2025年江苏省常州市中考数学预测卷

2025年江苏省常州市中考数学预测卷 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．考生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具：若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值(保留根号与π)． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分， 在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上) 1. 一个数的相反数是5，则这个数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，2025年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（　　） A. 100分 B. 95分 C. 90分 D. 85分 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A. B. C. D. 8. 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：__________． 11．16的平方根是 　　． 12. 计算的结果是_____. 13. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 14. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm． 15. △ABC中，，则________． 16. 若方程的两个根是，则的值为__________． 17. 已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 18. 如图，点A（-3,0）、点B（0，），直线与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则∆MCD面积的最小值是 ________． 三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 解方程和不等式组： （1）解方程： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20. 求代数式的值，其中． 21. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 22．【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 　　 ； （2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率． 23. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知． （1）的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______； （3）连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是338m2． 26. 我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角△ABC中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是△ABC的“比例中点”． （1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是△AOB的“比例中点”，则点的坐标为______； （2）如图3，已知△ABC中，，，，若点是的“比例中点”，求； （3）如图4，已知△ABC是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 27. 如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． （1）求证：． （2）若是的切线． ①求证：． ②若，，是的中点，则的半径为_____． 28. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省常州市中考数学预测卷 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．考生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具：若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值(保留根号与π)． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分， 在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上) 1. 一个数的相反数是5，则这个数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．解题的关键是掌握相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即的相反数是5， ∴这个数是， 故选：C． 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，具有一定的空间概念是解题的关键．分析题意，回忆三种视图的相关知识；左视图是从物体的左面看得到的视图；根据左视图的基本知识，分析给出的几何体，看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示，零件的从左看是两个竖叠的矩形，中间有2条横着的虚线． 【详解】解：零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有2条横着的虚线． 故选：B． 3. 据报道，2025年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法除法法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 5. 甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（　　） A. 100分 B. 95分 C. 90分 D. 85分 【答案】C 【解析】 【详解】①众数是90时， ∵众数与平均数相等， ∴（90+90+x+80）=90，解得x=100．这组数据为：80，90，90，100，∴中位数为90． ②当众数是80时， ∵众数与平均数相等， ∴（90+90+x+80）=80，解得x=60，故不可能． 所以这组数据中的中位数是90．故选C． 点睛：本题众数可能是90，也可能是80，因此应分众数是90或者众数是80两种情况进行讨论．正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据简单事件概率公式，求出所有等可能的结果有6种，指针指向大于等于3的可能结果有4种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意知，所有等可能的结果有6种，指针指向大于等于3的可能结果有4种，则指针指向大于等于3的概率为； 故选：B． 7. 图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，连结，设与的交点为O，由题意可知四边形为菱形，故，在中，，可求出的值，进一步可求出答案． 【详解】解：连结，设与的交点为O，如图， ， 四边形为菱形， ， 在直角三角形中，， ， ， 故选：B． 8. 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数的图像走向即可. 【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限 ，， 二次函数图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧 其中一个交点的横坐标为 ，即 二次函数的图像与x轴有一个交点为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a、b、c和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键. 错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为 得出a、b、c三者之间的关系. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为．正根据代数式有意义列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式与公式法分解因式；先提取公因式3，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．16的平方根是 　　． 【分析】一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，据此即可得出答案． 【解答】解：，， 的平方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12. 计算的结果是_____. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 14. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm． 【答案】16 【解析】 【详解】解：如图，连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm， ∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm， 故答案为16． 15. △ABC中，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．根据锐角的正切等于锐角的对边比邻边，可得答案． 【详解】解：在△ABC中，， ∴， 故答案为：． 16. 若方程的两个根是，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根是， ∴， ∴ ， 故答案为：5． 17. 已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 【答案】点B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式的解集是得到一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即， ∵，， ∴点A的纵坐标应该大于2，点C的纵坐标应该小于2，点D的纵坐标应该小于2， ∴，，一定不在直线直线上， ∵，，，四个点中，有一个点在直线上， ∴点在直线上， 故答案为：点B 18. 如图，点A（-3,0）、点B（0，），直线与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则∆MCD面积的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求出点D、C的坐标，由已知M是平面内一动点，且∠AMB=60º知点M在ΔABM的外接圆上，由已知推导出AB∥CD，则可知要使ΔMCD面积最小，只需点M在AB的垂直平分线上，进而证得ΔABM是等边三角形，通过推理求出点M坐标，即可求得面积最小值. 【详解】∵M是平面内一动点，且∠AMB=60º， ∴点M在ΔABM的外接圆上， ∵直线与x轴、y轴分别交于点D、C， ∴C（0，），D（4，0）， ∴OC=，OD=4， ∴tan∠ODC=， ∴∠ODC=60º， ∵点A（-3,0）、点B（0，）， ∴OA=3，OB=， ∴tan∠OAB=，且AB=， ∴∠OAB=60º， ∴AB∥CD ， ∴当M在AB的垂直平分线上时，ΔMCD的面积最小，此时AM=BM， ∵∠AMB=60º， ∴ΔAMB是等边三角形， ∴∠BAM=60º， ∴点M在x轴上，且AM=AB=6， ∴点M（3,0） ∴MD=1， ∴ΔMCD的面积最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数与几何的应用，涉及一次函数的性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、平行线的距离求最值等相关知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，提取相关有效信息，结合图形，确定解题思路，并对相关信息探究、推理及计算. 三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 解方程和不等式组： （1）解方程： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）本题考查了分式的加减运算和分式方程的解法，熟练掌握分式的混合运算法则和解分式方程的方法是关键；原式先通分，再约分化简即可；原方程先去分母，求出整式方程的解后，再检验即可. （2）本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解. （2）解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 则不等式组的解集为：； 在数轴上表示如下： 20. 求代数式的值，其中． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式将式子展开，再合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2）见详解 （3）480名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以A占的比值；从而补全统计图； （2）用总数减去A、B、D的人数即可求出C的人数，即可补全图形； （3）用1200数乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（名）， ， 故答案为：100，144； 【小问2详解】 解：C的人数有：（名）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计“A：完全了解”的学生人数有480名． 22．【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 　　 ； （2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率． 【分析】（1）一共有三种情况，只有一种情况符合题意，根据概率公式即可求解； （2）根据列表法或树状图法可以列出所有情况，再找出符合题意的情况，即可解答． 【解答】解：（1）把一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，一共有3种情况，只有把算珠摆放到百位数上才能构成三位数， 概率为． 故答案为：； （2）画树状图如下： 由图可得共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数的结果有5个， 构成的数是三位数的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，用数字表示事件，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 23. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知． （1）的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______； （3）连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）先求出点E坐标即可得到的值； （2）根据图象直接写出不等式解集即可； （3）分点P在线段上和点P在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 在函数中，当时，， ∴点D的坐标为， ∵点D的坐标为且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在函数中，当时，， ∴由图象可知的x的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在线段上时，设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长上时，设， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是338m2． 【答案】当矩形温室的长为30m，蔬菜种植区域的面积是338m2． 【分析】设矩形温室的宽为x m,则长为2x m,根据蔬菜种植区域的面积是338m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设矩形温室的宽为x m,则长为2x m, 根据题意得：（x-1-1）（2x-3-1）=338， 整理得：（x-2）2=169， 解得：x1=-11（不合题意，舍去），x2=15， ∴2x=2×15=30． 答：当矩形温室的长为30m,蔬菜种植区域的面积是338m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角△ABC中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是△ABC的“比例中点”． （1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是△AOB的“比例中点”，则点的坐标为______； （2）如图3，已知△ABC中，，，，若点是的“比例中点”，求； （3）如图4，已知△ABC是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 【答案】（1）、 （2）8或18 （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，设,则，，，勾股定理得出，根据建立方程，解方程即可求解； （2）设，则，过点作于点，勾股定理得出，根据新定义建立方程，解方程即可求解； （3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，连接， ∵已知点的坐标为，点在轴上，， ∴， 设,则， ∴， 在中， ∵点是△AOB的“比例中点”， ∴， ∴ 解得：或 ∴或 当时，,，即； 当时，,，即， 【小问2详解】 解：∵点是△ABC的“比例中点”， ∴ 设，则， 如图所示，过点作于点， ∵△ABC中，，，， ∴，， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 【小问3详解】 设点是△ABC的“比例中点”设等边三角形的边长为 ∴ 设，则， 如图所示，过点作于点， ∵△ABC中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无解， ∴等边三角形有没有“比例中点”． 【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建立方程解方程是解题的关键． 27. 如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． （1）求证：． （2）若是的切线． ①求证：． ②若，，是的中点，则的半径为_____． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似 三角形的判定定理解答即可； ②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵平分， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：连接并延长交于点，如图： 由（1）知：， ，， ， ∵是的切线， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图： ∵是的切线， ， ∵， ∴． ∴， 由①知：， ， ， ， ∵是的中点， ， ，， ， ，， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 28. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分①当点与点重合和点与点重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， ①当点与点重合时，交轴于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， 设， ∴， 整理得，即， ∴， ∴； ②当点与点重合时，交轴于点， ∵，， 设， 同理，四边形是平行四边形，对角线互相平分， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵，设，则， ∴， 如图，作于点，交直线于点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025 年江苏省常州市中考数学预测卷 注意事项：1．本试卷满分为 120分，考试时间为 120分钟． 2．考生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具：若试题计算没有要求取近似 值，则计算结果取精确值(保留根号与π)． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用 2B 铅笔作 答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分， 在每小题所给的四个选项中，只有一项是正 确的，请把答案直接填写在答题．卡相应．．的位置．上) 1. 一个数的相反数是 5，则这个数是（ ） A. 1 5 B. 5 C. 5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．解题的关键是掌握相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“” 号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是 0．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即 5 的相反数是 5， ∴这个数是 5 ， 故选：C． 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，具有一定的空间概念是解题的关键．分析题意，回忆三种视图的相关知识； 左视图是从物体的左面看得到的视图；根据左视图的基本知识，分析给出的几何体，看到的棱用实线表示，看不到 的用虚线表示，零件的从左看是两个竖叠的矩形，中间有 2条横着的虚线． 【详解】解：零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有 2条横着的虚线． 故选：B． 2 3. 据报道，2025 年“五一”假期全国国内旅游出游合计 274000000 人次．数字 274000000 用科学记数法表示是 （ ） A. 727.4 10 B. 82.74 10 C. 90.274 10 D. 92.74 10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为 10na 的形式，其中1 | | 10,a n  为整数，确定 n的值时，要看把原数变成 a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 8274000000 2.74 10  ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. 4 3 1a a  B. 2 3 5a a a  C.  32 5a a D. 6 3 2a a a  【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项法则、幂的乘 方、同底数幂乘法除法法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、4 3a a a  ，故 A错误； B、 2 3 5a a a  ，故 B正确； C、  32 6a a ，故 C错误； D、 6 3 3a a a  ，故 D错误． 故选：B． 5. 甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为 90 分、90 分、x 分、80 分，若这组数据的众数与平均数恰好相等， 则这组数据的中位数是（ ） A. 100 分 B. 95 分 C. 90 分 D. 85 分 【答案】C 【解析】 【详解】①众数是 90时， ∵众数与平均数相等， 3 ∴ 1 4 （90+90+x+80）=90，解得 x=100．这组数据为：80，90，90，100，∴中位数为 90． ②当众数是 80时， ∵众数与平均数相等， ∴ 1 4 （90+90+x+80）=80，解得 x=60，故不可能． 所以这组数据中的中位数是 90．故选 C． 点睛：本题众数可能是 90，也可能是 80，因此应分众数是 90或者众数是 80两种情况进行讨论．正确运用分类讨 论的思想是解答本题的关键． 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于 3的概率是（ ） A. 12 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据简单事件概率公式，求出所有等可能的结果有 6种，指针指向大于等于 3的可能结果有 4种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意知，所有等可能的结果有 6种，指针指向大于等于 3的可能结果有 4种，则指针指向大于等于 3的概率为 4 2 6 3  ； 故选：B． 7. 图 1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图 2是该螺旋式千斤顶 的平面示意图，已知四条支撑杆 AB BC CD DA， ， ， 的长度均为20cm，螺杆 AC与水平地面平行．当 DAC   时，千斤顶顶部到水平地面的距离 BD的长为（ ） A. 40 sin B. 40sin C. 40 tan D. 40cos 【答案】B 【解析】 4 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，连结 BD，设 AC与 BD的交点为 O，由题意可知四边形 ABCD为菱形， 故 AC BD ，在 Rt ADO 中， sin 20 DO DO AD    ，可求出DO的值，进一步可求出答案． 【详解】解：连结 BD，设 AC与 BD的交点为 O，如图， 20cmAB BC CD AD    ， 四边形 ABCD为菱形， 2AC BD BD DO  ， ， 在直角三角形 ADO中， sin 20 DO DO AD    ，  20sinDO  ，  40sinBD  ， 故选：B． 8. 已知一次函数 y ax b  与反比例函数 cy x  的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为 1 ， 则二次函数 2y ax bx c   的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数 2y ax bx c   的图像走向即可. 【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限 0a  ， 0b  ， 0c  二次函数 2y ax bx c   的图像开口向上，与 y轴交于正半轴， 0 2 b a   ，对称轴在 y轴左侧 其中一个交点的横坐标为 1 5 a b c    ，即 0a b c   二次函数 2y ax bx c   的图像与 x轴有一个交点为  1,0 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断 a、b、c和 0的大小关系；得到三者的相关特性是 判断二次函数图像走势的关键. 错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出 a、b、 c和 0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为 得出 a、b、c 三者之间的关系. 二、填空题(本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上) 9. 若代数式 5 2x  有意义，则实数 x的取值范围是______． 【答案】 2x  【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为0．正根据代数式 5 2x  有 意义列出不等式 2 0x   ，解不等式即可． 【详解】解：代数式 5 2x  有意义，  2 0x   ， 解得： 2x  ， 故答案为： 2x  ． 10. 分解因式： 2 23 12 x y __________． 【答案】 3( 2 )( 2 )x y x y  【解析】 【分析】本题考查了提公因式与公式法分解因式；先提取公因式 3，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 2 2 2 23 12 3( 4 ) 3( 2 )( 2 )x y x y x y x y      ； 故答案为： 3( 2 )( 2 )x y x y  ． 11．16的平方根是 ． 【分析】一个数 x的平方等于 a，则这个数 x即为 a的平方根，据此即可得出答案． 【解答】解： 24 16 ， 2( 4) 16  ， 16 的平方根为 4 ， 故答案为： 4 ． 6 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12. 计算 8 12 3  的结果是_____. 【答案】 4 2 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答 案. 【详解】解： 8 12 8 12 32 4 2 33      ， 故答案为： 4 2． 13. 如图， AB是 O 的直径，位于 AB两侧的点 C，D均在 O 上， 30BOC  ，则 ADC  ______度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出 AOC ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵ AB是 O 的直径，位于 AB两侧的点 C，D均在 O 上， 30BOC  ， ∴ 180 150AOC BOC     ， ∴ 1 75 2 ADC AOC    ； 故答案为：75． 14. 如图，已知矩形 ABCD的对角线长为 8cm，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，则四边形 EFGH 的周长等于_____cm． 【答案】16 【解析】 【详解】解：如图，连接 AC、BD， 7 ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点， ∴HG=EF= 1 2 AC=4cm，EH=FG= 1 2 BD=4cm， ∴四边形 EFGH的周长等于 4cm+4cm+4cm+4cm=16cm， 故答案为 16． 15. △ABC 中， 90 2 4C BC AC    ， ， ，则 tan A  ________． 【答案】 1 2 ##0.5 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．根据锐角的正切等于锐角的对边比邻边，可得答案． 【详解】解：在△ABC 中， 90 2 4C BC AC    ， ， ， ∴ 2 t 2an 1 4 BCA AC    ， 故答案为： 1 2 ． 16. 若方程 2 4 1 0x x   的两个根是 1 2,x x ，则  1 2 21 x x x 的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程 2 0ax bx c   的两根 为 1x ， 2x ，则 1 2 1 2, b cx x x x a a     ． 先根据一元二次方程根与系数的关系求出 1 2 1 24, 1x x x x   ，再将  1 2 21 x x x 变形为  1 2 1 2x x x x  ，代入求 解即可． 8 【详解】解：∵方程 2 4 1 0x x   的两个根是 1 2,x x ， ∴ 1 2 1 24, 1x x x x   ， ∴  1 2 21 x x x 1 1 2 2x x x x    1 2 1 2x x x x   4 1 5   ， 故答案为：5． 17. 已知不等式 2kx b  的解集是 4x  ，  5,1A ，  5,3B ，  3,3C ，  3,4D 四个点中，有一个点在直线 y kx b  上，则这个点是__________． 【答案】点 B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式 2kx b  的解集是 4x  得到一次函数 y kx b  必过点  4,2 ，且 y随着 x的增大而增大，即 0k  ，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式 2kx b  的解集是 4x  ， ∴一次函数 y kx b  必过点  4,2 ，且 y随着 x的增大而增大，即 0k  ， ∵5 4 ，3 4 ， ∴点 A的纵坐标应该大于 2，点 C的纵坐标应该小于 2，点 D的纵坐标应该小于 2， ∴  5,1A ，  3,3C ，  3,4D 一定不在直线直线 y kx b  上， ∵  5,1A ，  5,3B ，  3,3C ，  3,4D 四个点中，有一个点在直线 y kx b  上， ∴点  5,3B 在直线 y kx b  上， 故答案为：点 B 18. 如图，点 A（-3,0）、点 B（0， 3 3 ），直线 y 3 4 3x   与 x轴、y轴分别交于点 D、C，M是平面内一动 点，且∠AMB=60°，则∆MCD面积的最小值是 ________． 9 【答案】 2 3 【解析】 【分析】由直线方程求出点 D、C的坐标，由已知M是平面内一动点，且∠AMB=60º知点M在ΔABM的外接圆 上，由已知推导出 AB∥CD，则可知要使ΔMCD面积最小，只需点M在 AB的垂直平分线上，进而证得ΔABM是 等边三角形，通过推理求出点M坐标，即可求得面积最小值. 【详解】∵M是平面内一动点，且∠AMB=60º， ∴点M在ΔABM的外接圆上， ∵直线 y 3 4 3x   与 x轴、y轴分别交于点 D、C， ∴C（0， 4 3），D（4，0）， ∴OC= 4 3，OD=4， ∴tan∠ODC= 3OC OD  ， ∴∠ODC=60º， ∵点 A（-3,0）、点 B（0， 3 3 ）， ∴OA=3，OB=3 3， ∴tan∠OAB= 3OB OA  ，且 AB= 2 2 6OA OB  ， ∴∠OAB=60º， ∴AB∥CD ， ∴当M在 AB的垂直平分线上时，ΔMCD的面积最小，此时 AM=BM， 10 ∵∠AMB=60º， ∴ΔAMB是等边三角形， ∴∠BAM=60º， ∴点M在 x轴上，且 AM=AB=6， ∴点M（3,0） ∴MD=1， ∴ΔMCD的面积最小值为 1 1 1 4 3 2 3 2 2 MD OD     ， 故答案为： 2 3 . 【点睛】本题考查了一次函数与几何的应用，涉及一次函数的性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性 质、平行线的距离求最值等相关知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，提取相关有效信息， 结合图形，确定解题思路，并对相关信息探究、推理及计算. 三、解答题(本大题共 10小题，共 84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出 文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 解方程和不等式组： （1）解方程： 4 25 1 1 x x x x      （2）解不等式组 3 2 2 31 2 3 x x x x        ，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）本题考查了分式的加减运算和分式方程的解法，熟练掌握分式的混合运算法则和解分式方程的方法是 关键；原式先通分，再约分化简即可；原方程先去分母，求出整式方程的解后，再检验即可. （2）本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键；分别 求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）去分母得：  4 5 1 2x x x    ， 解得： 3 2 x  ， 经检验， 3 2 x  是分式方程的解. （2）解： 3 2 2 31 2 3 x x x x         ① ② ， 解不等式①，得： 2x  ； 解不等式②，得： 3x  ； 11 则不等式组的解集为： 2 3x  ； 在数轴上表示如下： 20. 求代数式        22 2 3 4 1a a a a      的值，其中 12 a ． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据完全平方公式，平方差公式 和单项式乘多项式将式子展开，再合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解：        22 2 3 4 1a a a a      2 24 6 9 4 4a a a a       10 9a  ． 当 12 a 时，原式   1921091210  ． 21. 2024年 6月 2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样 品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握 同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条 形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______ ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有 1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2）见详解 （3）480名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据 B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用360乘以 A占的比值；从而补全统计图； 12 （2）用总数减去 A、B、D的人数即可求出 C的人数，即可补全图形； （3）用 1200数乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问 1 详解】 解：本次抽取的学生人数为30 30% 100  （名）， 40360 144 100   ， 故答案为：100，144； 【小问 2 详解】 解：C的人数有：100 40 30 10 20    （名）， 补全统计图如下： 【小问 3 详解】 解： 401200 480 100   （名）， 答：估计“A：完全了解”的学生人数有 480名． 22．【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是 中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的 3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数 210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这 3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ； （2）现将两颗算珠任意摆放在这 3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成 的数是三位数的概率． 【分析】（1）一共有三种情况，只有一种情况符合题意，根据概率公式即可求解； （2）根据列表法或树状图法可以列出所有情况，再找出符合题意的情况，即可解答． 13 【解答】解：（1）把一颗算珠任意摆放在这 3根插棒上，一共有 3种情况，只有把算珠摆放到百位数上才能构成三 位数， 概率为 1 3 ． 故答案为： 1 3 ； （2）画树状图如下： 由图可得共有 9种等可能的结果，其中构成的数是三位数的结果有 5个， 构成的数是三位数的概率为 5 9 ． 【点评】本题考查列表法与树状图法，用数字表示事件，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 23. 已知：如图，点 A、B、C、D在同一条直线上， AE BF∥ ， AE BF ． 若________，则 AB CD ． 请从①CE DF∥ ；②CE DF ；③ E F   这 3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明 理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出 ,A FBD D ECA      ，再由全 等三角形的判定和性质得出 AC BD ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出 (SAS)AEC BFD ≌ ，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①CE DF∥ ； ∵ AE BF∥ ，CE DF∥ ， ∴ ,A FBD D ECA      ， ∵ AE BF ， ∴ (AAS)AEC BFD≌  ， ∴ AC BD ， 14 ∴ AC BC BD BC   ，即 AB CD ； 选择②CE DF ； 无法证明 AEC BFD△ ≌△ ， 无法得出 AB CD ； 选择③ E F   ； ∵ AE BF∥ ， ∴ A FBD   ， ∵ AE BF ， E F   ， ∴  ASAAEC BFD ≌ ， ∴ AC BD ， ∴ AC BC BD BC   ，即 AB CD ； 故答案为：①或③（答案不唯一） 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的边 AB在 x轴的正半轴上，顶点 C，D在第一象限内，正比例函 数 1 3y x 的图像经过点 D，反比例函数  2 0 ky x x   的图像也经过点 D，且与边 BC交于点 E，连接OE，已知 3AB  ． （1） tan EOB 的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足 2 3y  的 x的取值范围_______； （3）连接DE，在射线OB上取一点 P，使 3DPES  ，过点 P作 PQ垂直 x轴，交双曲线于点 Q，请求出线段 PQ的 长． 【答案】（1） 3 16 （2）0 1x  （3） 9 7 或 9 23 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的 思想进行求解是解题的关键． 15 （1）先求出点 E坐标即可得到 tan EOBÐ 的值； （2）根据图象直接写出不等式解集即可； （3）分点 P在线段OB上和点 P在线段OB的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【小问 1 详解】 解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 3AD AB  ， 在函数 1 3y x 中，当 3y  时， 1x  ， ∴点 D的坐标为  1,3 ， ∵点 D的坐标为  1,3 且在反比例函数 2 ky x  图象上， ∴ 1 3 3k    ， ∴ 2 3y x  ， ∵正方形 ABCD的边长为 3， ∴  4,0B ， 把 4x  代入函数 2 3y x  中，得 3 4 y  ， ∴ 34, 4 E      ， ∴ 3 4 EB  ， ∴ 3tan 16 EBEOB OB    ； 【小问 2 详解】 解：∵在函数 2 3y x  中，当 3y  时， 1x  ， ∴由图象可知 2 3y  的 x的取值范围为0 1x  ； 【小问 3 详解】 解：如图所示，当点 P在线段OB上时，设 BP t ， 16 ∵ DPE DCE BPEBCDPS S S S  △ △ △梯形 ， ∴ 3 1 3 1 33 3 3 3 2 2 4 2 4 t t             ， 解得 5 3 t  ， ∴ 5 3 BP  ， ∴ 7 3 OP OB BP   ， ∴ 7 ,0 3 P      在 2 3y x  中，当 7 3 x  时， 2 9 7 y  ， ∴ 7 9, 3 7 Q      ， ∴ 9 7 PQ  ； 如图所示，当点 P在线段OB延长上时，设 BP s ， ∵ DPE ADP BPE BCDPS S S S  △ △ △ 梯形 ， ∴ 333 1 343 3 3 2 2 2 4 s s        ， 解得 11 3 s  ， ∴ 23 3 OP OB BP   ， 23 ,0 3 P      在 2 3y x  中，当 23 3 x  时， 2 9 23 y  ， ∴ 23 9, 3 23 Q      ， ∴ 9 23 PQ  ； 17 综上所述， PQ的长为 9 7 或 9 23 ． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1．在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地， 其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是 338m2． 【答案】当矩形温室的长为 30m，蔬菜种植区域的面积是 338m2． 【分析】设矩形温室的宽为 x m,则长为 2x m,根据蔬菜种植区域的面积是 338m2，列出一元二次方程，解之取符合题 意的值，即可得出结论． 【解答】解：设矩形温室的宽为 x m,则长为 2x m, 根据题意得：（x-1-1）（2x-3-1）=338， 整理得：（x-2）2=169， 解得：x1=-11（不合题意，舍去），x2=15， ∴2x=2×15=30． 答：当矩形温室的长为 30m,蔬菜种植区域的面积是 338m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点 连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图 1，已知钝角△ABC 中， ACB 是钝角，点D 是 AB上的一点，连接CD，若 2CD AD BD  ，则称点D是△ABC 的“比例中点”． 18 （1）如图 2，已知点A的坐标为  4,0 ，点 B在 y轴上， 30BAO  ，若点M 是△AOB 的“比例中点”，则点M 的坐标为______； （2）如图 3，已知△ABC 中， 28AB  ， 45A  ， 3tan 4 B  ，若点N 是 ABCV 的“比例中点”，求 AN； （3）如图 4，已知△ABC 是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试 判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 【答案】（1）  1, 3 、 2 32, 3        （2）8或 18 （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】（1）过点M 作MN OB 于点 N ，连接OM ，设 BM x ,则 8 3 3 AM AB x x    ， 1 2 BN x ， 3 2 NM x ，勾股定理得出 2OM ，根据 2OM BM AM  建立方程，解方程即可求解； （2）设 AN x ，则 28BN AB AN x    ，过点C作CD AB 于点D，勾股定理得出  22 2 2 212 12CN CD ND x     ，根据新定义建立方程，解方程即可求解； （3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解． 【小问 1 详解】 解：如图所示， 过点M 作MN OB 于点 N ，连接OM ， ∵已知点A的坐标为  4,0 ，点 B在 y轴上， 30BAO  ， ∴ 4 34, tan 3 OA OB OA BAO     ， 设 BM x ,则 8 3 3 AM AB x x    ， 19 ∴ 1 2 BN x ， 3 2 NM x 在Rt OMN△ 中， 2 2 2 2 2 3 4 3 1 2 3 2 OM MN ON x x                    ∵点M 是△AOB 的“比例中点”， ∴ 2OM BM AM  ， ∴ 2 2 3 4 3 1 8 3= 2 3 2 3 x x x x                          解得： 2 3 3 x  或 4 3 3 x  ∴ 2 3 3 BM  或 4 3 3 BM  当 2 3 3 BM  时， 3 3 2 3 1 2 2 3 MN BM    , 4 3 3 3 3 3 ON OB BN     ，即  1, 3M ； 当 4 3 3 BM  时， 3 3 4 3 2 2 2 3 MN BM    , 4 3 2 3 2 3 3 3 3 ON OB BN     ，即M 2 32, 3        ， 【小问 2 详解】 解：∵点 N 是△ABC 的“比例中点”， ∴ 2CN AN BN  设 AN x ，则 28BN AB AN x    ， 如图所示，过点C作CD AB 于点D， ∵△ABC 中， 28AB  ， 45A  ， 3tan 4 B  ， ∴ AD CD ， 4 3 BD CD， 设 3AD DC k  ，则 4BD k ， ∴ 7AB k ， ∴7 28k  ，解得： 4k  ， 20 ∴ 12, 16AD CD DB   ， ∴  22 2 2 212 12CN CD ND x     ， ∴    2212 12 28x x x    ， 解得： 8x  或 18x  ， ∴ 8AN  或18； 【小问 3 详解】 设点 N 是△ABC 的“比例中点”设等边三角形的边长为 a ∴ 2CN AN BN  设 AN x ，则 BN AB AN a x    ， 如图所示，过点C作CD AB 于点D， ∵△ABC 中， AB a= ， ∴ 1 2 AD a ， 1 2 BD a ， 3 2 CD a ， ∴ 2 2 2 2 23 1 4 2 CN CD ND a a x         ， ∴   2 23 1 4 2 a a x x a x        ， ∵ 0a  ， ∴此方程无解， ∴等边三角形有没有“比例中点”． 【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建 立方程解方程是解题的关键． 27. 如图，四边形 ABCD内接于 O ，直线 AE交CD的延长线于点 E，延长 AD， BC相交于点 F ，DA平分 BDE ． 21 （1）求证： AB AC ． （2）若 AE是 O 的切线． ①求证： ABF EAC△ ∽△ ． ②若 2AE  ， 1DE  ，C是 BF 的中点，则 O 的半径为_____． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 4 15 5 ． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到 AABC CB∠ ，再利用等腰三角 形的判定定理解答即可； （2）①连接 AO并延长交 BC于点G，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到 AG BC ，利用圆的切线的性质 定理得到 AG AE ，则 AE BC∥ ，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似 三角形的判定定理解答即可； ②连接 AO并延长交 BC于点G，过点 E作EH BC 于点H ，连接OB，利用切割线定理求得 ,EC DC的长度， 利用相似三角形的判定与性质求得 FC ，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到 1 3 2 BG CG BC   ，利用矩形的判定与性质得到 2,GH AE AG EH   ，利用勾股定理求得 AG，设 O 的 半径为 r ，则  OB OA r，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【小问 1 详解】 证明：∵DA平分 BDE ， ADE ADB   ， ∵四边形 ABCD为圆的内接四边形， ADE ABC   ， ADB ACB   ， ABC ACB  ， AB AC  ； 【小问 2 详解】 ①证明：连接 AO并延长交 BC于点G，如图： 22 由（1）知： AB AC ， ABC ACB  ， » »AB AC ， AG BC  ， ∵ AE是 O 的切线， AG AE  ， ∴ AE BC∥ ， ∴ ,F EAD EAC ACB      ， ∴ EAC ABC   ， ∵ AE是 O 的切线， ∴ EAD ECA  ， ∴ ECA F   ， ∴ ABF EAC△ ∽△ ； ②连接 AO并延长交 BC于点G，过点 E作EH BC 于点 H ，连接OB，如图： ∵ AE是 O 的切线， 2AE DE EC   ， ∵ 2, 1AE DE  ， ∴ 4EC  ． ∴ 3CD EC ED   ， 由①知： AE BC∥ ， AED FCD ∽ ， AE ED CF CD   ， 23 2 1 3CF   ， 6. CF ∵C是 BF 的中点， 6BC CF   ， AB AC ， AG BC ， 1 3 2 BG CG BC    ， AG BC ， EH BC ， AE BC∥ ， ∴四边形 AGHE为矩形， 2GH AE   ， AG EH ， 1CH CG GH    ， 2 2 15AG EH EC CH     ， 设 O 的半径为 r ，则  OB OA r， 15OG AG OA r     ， 2 2 2OG BG OB  ，  2 2 215 3r r    ， 4 15 5 r  ， 故答案为： 4 15 5 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质， 平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角 形是解题的关键． 28. 二次函数 2y ax bx  的图象过点  4,4A  ， 1 7,2 4B       ，连接 AB，点C是抛物线上一个动点． 24 （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点C在 y轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点C重合，另一个端点恰好落 在 x轴上，求点C的坐标； （3）如图 2，若点C在 y轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x轴于点 E，将直线 AC绕点A逆时针旋转 45 得直线 AG，交 y轴于点F ，连接 EF ．若 5 4 EF FO ，直接写出点C的坐标． 【答案】（1） 2 3y x x  ； （2）点C的坐标为 3 9, 2 4       或 3 2 3 9, 2 4         ； （3）点C的坐标为 1 7, 2 4       或 3 27, 2 4       或  3,18 ． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设  2, 3C m m m ，分①当点 B与点C重合和点A与点C重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解． 【小问 1 详解】 解：将点  4,4A  ， 1 7, 2 4 B      代入 2y ax bx  得， 4 16 4 7 1 1 4 4 2 a b a b       ， 解得 1 3 a b      ， ∴二次函数的表达式为 2 3y x x  ； 25 【小问 2 详解】 解：设  2, 3C m m m ， ①当点 B与点C重合时，交 x轴于点 1D ， ∵ 1AB CD ， 1AB CD∥ ， ∴四边形 1ABCD 是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵  4,4A  ， 1 7, 2 4 B      ， 设  11 ,0DD x ， ∴ 270 3 4 4 m m    ， 整理得 2 93 0 4 m m   ，即 23 0 2 m      ， ∴ 3 2 m   ， ∴ 3 9, 2 4 C       ； ②当点A与点C重合时，交 x轴于点 2D ， ∵  4,4A  ， 1 7, 2 4 B      ， 26 设  22 , 0DD x ， 同理，四边形 2ABD C是平行四边形，对角线互相平分， ∴ 2 70 4 3 4 m m    ， 整理得 2 93 0 4 m m   ， 解得 3 2 3 2 m   或 3 2 3 2 m  （舍去）， ∴ 3 2 3 9, 2 4 C         ； 综上，点C的坐标为 3 9, 2 4       或 3 2 3 9, 2 4         ； 【小问 3 详解】 解：∵ 5 4 EF FO ，设 4FO m ，则 5EF m ， ∴ 2 2 3OE EF FO m   ， 如图，作 EP AE 于点 E，交直线 AF 于点 P，过点A和 P作 x轴的垂线，垂足分别为M 和 N ， ∵ 45EAP  ， ∴ EAP 是等腰直角三角形， ∴ AE PE ， 90AME AEP PNE      ， ∵ 90AEM PEN EPN     ， ∴  AASAEM EPN ≌ ， ∴ 4EN AM  ， 4 3PN EM m   ， ∴  0,4F m ，  3 4,4 3P m m  ， 27 设直线 AF 的解析式为 4y kx m  ， 将  4,4A  代入得 4 4 4k m   ， 解得 1k m  ， ∴直线 AF 的解析式为  1 4y m x m   ， ∵ A F P、 、 共线， ∴将  3 4,4 3P m m  代入  1 4y m x m   ， 得    4 3 1 4 3 4m m m m     ， 整理得 23 2 8 0m m   ， 解得 4 3 m  或 2m   （舍去）， ∴  4,0E ， 同理，直线 AE的解析式为 1 2 2 y x   ， 联立得 2 13 2 2 x x x    ， 整理得 22 7 4 0x x   ， 解得 1 2 x  或 4x   （舍去）， 当 1 2 x  时， 1 1 72 2 2 4 y      ， ∴点C的坐标为 1 7, 2 4       ； 如图，作 EP AE 于点 E，交直线 AF 于点 P，过点 E作 y轴的平行线MN，过点A和 P作MN的垂线，垂足分 别为M 和 N ， 28 ∵ 45EAP  ， ∴ EAP 是等腰直角三角形， ∴ AE PE ， 90AME AEP PNE      ， ∵ 90AEM PEN EPN     ， ∴  AASAEM EPN ≌ ， ∴ 3 4EN AM m   ， 4PN EM  ， ∴  0,4F m ，  3 4, 3 4P m m    ， 设直线 AF 的解析式为 1 4y k x m  ， 将  4,4A  代入得 14 4 4k m   ， 解得 1 1k m  ， ∴直线 AF 的解析式为  1 4y m x m   ， ∵ A F P、 、 共线， ∴将  3 4, 3 4P m m    代入  1 4y m x m   ， 得    4 3 1 4 3 4m m m m     ， 29 整理得 23 14 8 0m m   ， 解得 4m  或 2 3 m  （舍去）， ∴  12,0E  ， 同理，直线 AE的解析式为 1 6 2 y x  ， 联立得 2 13 6 2 x x x   ， 整理得 22 +5 12=0x x ， 解得 3 2 x  或 4x   （舍去）， 当 3 2 x  时， 1 3 276 2 2 4 y     ， ∴点C的坐标为 3 27, 2 4       ； 如图，作 EP AE 于点 E，交直线 AF 于点 P，过点 E作 y轴的平行线MN，过点A和 P作MN的垂线，垂足分 别为M 和 N ， 30 ∵ 45EAP  ， ∴ EAP 是等腰直角三角形， ∴ AE PE ， 90AME AEP PNE      ， ∵ 90AEM PEN EPN     ， ∴  AASAEM EPN ≌ ， ∴ 4 3EN AM m   ， 4PN EM  ， ∴  0, 4F m ，  3 4, 3 4P m m    ， 设直线 AF 的解析式为 2 4y k x m  ， 将  4,4A  代入得 24 4 4k m   ， 解得 2 1k m   ， ∴直线 AF 的解析式为  1 4y m x m    ， ∵ A F P、 、 共线， ∴将  3 4, 3 4P m m    代入  1 4y m x m   ， 得   4 3 1 4 3 4m m m m      ， 整理得 23 2 8 0m m   ， 解得 2m  或 4 3 m   （舍去）， ∴  6,0E  ， 同理，直线 AE的解析式为 2 12y x  ， 联立得 2 3 2 12x x x   ， 整理得 2 12 0x x   ， 解得 3x  或 4x   （舍去）， 当 3x  时， 2 3 12 18y     ， ∴点C的坐标为  3,18 ； 综上，点C的坐标为 1 7, 2 4       或 3 27, 2 4       或  3,18 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标 1 2025 年江苏省常州市中考数学预测卷 注意事项：1．本试卷满分为 120分，考试时间为 120分钟． 2．考生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具：若试题计算没有要求取近似 值，则计算结果取精确值(保留根号与π)． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用 2B 铅笔作 答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分， 在每小题所给的四个选项中，只有一项是正 确的，请把答案直接填写在答题．卡相应．．的位置．上) 1. 一个数的相反数是 5，则这个数是（ ） A. 1 5 B. 5 C. 5 D. 5 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，2025 年“五一”假期全国国内旅游出游合计 274000000 人次．数字 274000000 用科学记数法表示是 （ ） A. 727.4 10 B. 82.74 10 C. 90.274 10 D. 92.74 10 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. 4 3 1a a  B. 2 3 5a a a  C.  32 5a a D. 6 3 2a a a  5. 甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为 90 分、90 分、x 分、80 分，若这组数据的众数与平均数恰好相等， 则这组数据的中位数是（ ） A. 100 分 B. 95 分 C. 90 分 D. 85 分 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于 3的概率是（ ） 2 A. 12 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 6 7. 图 1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图 2是该螺旋式千斤顶 的平面示意图，已知四条支撑杆 AB BC CD DA， ， ， 的长度均为20cm，螺杆 AC与水平地面平行．当 DAC   时，千斤顶顶部到水平地面的距离 BD的长为（ ） A. 40 sin B. 40sin C. 40 tan D. 40cos 8. 已知一次函数 y ax b  与反比例函数 cy x  的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为 1 ， 则二次函数 2y ax bx c   的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上) 9. 若代数式 5 2x  有意义，则实数 x的取值范围是______． 10. 分解因式： 2 23 12 x y __________． 11．16的平方根是 ． 12. 计算 8 12 3  的结果是_____. 13. 如图， AB是 O 的直径，位于 AB两侧的点 C，D均在 O 上， 30BOC  ，则 ADC  ______度． 3 14. 如图，已知矩形 ABCD的对角线长为 8cm，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，则四边形 EFGH 的周长等于_____cm． 15. △ABC 中， 90 2 4C BC AC    ， ， ，则 tan A  ________． 16. 若方程 2 4 1 0x x   的两个根是 1 2,x x ，则  1 2 21 x x x 的值为__________． 17. 已知不等式 2kx b  的解集是 4x  ，  5,1A ，  5,3B ，  3,3C ，  3,4D 四个点中，有一个点在直线 y kx b  上，则这个点是__________． 18. 如图，点 A（-3,0）、点 B（0， 3 3 ），直线 y 3 4 3x   与 x轴、y轴分别交于点 D、C，M是平面内一动 点，且∠AMB=60°，则∆MCD面积的最小值是 ________． 三、解答题(本大题共 10小题，共 84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出 文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 解方程和不等式组： （1）解方程： 4 25 1 1 x x x x      （2）解不等式组 3 2 2 31 2 3 x x x x        ，并把解集在数轴上表示出来． 20. 求代数式        22 2 3 4 1a a a a      的值，其中 12 a ． 4 21. 2024年 6月 2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样 品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握 同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条 形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______ ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有 1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 22．【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是 中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的 3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数 210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这 3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ； （2）现将两颗算珠任意摆放在这 3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成 的数是三位数的概率． 23. 已知：如图，点 A、B、C、D在同一条直线上， AE BF∥ ， AE BF ． 若________，则 AB CD ． 请从①CE DF∥ ；②CE DF ；③ E F   这 3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明 理由． 5 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的边 AB在 x轴的正半轴上，顶点 C，D在第一象限内，正比例函 数 1 3y x 的图像经过点 D，反比例函数  2 0 ky x x   的图像也经过点 D，且与边 BC交于点 E，连接OE，已知 3AB  ． （1） tan EOB 的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足 2 3y  的 x的取值范围_______； （3）连接DE，在射线OB上取一点 P，使 3DPES  ，过点 P作 PQ垂直 x轴，交双曲线于点 Q，请求出线段 PQ的 长． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1．在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地， 其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是 338m2． 6 26. 我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点 连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图 1，已知钝角△ABC 中， ACB 是钝角，点D 是 AB上的一点，连接CD，若 2CD AD BD  ，则称点D是△ABC 的“比例中点”． （1）如图 2，已知点A的坐标为  4,0 ，点 B在 y轴上， 30BAO  ，若点M 是△AOB 的“比例中点”，则点M 的坐标为______； （2）如图 3，已知△ABC 中， 28AB  ， 45A  ， 3tan 4 B  ，若点N 是 ABCV 的“比例中点”，求 AN； （3）如图 4，已知△ABC 是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试 判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 27. 如图，四边形 ABCD内接于 O ，直线 AE交CD的延长线于点 E，延长 AD， BC相交于点 F ，DA平分 BDE ． （1）求证： AB AC ． （2）若 AE是 O 的切线． ①求证： ABF EAC△ ∽△ ． ②若 2AE  ， 1DE  ，C是 BF 的中点，则 O 的半径为_____． 7 28. 二次函数 2y ax bx  的图象过点  4,4A  ， 1 7,2 4B       ，连接 AB，点C是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点C在 y轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点C重合，另一个端点恰好落 在 x轴上，求点C的坐标； （3）如图 2，若点C在 y轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x轴于点 E，将直线 AC绕点A逆时针旋转 45 得直线 AG，交 y轴于点F ，连接 EF ．若 5 4 EF FO ，直接写出点C的坐标．