2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习常见模型证明（铅笔模型+8字模型+三角板模型）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 常见模型证明 （铅笔模型+8字模型+三角板模型） 【模型一】铅笔模型 【例1】如图，已知：，求证：． 【变式1】如图，，，，则的度数为_________． 【变式2】如图，直线，，，则__度，__度． 【变式3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 度。 【变式4】如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则______． 【变式5】如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． （1）如图1，则的度数为 （用含的式子表示）； （2）在图1中连接，请用无刻度的直尺和圆规在射线上找一点F，使得（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，点G是射线上的一点，若，且，连接，若中有两个相等的角，直接写出的度数； 【变式6】【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间． （1）求证：； 证明：如图1，过点作． ， ，， ， 即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为 　 　． 【联系拓展】 （3）如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为 　 　． 【模型二】8字模型 【例2】如图所示，则的度数是 　　． 【变式1】如图，，与相交于点，是射线上的一点．若，，则______． 【变式2】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数． 【变式3】已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE． ①若CEAB，求∠BEC度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数． 【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：； （2）利用（1）中的结论，试求图2中的度数． 【变式5】在中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，设，，． （1）如图1，若点在线段上，且，求的度数； （2）若点在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 【变式6】如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”； （2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数； （3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由； （4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ． 【模型三】三角板模型 【例3】把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 125° B. 120° C. 140° D. 130° 【变式1】如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【变式2】如图，已知直线，将直角三角尺放在图中所示的位置上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【变式3】 如图，a//b，的直角顶点C在直线b上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【变式4】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点，重合，若固定三角板，将三角板绕着公共顶点，按逆时针方向旋转度（），当旋转后的与三角板的某一边平行时，的值为______． 【变式5】如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空：_________，_________． （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求n的值． （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______ ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式6】 如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°． （1）将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． （4）通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α． 答案解析 【模型一】铅笔模型 【例1】如图，已知：，求证：． 【答案】过点P作，如图， ∵ ∴ ∴ ∴，即 【变式1】如图，，，，则的度数为_________． 【答案】 【变式2】如图，直线，，，则__度，__度． 【答案】 78 360 【变式3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 度。 【答案】88 【变式4】如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则______． 【答案】 【变式5】如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． （1）如图1，则的度数为 （用含的式子表示）； （2）在图1中连接，请用无刻度的直尺和圆规在射线上找一点F，使得（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，点G是射线上的一点，若，且，连接，若中有两个相等的角，直接写出的度数； 【答案】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：所作图形如图所示， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， 如图，时，； 如图，； 如图，时，； 如图，时，； 综上，的度数为或或或； 【变式6】【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间． （1）求证：； 证明：如图1，过点作． ， ，， ， 即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为 　 　． 【联系拓展】 （3）如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为 　 　． 【答案】（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ； （2）如图，过点作， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，交于， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得， ， ， 故答案为：． 【模型二】8字模型 【例2】如图所示，则的度数是 　　． 【答案】 【变式1】如图，，与相交于点，是射线上的一点．若，，则______． 【答案】 【变式2】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数． 【答案】∵DC⊥BC，∠DBC=45°，∴∠D=90°﹣∠DBC=90°﹣45°=45°； ∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥DC，∴∠AED=∠A=70°； 在△DEF中，∠BFE=∠D+∠AED=45°+70°=115°． 【变式3】已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE． ①若CEAB，求∠BEC度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数． 【答案】（1）①∵∠A=60°，∠ACB=36°， ∴∠ABC=84°， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=42°， ∵CEAB， ∴∠BEC=∠ABE=42°； ②∵∠A=60°，∠ACB=36°， ∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°， ∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE=∠ABC=42°，∠ECD=∠ACD=72°， ∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°； 【小问2详解】 ①如图1，当CE⊥BC时， ∵∠CBE=42°， ∴∠BEC=48°； ②如图2，当CE⊥AB于F时， ∵∠ABE=42°， ∴∠BEC=90°+42°=132°， ③如图3，当CE⊥AC时， ∵∠CBE=42°，∠ACB=36°， ∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°． 综上可得：∠BEC的度数为48°或132°或12°． 【变式4】如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”； （2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数； （3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由； （4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ． 【答案】（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α）， ∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP， ∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B， ∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B， 即∠P=（∠C+∠B）， ∵∠C=100°，∠B=96° ∴∠P=（100°+96°）=98°； （4）360°． 【变式5】在中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，设，，． （1）如图1，若点在线段上，且，求的度数； （2）若点在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）根据图1可得：，， ∴， ∵， ∴，， 即； 【小问2详解】 解：如图2，设交于点， ∵，， ∴； 如图3，设交于点， ∵，， ∴； 【变式6】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：； （2）利用（1）中的结论，试求图2中的度数． 【答案】（1）∵，， ∴， （2）如图所示，连接， ∴， ∴， 【模型三】三角板模型 【例3】把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 125° B. 120° C. 140° D. 130° 【答案】D 【变式1】如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】C 【变式2】如图，已知直线，将直角三角尺放在图中所示的位置上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式3】 如图，a//b，的直角顶点C在直线b上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式4】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点，重合，若固定三角板，将三角板绕着公共顶点，按逆时针方向旋转度（），当旋转后的与三角板的某一边平行时，的值为______． 【答案】或或 【变式5】如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空：_________，_________． （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求n的值． （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______ ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）120，90； (2)①，； ②当时，， 解得， ∴n的值是； (3)①15 ②存，理由如下： 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 【变式6】 如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°． （1）将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． （4）通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α． 【答案】（1）∠CON=150° （2）1.5或19.5；12或30 （3）解：如图，在的内部 ∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AON＝90°﹣∠AOM， ∠AON＝60°﹣∠NOC， ∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC， ∴∠AOM﹣∠NOC＝30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． 【小问4详解】 解：其中一个三角形是等腰三角形 ①在直线上方： 当时， ∴ 当时， ∴ ∴ ②在直线下方： 当时， ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述：其中一个三角形有两个角相等，旋转角度α为或或或 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$