置．若，则点的坐标为 ． 21．（2025·辽宁大连·二模）如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是 ． 22．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为 ． 23．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，分别以B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，作直线分别交、于点F、G，连接．若，则的长为 ． 24．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 25．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 ．（用含的代数式表示） 26．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形 题型概览 题型01 与三角形的线段、角有关的试题 题型02 与全等三角形有关的试题 题型03 与等腰三角形有关的试题 题型04 与直角三角形有关的试题 ( 题型01 )与三角形的线段、角有关的试题 1．（2025·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意得出，然后代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，，． ∴． 故选：D． 4．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　 　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用及等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ， ， 故答案为：B． 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质．先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B 6．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接．若四边形的面积为16，则的面积为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为16， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 故答案为：4． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型02 )与全等三角形有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．连接，根据菱形的性质，得到，进而求出，再证明，得到，从而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，边长是， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在截取， ∵平分，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 3．（2025·辽宁大连·二模）如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知垂直平分线，即得，，由平行四边形的性质得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，有如下操作：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点P，Q；②分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点D；④分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点S，T；⑤作直线，分别交，射线于点E，F，G，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质及其尺规作图，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由勾股定理可得，由角平分线的性质可得，根据，可求出的长，则可求出，由作图方法可得垂直平分，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于H， 在中，， ∴ 由作图方法可知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 故答案为：． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】公式法解一元二次方程、全等三角形综合问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过作交于，先证明，得到，设，则，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，根据等角对等边得到，进而得到，再由平行线分线段成比例得到，求出即可得到答案． 【详解】解：连接，过作交于，如图所示： ∵， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ，又， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 由图可知，不符合题意， 即， ，， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等角对等边、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相关知识，并灵活运用． 6．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，由等边对等角以及等量代换可得，如图：过C作，即，易证可得，由等面积法可得，即；再运用勾股定理可得，然后由勾股定理和线段的和差可得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上， ∴， ∴， 如图：过C作，即， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线， ∴， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴． 8．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】连接交于点，连接并延长交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出为等边三角形，得，证明得，，继而得到当点在对角线上运动时，点在射线上运动，再根据等腰三角形三线合一性质得，且是边上的中线，根据垂线段最短得为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵， ∴，且是边上的中线， 此时为的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，垂线段最短等知识点，确定点的运动路径是解题的关键． 9．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行线的性质与判定等等，由等边三角形的性质得到，，再由角平分线的定义可得，，由作图方法可知，垂直平分，则，则由等边对等角可证明得到，据此可证明，得到；再证明是等边三角形，得到，则可证明，进而得到，根据，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第三象限， ∴， 故答案为：． 12．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，分别以B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，作直线分别交、于点F、G，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据作图知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，根据勾股定理求出，，最后根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 由作图知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． ( 题型03 )与等腰三角形有关的试题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】内错角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图)、根据等边对等角证明 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法，结合作图逐项进行判断即可． 【详解】解：如图，根据作图可知，， ∴， 故第一个图正确； 根据作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， 故第二个图正确， 由作图可得出， ∴， ∴， ∴， 故第三个图正确， 由作图得，， ∴，， 而， ∴， ∴， 综上，正确4个， 故选：D． 2．（2025·辽宁大连·二模）如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题主要考查菱形的性质、图形翻折变换的性质以及等角对等边．解题的关键在于利用菱形性质得到相关线段和角的关系，结合翻折性质推出是中点，进而求出的长度．本题可利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵点是的中点， ∴是、交点（菱形对角线互相平分）． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴、 故选：C． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，等角对等边，由平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可推出，则，再由，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵点G为边的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：D． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．连接，根据菱形的性质，得到，进而求出，再证明，得到，从而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，边长是， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 5．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为 ． 【答案】/30度 【难度】0.85 【知识点】作线段(尺规作图)、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度 【分析】该题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，根据尺规作图得出是等边三角形，得出，根据，即可得出，再利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：连接， 根据尺规作图可得， ∴是等边三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行线的性质与判定等等，由等边三角形的性质得到，，再由角平分线的定义可得，，由作图方法可知，垂直平分，则，则由等边对等角可证明得到，据此可证明，得到；再证明是等边三角形，得到，则可证明，进而得到，根据，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三线合一、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了格点作图，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）取格点E，连接交于点D即可； （2）取格点M，连接交于E即可； （3）取格点，连接交于G即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， 理由：由题意知：，， 则四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故点D即为所求； （2）解：如图，点E即为所求， 理由：根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即点E即为所求； （3）解：如图，点G即为所求， 理由：关于对称， ∴垂直平分， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故点G即为所求． ( 题型0 4 )与直角三角形有关的试题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ， ， ． 故选：A． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的高为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等于底边乘以高，也等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵为菱形， ∴，，， 在，，， 根据勾股定理，， 设菱形的高为h， 则菱形的面积， 即， 解得， 即菱形的高为， 故选：A． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，与交于点O，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，由平行四边形性质求得，最后再由勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 故选：A． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，D，E是斜边的三等分点，若，，点P在的直角边上，则满足的点P的个数是（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求解，，如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作于，则，，，此时最小，如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作交于，则，，，，此时最小，再进一步求解最小值进行判定即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的三等分点， ∴， 如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作于，则，，， 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在上的左右两边各有一个满足， 如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作交于，则，，， ∴，此时最小， 同理可得：，， ∴， ∴上不存在满足； 故选：B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键. 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，证明四边形是矩形，故有，，通过勾股定理得，则有，从而求出顶点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在截取， ∵平分，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的作法和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由勾股定理可得，由作法可知，垂直平分，进而得到，则，即可求解． 【详解】解：，，， ， 由作法可知，垂直平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标，折叠的性质等知识，由矩形的性质得到，，，由的图象经过点，求出点，得到，由折叠可得，，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点， ∴， 由折叠可得：，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 故选：C． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，等角对等边，由平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可推出，则，再由，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵点G为边的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：D． 11．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，作轴于点，可证明是等边三角形，得到，得出，求出，根据勾股定理求出，得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 12．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短， 先说明四边形是矩形，根据矩形的性质得，当时，最短，即最短，连接，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，即最短． 连接， 由题意得， 根据勾股定理，得， ∴ ， 解得． 所以长度的最小值是3． 故答案为：3． 14．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．先确定正方形的性质，然后计算对角线长度，进而即可计算线段的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ，且， ， ， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 15．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，在上取点，使得，连接；以点为圆心作弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径，在点的异侧作弧交于点，射线交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图（角平分线）以及勾股定理．解题的关键是利用平行四边形和等腰三角形的性质求出相关线段的长度，再通过勾股定理计算的长。 先根据平行四边形性质和等腰三角形性质求出的度数，进而得到的度数，再求出的长度，然后过点作的垂线，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， 又， 是等腰三角形，， 根据三角形内角和为，可得， 由尺规作图可知是的平分线， ， ∵， ， 则是等边三角形， ， ， 过B作交延长线与， ， ， 在中， ，， 在中， ， ∴， 故答案为：． 16．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线， ∴， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴． 17．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，由等边对等角以及等量代换可得，如图：过C作，即，易证可得，由等面积法可得，即；再运用勾股定理可得，然后由勾股定理和线段的和差可得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上， ∴， ∴， 如图：过C作，即， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，证明四边形是平行四边形，性质可求出，根据可得结果． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 故答案为：． 19．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，连接，根据勾股定理求出，由折叠可得，根据，由当点三点共线时，最小，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， 如图：连接， ∴在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小， 如图： ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，对角线相交于点，将菱形绕点逆时针旋转至的位置．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】根据菱形，，得到，，得到都是等边三角形，根据旋转的性质，，结合，得到三点共线，解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：菱形，， 故，，,， 故都是等边三角形，， 根据旋转的性质，， 故， 故三点共线， 故， 故． 故答案为：． 21．（2025·辽宁大连·二模）如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知垂直平分线，即得，，由平行四边形的性质得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 22．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再结合折叠性质得，，根据勾股定理得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作的延长线上， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：5 23．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，分别以B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，作直线分别交、于点F、G，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据作图知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，根据勾股定理求出，，最后根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 由作图知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 24．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． 25．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】先由平行线性质得到，再根据题中尺规作图-作角平分线得到，结合平行线性质得到，从而由等腰三角形的判定与性质求出，过点作，如图所示，结合尺规作图-作垂线，从而得到，由含的直角三角形性质求出，最后由矩形的判定与性质，数形结合表示出线段代值求解即可得到答案． 【详解】解：在四边形中，，，则， 由题意可知，平分，则， ， ， ， 过点作，如图所示： 由题意可知，， 在中，，，则， ， ， ， ，则四边形是矩形， ， ，为的中点， ，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行线性质、尺规作图-作角平分线、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、尺规作图-作垂线、含的直角三角形性质、矩形的判定与性质、中点定义等知识，熟记相关几何性质，掌握尺规作图-作角平分线、尺规作图-作垂线的操作是解决问题的关键． 26．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三线合一、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了格点作图，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）取格点E，连接交于点D即可； （2）取格点M，连接交于E即可； （3）取格点，连接交于G即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， 理由：由题意知：，， 则四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故点D即为所求； （2）解：如图，点E即为所求， 理由：根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即点E即为所求； （3）解：如图，点G即为所求， 理由：关于对称， ∴垂直平分， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故点G即为所求． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$