12.1分式（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

12.1 分式 题型一 分式的判断 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子是分式的是（ ） A． B． C． D． 3．在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 分式有意义的条件 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D．为任意实数 3．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．若分式有意义，则x需要满足怎样的条件 ． 5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 题型三 分式的变形 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 4．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 5．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．分式可以变形为（   ） A． B． C． D． 7．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 8．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 9．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 10．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 11．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 题型四 分式的值的变化问题 1．如果分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　) A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的4倍 2．地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 3．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 4．对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 5．若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 故选：A． 6．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 7．将分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的6倍 B．扩大为原来的9倍 C．扩大为原来的3倍 D．不变 题型五 分式的化简 1．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 2．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 3．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 4．填空题： （1）；括号里填写          （2）；括号里填写          （3）；括号里填写          （4）；括号里填写 （5）不改变分式的值，把的分子和分母中各项系数都化为整数，结果为 ； （6） ．括号里填写 题型一 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列各式：用含n的等式表示这个规律 ．（n表示正整数，） 3．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 题型二 求分式的值 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 2．已知，求代数式的值． 题型三 根据分式的值求取值范围 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 2．若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 3．若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 4．分式的值为负数，求的取值范围 ． 5．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 题型四 整数问题 1．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 2．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 3．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 1．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 2．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 3．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 5．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 6．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 7．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 8．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 9．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 10．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 分式 题型一 分式的判断 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 2．下列式子是分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选： 3．在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，分母中不含有字母则不是分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式中，分式有． ∴分式有4个． 故选：C． 4．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 5．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 6．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、是整式，故此选项不符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型二 分式有意义的条件 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得到，进而求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故选：D． 2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：C． 3．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．熟记分式的分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．若分式有意义，则x需要满足怎样的条件 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得，． 故答案为：． 题型三 分式的变形 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 3．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 4．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 【详解】解：． 故选：B． 5．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．分式可以变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 7．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：． 故选：D． 8．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 9．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 10．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 11．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四 分式的值的变化问题 1．如果分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值(　　) A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，和都扩大为原来的 2倍， 则， ∴分式的值扩大为原来的 2 倍． 故选：B． 2．地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算，即可解答． 【详解】由，得 ， 即． 故选A． 3．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质．由、的值均扩大为原来的3倍，可得，分别扩大为3倍后为，，再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案． 【详解】解：、的值均扩大为原来的3倍， A、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意； B、，分式的值不变，故本选项符合题意； C、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意； D、分式的值发生了变化，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 5．若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 6．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案． 【详解】解：A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意； D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意． 故选：C． 7．将分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的6倍 B．扩大为原来的9倍 C．扩大为原来的3倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．先将，同时扩大为原来的3倍，得，再与进行相除，即可作答． 【详解】解：由题可知，当分式中的与分别扩大为原来的3倍后：， ． 则扩大为原来的3倍． 故选：C． 题型五 分式的化简 1．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 3．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 4．填空题： （1）；括号里填写          （2）；括号里填写          （3）；括号里填写          （4）；括号里填写 （5）不改变分式的值，把的分子和分母中各项系数都化为整数，结果为 ； （6） ．括号里填写 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质、因式分解、分式符号规律等知识，分式的分子分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，熟记分式基本性质是解决问题的关键． （1）分式的分子分母都乘以，分式的值不变，直接由分式性质求解即可得到答案； （2）分式的分子分母都乘以，分式的值不变，直接由分式性质求解即可得到答案； （3）分式的分子分母都乘以，分式的值不变，直接由分式性质求解即可得到答案； （4）先将分母因式分解，再约分即可得到答案； （5）分式的分子分母都乘以，分式的值不变，直接由分式性质求解即可得到答案； （6）直接由分式的符号规律求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：； （5）， 故答案为：； （6）， 故答案为：，． 题型一 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2．观察下列各式：用含n的等式表示这个规律 ．（n表示正整数，） 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，分式的规律问题，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题． 根据题干得到等号左边的分数的分子与第一个因数相同，分母比第一个因数大1，等号右边为等号左边的两个因数相减，即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴用含n的等式表示这个规律为：， 故答案为：． 3．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 题型二 求分式的值 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法，设，整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选D． 2．已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 先对分子分母因式分解，化为最简分式，再将变形为，再整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型三 根据分式的值求取值范围 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 2．若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号，据此列不等式（组）解答． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴． 故选C． 3．若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可知：或， 解得，或， 故本题答案为：或． 4．分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 5．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 题型四 整数问题 1．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 2．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 3．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 1．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 2．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 3．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键．根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 故④错误， 故选：A． 4．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了伴随分式的定义，规律问题，读懂题意得到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：根据题意， ， ， ， ， ， ， ，……， 即每4个为一循环， ， ， 故答案为：． 5．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 6．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】19.5 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ，，…，， ∵x为正数， ∴原式 ． 故答案为：． 7．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 8．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 9．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 10．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$