2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习常见模型证明（燕尾模型+外角模型+角内（外）模型）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 常见模型证明 （燕尾模型+外角模型+角内（外）模型） 【模型一】燕尾模型 【例1】如图，在中，，分别平分和，若，则______． 【变式1】如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为__________． 【变式2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____． 【变式3】如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点P，，则______． 【变式4】已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是____． ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． 【变式5】【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【变式6】实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【模型二】外角模型 【例2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 【变式1】已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到的度数是（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图，在中，的内角和外角的角平分线交于点，已知，则的度数为______. 【变式3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=______． 【变式4】如图，在七边形中，、的延长线交于点O，若、、、的外角和等于，则的度数为______． 【变式5】如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【模型三】角内（外）模型 【例3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式1】如图，将四边形纸片沿折叠，点分别落在点处．若，则（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中的度数和是（ ） A. B. C. D. 【变式3】在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 【变式4】如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则___________． 【变式5】图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3， （1）求图2中的度数； （2）探索图3中与的位置关系，并说明理由． 【变式6】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______； （2）【问题推广】 如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数． （3）如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______； （4）【拓展提升】 在四边形BCDE中，EBCD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，之间的数量关系． 答案解析 【模型一】燕尾模型 【例1】如图，在中，，分别平分和，若，则______． 【答案】 【变式1】如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为__________． 【答案】 【变式2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____． 【答案】70 【变式3】如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点P，，则______． 【答案】 【变式4】已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是____． ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． 【答案】①②③ 【变式5】【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【答案】探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【变式6】实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【答案】（1）①；②； （2） 如图3，过点D作射线． 根据三角形外角的性质，可得，， 又∵，， ∴； （3）①如图4，由（2）可得， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∵， ∴； ③如图5，设，，则，， ∵， ∴，， 解得， ∴， 即的度数为． 【模型二】外角模型 【例2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 【答案】B 【变式1】已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式2】如图，在中，的内角和外角的角平分线交于点，已知，则的度数为______. 【答案】 【变式3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=______． 【答案】90° 【变式4】如图，在七边形中，、的延长线交于点O，若、、、的外角和等于，则的度数为______． 【答案】 【变式5】．如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【模型三】角内（外）模型 【例3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【变式1】如图，将四边形纸片沿折叠，点分别落在点处．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式2】如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中的度数和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式3】在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 【答案】66° 【变式4】如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则___________． 【答案】 【变式5】.图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3， （1）求图2中的度数； （2）探索图3中与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式6】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______； （2）【问题推广】 如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数． （3）如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______； （4）【拓展提升】 在四边形BCDE中，EBCD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，之间的数量关系． 【答案】（1）解：∵∠A=50°， ∴， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：115°； 【小问2详解】 解：∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP， ∵∠CBM=∠BAC+∠ACB， ∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB， ∴∠CBP=∠BAP+40°， ∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC， ∴∠ABC=100°-2∠BAP， ∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°-∠BAP， ∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°， ∵BH⊥AP，即∠BHP=90°， ∴∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°； 【小问3详解】 解：由折叠性质可得∠AED=∠PED，∠ADE=∠PDE， ∵∠1+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，∠1+∠2=100°， ∴∠AEP+∠ADP=260°， ∴2∠AED+2∠ADE=260°， ∴∠AED+∠ADE=130°， ∴∠A=180°-∠AED-∠ADE=50°， ∴同（1）原理可得∠P=115°， 故答案为：115°； 【小问4详解】 解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ∵， ∴∠CBE+∠BCD=180°， ∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF， ∴， ∵， ∴； 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，， ∴； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得； 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$