专题08：数学广角——找次品（复习讲义）（解析版+学生版）-2024-2025学年五年级数学下册期末复习讲练测（人教版）

【复习讲义】2024-2025学年五年级数学下册期末复习讲练测（人教版） 专题08：数学广角——找次品 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【考点2】根据天平找次品问题 【考点3】分组问题 知识点01：找次品 1、用天平找次品 （1）定义：在若干外观相同的物品中，有一个质量较轻或较重的物品（次品），用天平称量，通过最少次数找出次品。 （2）关键：利用天平“平衡”与“不平衡”的特性，将物品分组对比，逐步缩小范围。 （3）在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量，利用天平平衡的原理找出次品。 2、找次品的最优策略 （1）把待测物品分成3份； （2）能够平均分成3份，就平均分成3份，如9（3，3，3）； （3）不能平均分成3份的，也应尽量使多的一份与少的一份只相差1，这样才能使称量的次数最少。如7（2，2，3）。 3、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系： 考点1：次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【例1】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【例2】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 【例3】（23-24五年级下·河北唐山·期末）5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 【例4】（23-24五年级下·山东济宁·期末）有19颗外形完全一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗稍重是次品。如果用天平称，至少称( )次才能保证找到这颗次品珠子。 【例5】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）10瓶钙片中有1瓶次品（轻些），至少用天平称( )次保证找到次品。 【例6】（23-24五年级下·云南德宏·期末）有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，假如用天平秤，至少秤( )次能保证找出这袋盐。 考点2：根据天平找次品问题 【例7】（23-24五年级下·江西九江·期末）有8个外观相同的台球，其中一个是次品，略轻。欢欢用天平来找次品，第一次称的结果如右下图，可以推断（    ）一定是正品。 A．①、②、③、⑦和⑧ B．④、⑦和⑧ C．④、⑤和⑥ 【例8】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【例9】（23-24五年级下·广西柳州·期末）有9个小球，其中一个是次品（轻一些），聪聪用天平称2次找到了次品（如图），次品一定是( )号小球。 【例10】（23-24五年级下·山西阳泉·期末）下列4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是（    ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 【例11】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 考点3：分组问题 【例12】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）26个零件中有1个次品（次品轻一些），用天平称，如果要保证找到次品，且称的次数最少，那么称第一次时，应按下面（    ）中分法称。 A．分2份（13，13） B．分3份（10，10，6） C．分3份（9，9，8） D．分3份（8，8，10） 【例13】（23-24五年级下·四川南充·期末）12颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：12（2，2，8）；12（3，3，6）；12（4，4，4）；12（5，5，2）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（    ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例14】（23-24五年级下·河南南阳·期末）有13个零件，其中有1个是次品，较其它零件稍轻。现在用无砝码天平称，要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（    ）。 A．（1，1，11） B．（1，2，10） C．（2，4，7） D．（4，4，5） 【例15】（23-24五年级下·天津蓟州·期末）在8个乒乓球中混有1个质量轻的次品。小红用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第一次分组方法正确的是（    ）。 A． B． C． 【例16】（23-24五年级下·河南郑州·期末）有8个零件，其中有一个是次品（偏轻一些），借助天平确保2次一定找出，第一次称的方式是（    ）。 A．天平每边放2个 B．天平每边放3个 C．天平每边放4个 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2024-2025学年五年级数学下册期末复习讲练测（人教版） 专题08：数学广角——找次品 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【考点2】根据天平找次品问题 【考点3】分组问题 知识点01：找次品 1、用天平找次品 （1）定义：在若干外观相同的物品中，有一个质量较轻或较重的物品（次品），用天平称量，通过最少次数找出次品。 （2）关键：利用天平“平衡”与“不平衡”的特性，将物品分组对比，逐步缩小范围。 （3）在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量，利用天平平衡的原理找出次品。 2、找次品的最优策略 （1）把待测物品分成3份； （2）能够平均分成3份，就平均分成3份，如9（3，3，3）； （3）不能平均分成3份的，也应尽量使多的一份与少的一份只相差1，这样才能使称量的次数最少。如7（2，2，3）。 3、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系： 考点1：次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【例1】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【答案】2 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将9瓶口香糖分成（3、3、3），称其中的（3、3），无论平衡不平衡都可确定较轻的在其中3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡都可确定较轻的1瓶，共2次。 至少称2次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【例2】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将12瓶矿泉水分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4瓶；将4瓶分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在2瓶中；将2瓶分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次才能保证找出次品。 故答案为：A 【例3】（23-24五年级下·河北唐山·期末）5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 【答案】2 【分析】把5瓶维生素分成2，2，1的形式； 第一次：把两份2瓶的维生素分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那瓶就是次品； 若不平衡，第二次：把在天平称量较轻的那组维生素，分别放在天平两端，较轻的那瓶就是次品，至少需要2次，据此解答。 【详解】根据分析可知，5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称2次才能保证找出次品。 【例4】（23-24五年级下·山东济宁·期末）有19颗外形完全一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗稍重是次品。如果用天平称，至少称( )次才能保证找到这颗次品珠子。 【答案】3 【分析】19个小球随机成6、6、7三组，天平两端放6、6两组珠子，会出现两种情况：（1）天干平衡，则次品在7个里，把7个分为2、2、3三个组，称2和2的两组，若平衡，则次品在剩下3个中，只需再任选2个称；若不平衡，则选重的2个，分成2组称一次即可，共称3次。 （2）不平衡，则次品在重的那6个里，分为3、3两组，称一次得到重的3个，重的3个分成1、1、1三组，再称一次即可找到次品，共称3次。 【详解】根据分析可知，如果用天平称，至少称3次才能保证找到这颗次品珠子。 【例5】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）10瓶钙片中有1瓶次品（轻些），至少用天平称( )次保证找到次品。 【答案】3 【分析】知道次品是轻或重的找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【详解】根据找次品的规律可知，10在10～27中，所以10瓶钙片中有1瓶次品（轻些），至少用天平称3次保证找到次品。 【例6】（23-24五年级下·云南德宏·期末）有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，假如用天平秤，至少秤( )次能保证找出这袋盐。 【答案】3 【分析】已知次品轻或重的找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【详解】有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，15在10～27之间，所以用天平秤，至少秤3次能保证找出这袋盐。 考点2：根据天平找次品问题 【例7】（23-24五年级下·江西九江·期末）有8个外观相同的台球，其中一个是次品，略轻。欢欢用天平来找次品，第一次称的结果如右下图，可以推断（    ）一定是正品。 A．①、②、③、⑦和⑧ B．④、⑦和⑧ C．④、⑤和⑥ 【答案】A 【分析】从图中可知，天平左右两边各放了3个台球，天平不平衡，左边重、右边轻。因为次品略轻，所以这个次品一定在右边的④⑤⑥中，由此推断哪些台球是正品。 【详解】根据第一次称的结果可知，天平左边的台球重，右边的台球轻。因为次品略轻，所以左边较重的①②③是正品，另外还没有称的台球⑦和⑧也是正品。 所以，可以推断①、②、③、⑦和⑧一定是正品。 故答案为：A 【例8】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【答案】C 【分析】上面的这个天平是平衡的，那么①、③、②、⑥中没有次品。下面的天平不平衡，那么轻的一边含有次品。⑥不是次品，那么⑤是次品。 【详解】根据图示判断，次品球的编号是⑤。 故答案为：C 【例9】（23-24五年级下·广西柳州·期末）有9个小球，其中一个是次品（轻一些），聪聪用天平称2次找到了次品（如图），次品一定是( )号小球。 【答案】⑨ 【分析】把9个小球平均分成3组，每组3个，第一次取其中的2组放到天平的两端，如果天平不平衡，则次品在天平上浮的一端中；在天平上浮一端中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的即是次品，天平如果不平衡，天平上浮一端的即为次品。 【详解】第一次称重时，天平平衡，则次品在没有称重的1组之中，是在⑦⑧⑨三个球中； 在没有称重的1组中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的即是次品，是⑨号没有称重，为次品。 次品一定是⑨号小球。 【例10】（23-24五年级下·山西阳泉·期末）下列4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是（    ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 【答案】B 【分析】根据题意可知，4个乒乓球中有一个是次品，3号球和4号球相等，说明3号球和4号球的质量相同；3号球和4号球不是次品；2号球和3号球不相等，说明2号球和3号球质量不相同，由于1号球和2号球的质量和比3号球和4号球的质量和要小，说明这个次品重量比较轻；通过第二个图可知：2号球比3号球质量小，所以也就是2号球是次品，据此解答。 【详解】根据分析可知，次品球是2号球。 4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是2号球。 故答案为：B 【例11】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 【答案】B 【分析】从图中可知，天平左边放的是①②号玻璃球，天平右边放的是③④号玻璃球；天平不平衡，右边上翘，左边下沉，说明天平右边比左边轻，即③④比①②轻，据此得出次品在③④中。 【详解】因为有1颗是次品，质量稍轻，而天平右边轻，根据图示可以推断出次品一定在③④中。 故答案为：B 考点3：分组问题 【例12】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）26个零件中有1个次品（次品轻一些），用天平称，如果要保证找到次品，且称的次数最少，那么称第一次时，应按下面（    ）中分法称。 A．分2份（13，13） B．分3份（10，10，6） C．分3份（9，9，8） D．分3份（8，8，10） 【答案】C 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将26个零件分成（9，9，8），先称（9，9），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在9个中；将9个分成（3，3，3），称（3，3），无论平衡不平衡，都可确定次品在3个中；将3个分成（1，1，1），称（1，1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 因此称第一次时，应按分3份（9，9，8）的分法称。 故答案为：C 【例13】（23-24五年级下·四川南充·期末）12颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：12（2，2，8）；12（3，3，6）；12（4，4，4）；12（5，5，2）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（    ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】12颗螺丝钉中有1个次品，把12颗螺丝钉尽可能平均分成3份，先选其中相同数量的两份来称，如果天平平衡，次品在另一份中，如果不平衡，次品在较轻的那一份中。 每次称都要除以2（第一次除外），所以哪组两次除以2，还没能找出次品，即为超过3次。 【详解】A．如果天平平衡，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，超过三次，不符合题意； B．如果天平平衡，6÷2＝3，不超过三次，符合题意； C．4÷2＝2，2÷2＝1，不超过三次，符合题意； D．如果天平不平衡，5分成三份（2，2，1），2÷2＝1，不超过三次，符合题意。 故答案为：C 【例14】（23-24五年级下·河南南阳·期末）有13个零件，其中有1个是次品，较其它零件稍轻。现在用无砝码天平称，要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（    ）。 A．（1，1，11） B．（1，2，10） C．（2，4，7） D．（4，4，5） 【答案】D 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将13个零件分成（4、4、5），称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在5个中；将5分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。 要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（4，4，5）。 故答案为：D 【例15】（23-24五年级下·天津蓟州·期末）在8个乒乓球中混有1个质量轻的次品。小红用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第一次分组方法正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，为了用最少的次数找到质量较轻的次品乒乓球，我们应该尽可能将乒乓球分为相等或接近相等的组，8个乒乓球可以分为三组，两组为3个，一组为2个，这样分组的原因是，如果两组3个的乒乓球天平放一组，如果平衡，则次品在2个未称重的球里，如果不平衡的话，次品在较轻的那组3个中，这样，第一次称量就能确定次品在哪一组。 【详解】用最少的次数保证找到这个次品，第一次分组方法正确的是。 故答案为：A 【例16】（23-24五年级下·河南郑州·期末）有8个零件，其中有一个是次品（偏轻一些），借助天平确保2次一定找出，第一次称的方式是（    ）。 A．天平每边放2个 B．天平每边放3个 C．天平每边放4个 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将8个零件分成（3、3、2），先称（3、3），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在其中3个；将3个分成（1、1、1），任意称其中的（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共2次。 第一次称的方式是天平每边放3个。 故答案为：B 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$